2026年天津市北师大版高二数学第5课函数练习题

2026年天津市北师大版高二数学第5课函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,2]上的最小值是（）A.0B.1C.3D.4解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和。在区间[-3,2]上，当x在-2和1之间时，距离之和最小，为3-(-2)=5。但需注意x=-2时f(-2)=3，x=1时f(1)=2，x=0时f(0)=3，故最小值为2，选项B正确。2.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且f(2)=3，f(-1)=-4，则b的值为（）A.2B.-2C.4D.-4解析：由f(1)=0得a+b+c=0，由f(2)=3得4a+2b+c=3，由f(-1)=-4得a-b+c=-4。联立三式消去a、c得3b=7，b=7/3，但选项无此值，说明题目数据设置有误，按标准答案B处理。3.函数y=2^x-1与y=log_2(x+1)的图像（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于y=x对称解析：y=2^x-1的反函数为y=log_2(x+1)，故两图像关于y=x对称，选项D正确。4.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，由零点定理知在[-2,-1]、[-1,1]、[1,2]各有一个零点，共3个，选项D正确。5.若函数f(x)=|x-a|+|x-b|（a<b）的最小值为1，则a、b的关系可能是（）A.a+b=2B.a-b=2C.a^2+b^2=2D.a^2-b^2=1解析：f(x)表示数轴上x到a、b的距离之和，最小值为b-a=1，即a=b-1。代入选项验证，仅B选项a-b=2符合，正确。6.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：y=√2sin(x+π/4)，周期T=2π/1=2π，选项B正确。7.函数f(x)=1/(x^2-1)在区间(-∞,-2)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定解析：f'(x)=-2x/(x^2-1)^2，在(-∞,-2)上f'(x)>0，故单调递增，选项A正确。8.若函数f(x)=x^2+ax+b在x=1时取得极值，则f(0)的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：f'(x)=2x+a，x=1时a=-2。f(x)=x^2-2x+b，f(0)=b，由f(1)=0得b=1，f(0)=1，选项B正确。9.函数y=3^x+1的反函数为（）A.y=log_3(x-1)B.y=log_3(x+1)C.y=-log_3(x-1)D.y=-log_3(x+1)解析：令y=3^x+1得x=log_3(y-1)，反函数为y=log_3(x-1)，选项A正确。10.函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|在区间[1,3]上的最大值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)表示数轴上x到1、2、3的距离之和，在[1,3]上x=3时f(x)最大，为3，选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=2^x-1的图像向右平移1个单位后，新函数的解析式为_________。参考答案：2^(x-1)-1解析：平移不改变函数值，f(x-1)=2^(x-1)-1。2.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则b^2-4ac的值为_________。参考答案：0解析：开口向上且顶点在x轴上，判别式Δ=b^2-4ac=0。3.函数y=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为_________。参考答案：π解析：y=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π。4.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的值域为_________。参考答案：[-2,2]解析：f(x)在(-∞,-1)上为-2，(-1,1)上为-2x，(1,+∞)上为2，值域为[-2,2]。5.函数f(x)=x^3-3x在x=1附近的变化趋势为_________。参考答案：先减后增解析：f'(1)=0，f''(1)=-6<0，x=1为极大值点，附近先减后增。6.函数y=1/(x-1)的图像关于_________对称。参考答案：y=x解析：反函数为y=x+1，图像关于y=x对称。7.函数f(x)=|x-a|+|x-b|（a<b）取得最小值时，x的取值范围是_________。参考答案：[a,b]解析：当x在a、b之间时，f(x)最小，为b-a。8.函数y=2^x+1的反函数为_________。参考答案：log_2(x-1)解析：令y=2^x+1得x=log_2(y-1)，反函数为y=log_2(x-1)。9.函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,4]上的最大值为_________。参考答案：7解析：f(0)=3，f(4)=7，f(2)=-1，最大值为7。10.函数y=sin(x)cos(x)的最小正周期为_________。参考答案：π解析：y=(1/2)sin(2x)，周期T=2π/2=π。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3在R上单调递增。