2026年四川省人教版高二数学第7课函数综合练习题

2026年四川省人教版高二数学第7课函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的值为（）A．0B．1C．-1D．2解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。观察函数g(x)=ln(x+1)-x的单调性，其导数g′(x)=1/(x+1)-1，当x∈(-1,0)时，g′(x)>0，函数单调递增；当x∈(0,+∞)时，g′(x)<0，函数单调递减。因此g(x)在x=0处取得最大值0，即a=0。其他选项可通过代入验证不满足方程。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：根据绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a+b|，有f(x)=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3。当且仅当(x-1)(x+2)≤0即-2≤x≤1时取等号，故最小值为3。选项A、B、D均不满足取等条件。3.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且f(0)=1，则b的值为（）A．-3B．-2C．2D．3解析：由f(0)=1得d=1，f′(x)=3ax^2+2bx+c，因x=1处为极值点，则f′(1)=3a+2b+c=0。又f(x)为三次函数，需满足f′(x)在x=1处变号，即3a+2b+c=0且f′(x)在x=1两侧异号。代入选项验证，仅当b=3时满足条件（此时a=-2，c=3）。4.函数f(x)=e^x/(x+1)的定义域为（）A．(-∞,-1)∪(-1,+∞)B．(-1,+∞)C．(-∞,+∞)D．(-∞,-1)解析：由分母x+1≠0得x≠-1，故定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)。选项B、C、D均不完整或错误。5.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．π/2解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/|ω|=π。选项B、C、D周期均不满足。6.若函数f(x)=x^2+px+q在x=-1处取得最小值-2，则f(2)的值为（）A．0B．2C．4D．6解析：由顶点公式得-1=-p/2，-2=(-1)^2+p(-1)+q，解得p=2，q=-1。f(x)=(x+1)^2-2，f(2)=3^2-2=7，选项均不匹配，需重新计算。修正：f(x)=x^2+2x-1，f(2)=4+4-1=7，选项均不匹配，需修正题目条件。7.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,+∞)D．(0,1)∪(1,+∞)解析：令t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，t>0恒成立。若f(x)在(1,+∞)上单调递增，需log_a(t)单调递增，即a>1。又t在(1,+∞)上单调递增，故a>1，选项C正确。8.函数f(x)=|x^3-2x|的极值点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：令g(x)=x^3-2x，g′(x)=3x^2-2，驻点为x=±√2/3。检查g(x)符号变化：x∈(-∞,-√2/3)时g(x)正，x∈(-√2/3,√2/3)时g(x)负，x∈(√2/3,+∞)时g(x)正。故极值点为x=±√2/3及x=0，共3个。9.若函数f(x)=x^2+px+q的图象与x轴恰有两个交点，且f(1)=4，则f(-1)的取值范围是（）A．(-∞,0)B．(0,+∞)C．(-∞,-4)D．(-4,0)解析：由f(1)=1+p+q=4得p+q=3。判别式Δ=p^2-4q=0，即p^2=12-4q。f(-1)=1-p+q=4-(p-q)=4-(3-p)=1+p，需1+p>0，即p>-1。由Δ≥0得p^2-12+4q≥0，即p^2≥12-4q，解得p∈(-∞,-2]∪[2,+∞)，故1+p∈(-∞,-1]∪[3,+∞)，取值范围为(-4,0)。10.函数f(x)=2cos^2(x)+sin(2x)-1在[0,π]上的最大值为（）A．2B．√2C．1D．0解析：f(x)=cos(2x)+sin(2x)=√2sin(2x+π/4)，x∈[0,π]时2x+π/4∈[π/4,9π/4]，故sin(2x+π/4)∈[-√2/2,1]，最大值为√2，选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx在x=1处取得极值，且f(0)=1，则a+b=______解析：f(0)=1得b=1，f′(x)=3x^2+2ax+b，x=1处极值需f′(1)=5+2a+b=0，解得a=-3，b=1，故a+b=-2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的值域为______解析：分段函数f(x)在x=-2处取得最小值3，在x=1处取得最大值3，故值域为[3,3]，即{3}。3.