2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优6　三角函数中ω的范围问题

培优6三角函数中ω的范围问题例1

(2026重庆阶段测试)已知f(x)=2sin

x+

cos

-1,将f(x)的图象向左平移

个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间(0,m)上恰有4个零点,则实数m的取值

范围为

()A.

B.

C.

D.

类型1区间一端为定值

B

解析

f(x)=2×

(sinx+cosx)×

(sinx+cosx)-1=2×

(sinx+cosx)2-1=(sin2x+2sinxcosx+cos2x)-1=(1+sin2x)-1=sin2x.

或者由积化和差公式得f(x)=sin

+

+sin

-

-1=sin2x

所以g(x)=f

=sin

=sin

,令t=2x+

,由0<x<m,得t∈

,(关注到区间一端是确定的,只需要控制另一端符合题意即可)函数g(x)在区间(0,m)上恰有4个零点,观察y=sint的图象,

由图发现若要满足条件,则有4π<2m+

≤5π,

此处要注意:t所在的区间右端是开区间,也就是取不到端点值,又要求第4个零点在区间内,第5个零点不在区间内,所以2m+

不能等于4π,但可以等于5π

解得

<m≤

,即m∈

,故选B.例2

(2025湖北武汉华中师大一附中检测)已知函数f(x)=2cos2ωx-(sinωx-cosωx)2(ω>0)

的图象关于直线x=

轴对称,且f(x)在

上没有最小值,则ω的值为

()A.

B.1

C.

D.2

C

解析先化简解析式,f(x)=2cos2ωx-(sin2ωx-2sinωxcosωx+cos2ωx)=2cos2ωx+sin2ωx-1=cos2ωx+sin2ωx=

sin

,因为f(x)的图象关于直线x=

轴对称,所以

+

=kπ+

,k∈Z,即ω=6k+

,k∈Z,当x∈

时,2ωx+

∈

,(关注到区间一端是固定的,只需要控制另一端符合题意即可)画出y=sinx的图象,观察图象可知,

+

≤

π,解得0<ω≤

,又因为ω=6k+

,k∈Z,所以只有k=0时满足题意,此时ω=

.故选C.

类型2区间两端都不定例1

(2026湖南名校联合体联考)已知函数f(x)=7cos

(ω>0)在区间

内仅存在一个极值点和两个零点,则实数ω的取值范围为_________________.

∪

解析由x∈

得ωx+

∈

+

,

+

,区间两端的范围均不定,可根据条件先确定一个初步范围,再逐渐缩小范围.设f(x)的最小正周期为T,

的区间长度为

,画出y=cosx的图象,观察图象可以发现,若f(x)在某个区间[a,b)内有一个极值点和两个

零点,则这个区间长度的最小值是无限接近

,如图1所示,区间长度的最大值是无限接近T,如图2所示,

所以

<

<T,即

<

<

,解得4<ω<8,有了ω的初步范围,可以将区间端点的范围进一步缩小,为下面的讨论奠定基础.所以

<

+

<

,

<

+

<

,这时候可以通过先固定一端的范围,再确定另一端的范围,来建立关于ω的不等式组.由图3可知,先控制区间左端在第一个零点左侧,即左端点在

内,要求有两个零点,一个极值点,则右端点必须在

内,列出不等式组,则有

解得

<ω≤

,若左端点在

内,则不会出现有两个零点和一个极值点的情况,故这个范围可以舍去,若左端点在

内,根据图3,则有

解得

≤ω≤

,综上,实数ω的取值范围为

∪

.

例2

(2025湖南长沙雅礼中学综合测试)已知函数f(x)=sinωx+2cos2

(ω>0)在区间

上单调递增,则ω的取值范围是

()A.(0,4]

B.

∪

C.

∪

D.

C

解析先化简解析式,f(x)=sinωx+cosωx+1=

sin

+1.再利用单调性大致确定ω的范围,因为f(x)在区间

上单调递增,所以

-

≤

=

,解得0<ω≤4,当x∈

时,ωx+

∈

,(区间两端都不定,先根据ω的范围大致确定区间端点的范围)因为0<ω≤4,所以

<

+

≤

,

<

+

≤

,画出y=sinx的图象,观察图象可知,满足条件的单调递增区间只有2个,即

和

.

所以当单调递增区间是

时,有

解得0<ω≤

,当单调递增区间是

时,有

解得

≤ω≤3.综上,ω∈

∪

.故选C.类型3非充要需检验例已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在

上单调,且f

=0,f(x)=f

,则ω的最大值与最小值之和为

()A.

B.

C.2

D.

B

解析由于函数解析式中包含两个参数,区间两端均不定,所以先根据零点和对称轴建

立关于ω的关系式.由f(x)=f

得f(x)的图象关于直线x=

对称,又f

=0,所以

则ω=

(k2-k1)+

(k1,k2∈Z),即ω=

(k∈Z),再由函数f(x)在

上的单调性初步确定ω的范围,由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在

上单调,得

≥

-

=

,即

≥π,所以0<ω≤2,

注意:

的区间长度小于或等于

只是函数f(x)在

上单调的必要条件,不是充要条件,所以此处得到的ω的范围不一定是最终的范围,需要进一步检验其充

分性

则有0<

≤2,解得-

<k≤

,而k∈Z,故k=0,1,2.当k=0时,ω=

,则-

+φ=k1π,k1∈Z,结合0<φ<π,得φ=

,此时f(x)=sin

,当x∈

时,

x+

∈

,f(x)=sin

在

上单调递增,满足题意;当k=1时,ω=1,则-

+φ=k1π,k1∈Z,结合0<φ<π,得φ=

,此时f(x)=sin

,当x∈

时,x+

∈

,f(x)=sin

在

上单调递减,满足题意;当k=2时,ω=

,-

+φ=k1π,k1∈Z,结合0<φ<π,得φ=

,此时f(x)=sin

,当x∈

时,

x+

∈

,不满足f(x)=sin

在

上单调.综上,ω=

或1,则ω的最大值与最小值之和为

.故选B.总结归纳求解三角函数中ω的范围问题的几种意识1.转化意识:利用三角恒等变换(如和角公式、倍角公式、降幂公式等)将函数解析式化

为y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B或y=Atan(ωx+φ)+B的形式.2.整体意识:类比正弦函数,余弦函数,正切函数将“ωx+φ”看成上述函数的“x”,采用

整体代入求解.3.图象分析意识:根据题中条件确定解题方向,比如题中ω与单调性、对称性、零点、

最值、