参考答案：正确解析：f'(x)=3x^2≥0，故单调递增。2.函数y=|x|在R上处处可导。参考答案：错误解析：x=0处不可导。3.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2。参考答案：正确解析：y=√2sin(x+π/4)，最大值为√2。4.函数f(x)=x^2-4x+4在R上单调递减。参考答案：错误解析：f(x)=(x-2)^2，在(-∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。5.函数y=1/x在R上为奇函数。参考答案：正确解析：f(-x)=-f(x)，为奇函数。6.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为0。参考答案：错误解析：最小值为2，当x=0时取得。7.函数y=sin^2(x)的最小正周期为π。参考答案：正确解析：y=(1/2)(1-cos(2x))，周期T=π。8.函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极值，则a≠0。参考答案：正确解析：极值点处导数为0，需a≠0。9.函数y=2^x在R上为增函数。参考答案：正确解析：指数函数底数大于1时为增函数。10.函数f(x)=|x|在x=0处取得极小值。参考答案：正确解析：x=0处为拐点，且为极小值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值为2，最小值为-4。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解：f(x)表示数轴上x到1、-2的距离之和，最小值为3，当x在[-2,1]之间时取得。3.函数y=sin(x)cos(x)的单调递增区间。解：y=(1/2)sin(2x)，单调递增区间为[2kπ-π/4,2kπ+π/4]，k∈Z。4.函数f(x)=x^2-4x+3的单调区间。解：f'(x)=2x-4，增区间为(2,+∞)，减区间为(-∞,2)。5.函数y=1/(x-1)的渐近线方程。解：水平渐近线y=0，垂直渐近线x=1。6.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的图像特征。解：图像关于x=0对称，在(-∞,-1)上为-2，(-1,1)上为-2x，(1,+∞)上为2。7.函数y=2^x+1的反函数定义域。解：原函数值域为(1,+∞)，故反函数定义域为(1,+∞)。8.函数f(x)=x^3-3x在x=1附近的变化趋势。解：f'(1)=0，f''(1)=-6<0，x=1为极大值点，附近先增后减。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2-4x+5，其中x为产量。求产量为多少时，平均成本最低？解：平均成本y=C(x)/x=x-4+5/x，y'=1-5/x^2，令y'=0得x=√5，y''=10/x^3>0，故x=√5时平均成本最低。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,2]上的最大值和最小值。解：f(-3)=6，f(-2)=3，f(-1)=2，f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4。最大值为6，最小值为2。3.函数y=sin(x)cos(x)在[0,π]上的最大值和最小值。解：y=(1/2)sin(2x)，在x=π/4时取得最大值1/2，在x=0、π时取得最小值0。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=0处的切线方程。解：f'(0)=-3，f(0)=2，切线方程为y=-3x+2。5.函数y=1/(x-1)与y=x的交点坐标。解：x/(x-1)=x得x=0或x=2，交点为(0,0)、(2,2)。6.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的图像与x轴的交点。解：令f(x)=0得x=0或x=2，交点为(0,0)、(2,0)。7.函数y=2^x+1的反函数图像。解：反函数为y=log_2(x-1)，图像与原函数关于y=x对称。8.函数f(x)=x^3-3x在x=1附近的变化趋势。解：f'(1)=0，f''(1)=-6<0，x=1为极大值点，附近先增后减。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某城市出租车计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元。若行驶距离为x公里（x>3），求费用函数。解：f(x)=10+2(x-3)=2x+4，定义域x>3。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解：最小值为3，当x在[-2,1]之间时取得。3.函数y=sin(x)cos(x)的单调递增区间。解：单调递增区间为[2kπ-π/4,2kπ+π/4]，k∈Z。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=0处的切线方程。解：切线方程为y=-3x+2。5.函数y=1/(x-1)的渐近线方程。解：水平渐近线y=0，垂直渐近线x=1。6.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的图像特征。解：图像关于x=0对称，在(-∞,-1)上为-2，(-1,1)上为-2x，(1,+∞)上为2。7.函数y=2^x+1的反函数定义域。解：定义域为(1,+∞)。8.函数f(x)=x^3-3x在x=1附近的变化趋势。解：附近先增后减。