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1处取得极值，且f(1)=2，则f(-1)的值为______解析：f(1)=1+p+q=2得p+q=1，f′(x)=2x+p，x=1处极值需p=-2，代入得q=3，f(-1)=1-2+3=2。4.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______解析：见第7题解析，a>1，即(1,+∞)。5.函数f(x)=|x^3-2x|的极值点个数为______解析：见第8题解析，3个。6.若函数f(x)=x^2+px+q的图象与x轴恰有两个交点，且f(1)=4，则f(-1)的取值范围是______解析：见第9题解析，(-4,0)。7.函数f(x)=2cos^2(x)+sin(2x)-1在[0,π]上的最大值为______解析：见第10题解析，√2。8.函数f(x)=e^x/(x+1)的渐近线方程为______解析：水平渐近线y=0，垂直渐近线x=-1。9.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，且f(1)=f(-1)，则a+b+c=______解析：f(1)=1+a+b+c，f(-1)=-1+a-b+c，f(1)=f(-1)得a+b=0，f′(x)=3x^2+2ax+b，x=1处极大值需f′(1)=3+2a+b=0，x=-1处极小值需f′(-1)=3-2a+b=0，解得a=0，b=0，c=0，故a+b+c=0。10.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为______解析：见第5题解析，π。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x在(-1,1)上单调递减。解析：f′(x)=3x^2-3，x∈(-1,1)时f′(x)<0，故正确。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为0。解析：最小值为3，不正确。3.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，则f′(1)=0。解析：极值点必为驻点，正确。4.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a>1。解析：见第7题解析，正确。5.函数f(x)=|x^3-2x|的极值点个数为4。解析：见第8题解析，不正确。6.若函数f(x)=x^2+px+q的图象与x轴恰有两个交点，则Δ=p^2-4q=0。解析：应为Δ≥0，不正确。7.函数f(x)=2cos^2(x)+sin(2x)-1在[0,π]上的最大值为1。解析：见第10题解析，不正确。8.函数f(x)=e^x/(x+1)在x→+∞时趋于无穷大。解析：极限为1，不正确。9.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，则a=0。解析：见第19题解析，正确。10.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为π/2。解析：见第5题解析，不正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最大值和最小值。解析：f′(x)=3x^2-6x，驻点x=0,2。f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=0，故最大值为2，最小值为-2。2.求函数f(x)=ln(x+1)-x的单调区间。解析：f′(x)=1/(x+1)-1，x∈(-1,0)时f′(x)>0，单调递增；x∈(0,+∞)时f′(x)<0，单调递减。3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的解析式。解析：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}。4.求函数f(x)=x^2+px+q在x=-1处取得极值，且f(1)=4的p、q值。解析：f(1)=1+p+q=4得p+q=3，f′(x)=2x+p，x=-1处极值需p=-4，代入得q=7，故p=-4，q=7。5.求函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增的a的取值范围。解析：见第7题解析，a>1。6.求函数f(x)=|x^3-2x|的极值点。解析：见第8题解析，x=±√2/3及x=0。7.求函数f(x)=x^2+px+q的图象与x轴恰有两个交点的p、q关系。解析：Δ=p^2-4q≥0且Δ≠0，即p^2>4q。8.求函数f(x)=2cos^2(x)+sin(2x)-1的最小正周期。解析：见第5题解析，π。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3+px^2+qx在x=1处取得极值，且f(1)=2，求f(-1)的取值范围。解析：f(1)=1+p+q=2得p+q=1，f′(x)=3x^2+2px+q，x=1处极值需p=-3，代入得q=4，f(x)=x^3-3x^2+4x，f(-1)=-1-3-4=-8，故取值范围为{-8}。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的值域，求其最大值和最小值。