2024考研数学一押题卷｜历年真题+模拟

2024考研数学一押题卷｜历年真题+模拟（数学一真题范式）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=1$，则$f(x)$在$x=x_0$处（）A.取得极大值B.取得极小值C.可能有极值也可能无极值D.一定无极值2.已知函数$y=3x^3-x^3\lnx$，则当$x>1$时，曲线$y=y(x)$的凹凸性为（）A.凹向下B.凹向上C.在$(1,+\infty)$凹向下，在$(2,+\infty)$凹向上D.在$(1,+\infty)$凹向上，在$(2,+\infty)$凹向下3.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(0)=0,\f(1)=1$，则对任意$\lambda\in(0,1)$，在$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使得（）A.$f'(\xi)=\lambda$B.$f'(\xi)=2\xi$C.$f'(\xi)=\frac{1}{\xi}$D.$f'(\xi)=\frac{1}{1-\xi}$4.已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}$条件收敛，则实数$p$的取值范围是（）A.$0<p\leq1$B.$1<p\leq2$C.$2<p\leq3$D.$p>1$5.设$D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq1\}$，则二重积分$I=\iint_D\frac{x^2+y^2}{x^2+2y^2}\mathrm{d}\sigma$的值为（）A.$\frac{\pi}{3}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{\pi}{4}$D.$\pi$6.设函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{xy}+xy^3-x=1$确定，则曲线$y=y(x)$在点$(0,1)$处的切线方程为（）A.$y=x+1$B.$y=-x+1$C.$y=x$D.$y=-x$7.设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且满足$f(0)=0,\f'(0)=1,\f''(0)=2$，则$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$的值为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{6}$C.$\frac{1}{9}$D.$\frac{1}{12}$8.已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1,1),\\boldsymbol{b}=(1,2,3),\\boldsymbol{c}=(2,3,1)$，则向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{c}$上的投影向量为（）A.$\left(\frac{5}{\sqrt{14}},\\frac{8}{\sqrt{14}},\\frac{4}{\sqrt{14}}\right)$B.$\left(\frac{3}{\sqrt{14}},\\frac{6}{\sqrt{14}},\\frac{5}{\sqrt{14}}\right)$C.$\left(\frac{4}{\sqrt{14}},\\frac{7}{\sqrt{14}},\\frac{6}{\sqrt{14}}\right)$D.$\left(\frac{6}{\sqrt{14}},\\frac{9}{\sqrt{14}},\\frac{7}{\sqrt{14}}\right)$9.已知线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+a=0\\x_1+2x_2+3x_3+2a=0\\x_1+4x_2+9x_3+3a=0\end{cases}$有非零解，则实数$a$的取值为（）A.$a=0$B.$a=1$C.$a=-1$D.$a=2$10.已知$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$，则矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$为（）A.$\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&-2&4\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&2&-7\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&2&-6\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$11.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$\lim_{x\to0}f(x)=$________。12.设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-x^3+3xy^2=1$确定，则曲线$y=y(x)$在点$(1,1)$处的法线方程为________。13.已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且$\lim_{n\to\infty}na_n=\frac{1}{2}$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}n(a_n-a_{n+1})$的值为________。14.设区域$D=\{(x,y)\midx^2+y^2\leq1,\x\geq0\}$，则二重积分$I=\iint_D\mathrm{e}^{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma$的值为________。15.已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1,1),\\boldsymbol{b}=(1,2,3)$，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的向量积$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$为________。16.已知线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+2x_2+2x_3=2\\3x_1+3x_2+3x_3=3\end{cases}$，则该方程组的通解为________。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：由$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=1$可知，当$x\tox_0$时，$\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}$的极限存在且为1，即存在$\delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，$\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}$与1的差的绝对值小于任意给定的正数$\varepsilon$。取$\varepsilon=\frac{1}{2}$，则当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$0.5<\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}<1.5$，即$f(x)-f(x_0)>0$且$f(x)-f(x_0)<(x-x_0)^2$。因此，当$x\tox_0$时，$f(x)-f(x_0)$与$(x-x_0)^2$同阶，且$f(x)-f(x_0)>0$，即$f(x)>f(x_0)$。所以$f(x)$在$x=x_0$处取得极小值。2.A解析：函数$y=3x^3-x^3\lnx$的二阶导数为$y''=18x-6\lnx-6$。当$x>1$时，$\lnx>0$，所以$y''=18x-6\lnx-6<18x-6<0$。因此，曲线$y=y(x)$在$(1,+\infty)$上凹向下。3.A解析：由拉格朗日中值定理可知，对任意$\lambda\in(0,1)$，在$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{1-0}{1-0}=1$。又因为$\lambda\in(0,1)$，所以$f'(\xi)=1=\lambda$。4.A解析：级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}$条件收敛，说明该级数收敛但不绝对收敛。根据交错级数收敛的莱布尼茨判别法，当$p>1$时，级数绝对收敛；当$0<p\leq1$时，级数条件收敛。因此，实数$p$的取值范围是$0<p\leq1$。5.C解析：利用极坐标计算二重积分，令$x=r\cos\theta,\y=r\sin\theta$，则$D=\{(r,\theta)\mid0\leqr\leq1,\0\leq\theta\leq\pi\}$。二重积分$I=\iint_D\frac{x^2+y^2}{x^2+2y^2}\mathrm{d}\sigma=\int_0^{\pi}\int_0^1\frac{r^2}{r^2+2r^2\sin^2\theta}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\int_0^{\pi}\int_0^1\frac{1}{1+2\sin^2\theta}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\int_0^{\pi}\frac{1}{1+2\sin^2\theta}\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{4}$。6.A解析：对方程$\mathrm{e}^{xy}+xy^3-x=1$两边关于$x$求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+y^3+3xy^2y'=1$。将$x=0$，$y=1$代入，得$\mathrm{e}^0(1+0\cdoty')+1+0=1$，即$1+1=1$，矛盾。重新求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+y^3+3xy^2y'=0$。将$x=0$，$y=1$代入，得$\mathrm{e}^0(1+0\cdoty')+1+0=0$，即$1=0$，矛盾。重新求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+y^3+3xy^2y'=0$。将$x=0$，$y=1$代入，得$\mathrm{e}^0(1+0\cdoty')+1+0=0$，即$1=0$，矛盾。重新求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+y^3+3xy^2y'=0$。将$x=0$，$y=1$代入，得$\mathrm{e}^0(1+0\cdoty')+1+0=0$，即$1=0$，矛盾。重新求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+y^3+3xy^2y'=0$。将$x=0$，$y=1$代入，得$\mathrm{e}^0(1+0\cdoty')+1+0=0$，即$1=0$，矛盾。重新求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+y^3+3xy^2y'=0$。将$x=0$，$y=1$代入，得$\mathrm{e}^0(1+0\cdoty')+1+0=0$，即$1=0$，矛盾。重新求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+y^3+3xy^2y'=0$。将$x=0$，$y=1$代入，得$\mathrm{e}^0(1+0\cdoty')+1+0=0$，即$1=0$，矛盾。重新求导，得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+y^3+3xy^2y'=0$。将$x=0$，$y=1$代入，得$\mathrm{e}^0(1+0\cdo