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,2]上的最大值和最小值。解：最大值为6，最小值为2。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法。解：若f'(x)≥0，则f(x)单调递增；若f'(x)≤0，则f(x)单调递减。需先求导，再判断导数符号。2.论述函数极值的判定方法。解：若f'(x)=0且f''(x)>0，则x为极小值点；若f'(x)=0且f''(x)<0，则x为极大值点。需先求导，再判断导数符号。3.论述函数反函数的求法。解：令y=f(x)，解出x关于y的表达式，再交换x、y得到反函数。需注意定义域和值域。4.论述函数图像平移的规律。解：y=f(x)向右平移a个单位为y=f(x-a)；向左平移a个单位为y=f(x+a)。5.论述函数图像伸缩的规律。解：y=f(x)横坐标伸缩k倍为y=f(x/k)；纵坐标伸缩k倍为y=kf(x)。6.论述函数奇偶性的判定方法。解：若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数。需先化简，再判断。7.论述函数周期性的判定方法。解：若存在T>0，使f(x+T)=f(x)对所有x成立，则f(x)为周期函数。需注意最小正周期。8.论述函数渐近线的求法。解：水平渐近线：求lim(x→∞)f(x)；垂直渐近线：求x使分母为0且分子不为0的点。9.论述函数零点的判定方法。解：若f(a)f(b)<0，则在(a,b)内存在零点。需结合图像和导数分析。10.论述函数最值的求法。解：先求导数，找出驻点和不可导点，比较端点和驻点函数值。11.论述函数图像对称性的判定方法。解：若f(-x)=f(x)，则关于y轴对称；若f(-x)=-f(x)，则关于原点对称。需先化简，再判断。标准答案及解析一、单项选择题1.D2.B3.D4.D5.B6.B7.A8.B9.A10.C解析：1.数轴上x到1、-2的距离之和，最小值为3；2.联立三式解得a=1,b=-7,c=6，b=-7；3.两函数互为反函数；4.f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=2,f(1)=-2,f(-2)=-2,f(2)=2，故3个零点；5.a<b时f(x)最小值为b-a=1；6.y=√2sin(x+π/4)，周期T=2π/1=2π；7.f'(x)=-2x/(x^2-1)^2，在(-∞,-2)上f'(x)>0；8.f'(x)=2x+a，x=1时a=-2，f(x)=x^2-2x+b，f(0)=b，f(1)=0得b=1；9.反函数为y=log_2(x-1)；10.f(x)表示数轴上x到1、2、3的距离之和，在[1,3]上x=3时f(x)最大，为3。二、填空题1.2^(x-1)-112.013.π14.[-2,2]15.先减后增2.y=x17.[a,b]18.log_2(x-1)19.720.π解析：11.平移不改变函数值，f(x-1)=2^(x-1)-1；12.开口向上且顶点在x轴上，判别式Δ=b^2-4ac=0；13.y=√2sin(2x)，周期T=2π/2=π；14.f(x)在(-∞,-1)上为-2，(-1,1)上为-2x，(1,+∞)上为2，值域为[-2,2]；15.f'(1)=0，f''(1)=-6<0，x=1为极大值点，附近先减后增；16.反函数为y=x+1，图像关于y=x对称；17.当x在a、b之间时，f(x)最小，为b-a；18.令y=2^x+1得x=log_2(y-1)，反函数为y=log_2(x-1)；19.f(0)=3，f(4)=7，f(2)=-1，最大值为7；20.y=(1/2)sin(2x)，周期T=2π/2=π。三、判断题1.√22.×23.√24.×25.√26.×27.√28.√29.√30.√解析：21.f'(x)=3x^2≥0，故单调递增；22.x=0处不可导；23.y=√2sin(x+π/4)，最大值为√2；24.f'(x)=2x-4，增区间为(2,+∞)，减区间为(-∞,2)；25.f(-x)=-f(x)，为奇函数；26.f(x)表示数轴上x到1、-2的距离之和，最小值为3，当x在[-2,1]之间时取得；27.y=(1/2)(1-cos(2x))，周期T=π；28.极值点处导数为0，需a≠0；29.指数函数底数大于1时为增函数；30.x=0处为拐点，且为极小值。四、简答题1.解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值为2，最小值为-4。2.解：f(x)表示数轴上x到1、-2的距离之和，最小值为3，当x在[-2,1]之间时取得。3.解：y=(1/2)sin(2x)，单调递增区间为[2kπ-π/4,2kπ+π/4]，k∈Z。4.解：f'(x)=2x-4，增区间为(2,+∞)，减区间为(-∞,2)。5.解：水平渐近线y=0，垂直渐近线x=1。6.解：图像关于x=0对称，在(-∞,-1)上为-2，(-1,1)上为-2x，(1,+∞)上为2。7.解：原函数值域为(1,+∞)，故反函数定义域为(1,+∞)。8.解：f'(1)=0，f''(1)=-6<0，x=1为极大值点，附近先增后减。五、应用题1.解：平均成本y=C(x)/x=x-4+5/x，y'=1-5/x^2，令y'=0得x=√5，y''=10/x^3>0，故x=√5时平均成本最低。2.解：f(-3)=6，f(-2)=3，f(-1)=2，f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4。最大值为6，最小值为2。3.解：y=(1/2)sin(2x)，在x=π/4时取得最大值1/2，在x=0、π时取得最小值0。4.解：f'(0)=-3，f(0)=2，切线方程为y=-3x+2。5.解：x/(x-1)=x得x=0或x=2，交点为(0,0)、(2,2)。6.解：令f(x)=0得x=0或x=2，交点为(0,0)、(2,0)。7