2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优17　圆锥曲线中的非对称问题

培优17圆锥曲线中的非对称问题

解析几何中的一些定值、定点、定线问题,有时会出现需要证明类似

或

(A为常数)为定值的情形,这类问题通常无法直接代入x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2),因此把这类问题称为非对称问题.例1已知双曲线C:

-

=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2

.(1)求C的渐近线方程.(2)点Q为C的左支上一点,且cos∠F1QF2=

.A,B分别为C的左、右顶点,过点(2,0)的直线交C的右支于E,F两点,其中点E在x轴上方,直线EA与FB交于点P.①求直线F1Q的方程;②证明:点P到直线F1Q的距离为定值.解析

(1)由题意可知|F1F2|=2

=2

,解得a=1,则a2+3=4,所以双曲线C的方程为x2-

=1,所以C的渐近线方程为y=±2x.(2)①在△F1QF2中,知道∠F1QF2的余弦值及|F1F2|,可考虑利用余弦定理求|F1Q|,|F2Q|,设|F1Q|=t,t>0,则|F2Q|=t+2,(双曲线的定义)在△F1QF2中,由余弦定理得

+

-2|F1Q||F2Q|·cos∠F1QF2=

,即t2+(t+2)2-

t(t+2)=20,解得t=4或t=-6(舍去),所以|F1Q|=4,|F2Q|=6,所以

+

=

,则F1Q⊥F1F2,所以直线F1Q的方程为x=-

.②证明:观察所证问题猜想点P是定点或在定直线上,在图上取不同的直线EF,观察得到

的点P在与x轴垂直的直线上.

易知直线EF的斜率不为零,则可设直线EF的方程为x=my+2,E(x1,y1),F(x2,y2),联立

消去x得(4m2-1)y2+16my+12=0,(※)Δ=(16m)2-48(4m2-1)=16(4m2+3)>0恒成立,由根与系数的关系得y1+y2=

,y1y2=

,(※※)由题意得4m2-1≠0且y1y2=

<0,所以-

<m<

.由(1)知A(-1,0),B(1,0),则直线EA:y=

(x+1),直线FB:y=

(x-1),联立可得

=

.发现不能直接把y1+y2,y1y2代入,下面考虑把等式右边化为一个常数.处理方式一:(配凑半代换)

=

=

=

=

=-

.处理方式二:(和积转换)由(※※)得y1y2=

(y1+y2),则

=

=

=-

.处理方式三:(曲线代换)因为

-

=1,所以x2-1=

,所以

=

=

=

=-

.处理方式四:(求根公式)由(※)得y1=

,y2=

,则

=

=

=-

.解得x=

,故动点P在直线x=

上,所以点P到直线F1Q的距离为

-(-

)=

+

,所以点P到直线F1Q的距离为定值.例2

已知点A(-2,0),B(2,0),点P在以AB为直径的圆C上运动,PD⊥x轴,

垂足为D,点M满足

=

,点M的轨迹为W,过点

的直线l交W于点E,F.(1)求W的方程;(2)设直线AE,BF的斜率分别为k1,k2,证明

为定值,并求出该定值.解析

(1)由题意,点P在圆x2+y2=4上运动,设M(x,y),P(x0,y0),D(x0,0),由

=

得x=x0,y=

y0,又

+

=4,所以x2+

=4,所以W的方程为

+

=1.(2)证明:由题意,知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+

,E(x1,y1),F(x2,y2),联立

消去x得(3t2+4)y2+4ty-

=0,所以y1+y2=-

,y1y2=-

.

处理方式一:(和积转换)故

(y1+y2)=ty1y2,

=

·

=

=

=

=2.处理方式二:(配凑半代换)

=

·

=

=

=

=2.处理方式三:(曲线代换)因为

+

=1,所以x1+2=-

,所以

=

·

=

·

=

=

=2.处理方式四:(先猜后证)当直线EF与x轴垂直时,

=

=2,下证直线EF不与x轴垂直时,

=2成立.要证

=2,即证y2(x1+2)=2y1(x2-2),即证y2

=2y1

,即证ty1y2-

(y1+y2)=0,又ty1y2-

(y1+y2)=t·

-

·

=0,所以

=2成立.综上可得,

为定值2.总结归纳圆锥曲线中的非对称问题的解题策略分式上、下不对称型即

或

为定值的处理方式如下:1.和积转换(一般是积转和)——通过根与系数的关系,找出两根之和与两根之积的表达

式,再将和换成积或将积换成和.2.配凑半代换——对能代换的部分利用根与系数的关系代换,