解析：见第12题解析，最大值为3，最小值为3。3.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围。解析：见第7题解析，a>1。4.已知函数f(x)=|x^3-2x|的极值点，求其极值。解析：见第8题解析，极值点为x=±√2/3及x=0，极值分别为f(±√2/3)=2√2/9，f(0)=0。5.已知函数f(x)=x^2+px+q的图象与x轴恰有两个交点，且f(1)=4，求f(-1)的取值范围。解析：见第9题解析，(-4,0)。6.已知函数f(x)=2cos^2(x)+sin(2x)-1在[0,π]上的最大值，求其取值。解析：见第10题解析，√2。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2+10x+100，收入函数为R(x)=60x-x^2，求该产品的边际利润函数。解析：利润函数L(x)=R(x)-C(x)=-2x^2+50x-100，边际利润函数L′(x)=-4x+50。2.某商品的需求函数为p=100-0.1x，求该商品的收入函数。解析：收入函数R(x)=px=(100-0.1x)x=-0.1x^2+100x。3.某产品的成本函数为C(x)=x^3-6x^2+15x+50，求其边际成本函数。解析：边际成本函数C′(x)=3x^2-12x+15。4.某商品的需求函数为p=50-0.5x，求该商品的收入函数。解析：收入函数R(x)=px=(50-0.5x)x=-0.5x^2+50x。5.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2+5x+100，收入函数为R(x)=80x-x^2，求该产品的边际利润函数。解析：利润函数L(x)=R(x)-C(x)=-2x^2+75x-100，边际利润函数L′(x)=-4x+75。6.某商品的需求函数为p=80-0.2x，求该商品的收入函数。解析：收入函数R(x)=px=(80-0.2x)x=-0.2x^2+80x。7.某产品的成本函数为C(x)=x^3-9x^2+24x+50，求其边际成本函数。解析：边际成本函数C′(x)=3x^2-18x+24。8.某商品的需求函数为p=60-0.1x，求该商品的收入函数。解析：收入函数R(x)=px=(60-0.1x)x=-0.1x^2+60x。9.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2+8x+80，收入函数为R(x)=70x-x^2，求该产品的边际利润函数。解析：利润函数L(x)=R(x)-C(x)=-2x^2+62x-80，边际利润函数L′(x)=-4x+62。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法及其应用。解析：函数单调性判定方法：若f′(x)在区间I上恒大于0，则f(x)在I上单调递增；恒小于0，则单调递减。应用：求单调区间、证明不等式、求极值等。2.论述函数极值与最值的区别与联系。解析：极值是局部性质，最值是全局性质；闭区间上连续函数必存在最值，极值点未必是最值点。3.论述函数单调性与导数的关系。解析：导数正负决定单调性，导数为0处可能是极值点。4.论述函数极值点的必要条件和充分条件。解析：必要条件：极值点必为驻点或导数不存在的点。充分条件：通过二阶导数或导数符号变化判断。5.论述函数值域的求解方法。解析：求导数确定单调区间、考虑奇偶性、利用基本不等式等。6.论述函数周期性的判定方法。解析：若存在T>0使f(x+T)=f(x)对所有x成立，则f(x)周期为T。7.论述函数渐近线的分类与求解方法。解析：水平渐近线y=k，垂直渐近线x=a，斜渐近线y=kx+b，通过极限求解。8.论述函数零点存在性定理及其应用。解析：若f(a)f(b)<0且f(x)在[a,b]上连续，则存在零点。应用：判断方程根的存在性。9.论述函数对称性的判定方法。解析：f(-x)=f(x)为偶函数，f(-x)=-f(x)为奇函数。应用：简化计算、分析图象。10.论述函数综合应用中的常见题型。解析：求单调区间、极值、最值、值域、零点、渐近线等。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.C3.D4.A5.A6.C7.C8.C9.D10.B解析：1.由ln(a+1)=a得a=0；2.利用绝对值三角不等式；3.极值点需满足f′(x)=0且f′(x)变号；4.分母不为0；5.周期T=2π/|ω|=π；6.通过代入验证；7.对数函数单调性取决于底数；8.通过导数符号变化判断极值点；9.判别式Δ与对称轴关系；10.利用辅助角公式。二、填空题1.-212.{3}13.214.(1,+∞)15.316.(-4,0)17.√218.x=-1,y=019.020.π解析：11.驻点法求极值；12.分段函数最值；13.驻点法求极值；14.对数函数单调性；15.绝对值函数极值；16.判别式与对称轴关系；17.辅助角公式；18.渐近线求解；19.极值点条件；20.三角函数周期。三、判断题1.√22.×23.√24.√25.×26.×27.×28.×29.√30.×解析：21.导数小于0；22.最小值为3；23.极值点必为驻点；24.对数函数单调性；25.极值点数量；26.Δ≥0且Δ≠0；27.三角函数周期；28.极限为1；29.极值点条件；30.三角函数周期。四、简答题1.最大值2，最小值-2解析：驻点x=0,2，端点x=