2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优7　解三角形中的最值和范围问题

培优7解三角形中的最值和范围问题类型1利用基本不等式求最值或范围例在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

(sinBsinA-cosBcosA)=sinC.(1)求角C的大小;(2)若∠ACB的平分线交AB于D,且CD=2,求△ABC的面积S的最小值.解析

(1)等式左侧逆用两角和的余弦公式化简.由

(sinBsinA-cosBcosA)=sinC,得-

cos(A+B)=sinC(注意A+B+C=π),则

cosC=sinC,即tanC=

,而0<C<π,所以C=

.(2)由CD平分∠ACB,得∠ACD=∠BCD=

∠ACB=

,由S△ACD+S△BCD=S△ABC,得

×2·b·

+

×2·a·

=

ab·

,所以a+b=

ab.S=

absin∠ACB=

ab,要求三角形面积的最小值,即求ab的最小值,可以直接利用基本不等式求解.由基本不等式,得a+b=

ab≥2

,解得ab≥

,当且仅当a=b=

时取“=”.于是S=

ab≥

.即△ABC的面积S的最小值为

.例若锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径为

,且acos(B-C)+acosA=2

csinBcosA.(1)求角A的大小;(2)求

的取值范围.类型2利用函数单调性求最值或范围解析

(1)已知等式的左边既含有cos(B-C),又含有cosA,且都含有边a,所以考虑用A+B+

C=π将A用π-(B+C)代替.然后利用两角和、差的余弦公式展开化简.因为acos(B-C)+acos

A=2

csinBcosA,所以acosBcosC+asinBsinC-a(cosBcosC-sinB·sinC)=2

csinBcosA,即asinBsinC=

csinBcosA,由正弦定理得sinAsinBsinC=

sinCsinBcosA,显然sinC>0,sinB>0,所以sinA=

cosA,所以tanA=

,因为A∈

,所以A=

.(2)因为△ABC外接圆的半径为

,所以由正弦定理得

=

=2

,所以a=3,b=2

sinB,因为在锐角三角形中,角有限定范围,所以将所求式中边化角,所以

=b+

=2

sinB+

=2

sinB+

,看到这个形式,会想到基本不等式,但又注意到是求其取值范围,所以要采用换元法,然

后利用函数单调性求值域.要注意新元的范围,需要求角B的范围.因为△ABC为锐角三角形,所以

即

解得

<B<

,令x=sinB,因为B∈

,所以x∈

.

=2

,令f(x)=x+

,x∈

,根据对勾函数的性质可知函数f(x)=x+

在

上单调递减,在

上单调递增,且f

=2,f

=

,f(1)=

,所以f(x)∈[

,2),即sinB+

∈[

,2),所以2

∈[6,4

),即

的取值范围为[6,4

).类型3利用三角函数求最值或范围例如图,在平面四边形ABCD中,已知AD=1,CD=2,△ABC为等边三角形,记∠ADC=α.

若α∈

,求四边形ABCD面积的取值范围.

解析

S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC,在△ACD中,运用余弦定理求出AC,然后运用三角形的面积

公式表示出四边形ABCD的面积.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cosα=1+4-2×2×1·cosα=5-4cosα,所以S△ABC=

AC2=

(5-4cosα),又S△ACD=

×1×2sinα=sinα,所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=sinα+

(5-4cosα)=sinα-

cosα+

=2sin

+

,已知α的范围,可利用三角函数的图象和性质求取值范围.又因为α∈

,所以α-

∈

,

所以sin

∈

,则2sin

∈(1,2],所以2sin

+

∈

,故四边形ABCD的面积的取值范围为

.归纳总结

1.三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相

关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围.(2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形

式.(3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.2.求解三角形中的最值