2027版53B版新高考版数学总复习重难突破专题五　平面向量与复数

专题五平面向量与复数体系透视目录题型透析题型16三角形“四心”与奔驰定理题型17等和线定理题型18极化恒等式题型19复数的几何意义体系透视

题型16三角形“四心”与奔驰定理角度1向量与三角形“四心”1.重心:三角形的三条中线的交点,重心分中线长度之比为2∶1.在△ABC中,G为重心.(1)已知△ABC的顶点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标为G

,

.(2)

+

+

=0.(3)

=

+

,

=

+

,

=

+

.题型透析(4)动点P满足

=

+λ(

+

),λ∈(0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的重心.(5)动点P满足

=

+λ

+

,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心.2.内心:三角形的三条角平分线的交点(三角形内切圆的圆心),角平分线上的点到角两

边的距离相等.在△ABC中,I为内心,三角形三边长分别为a,b,c.(1)a·

+b·

+c·

=0.(2)动点P满足

=

+λ

,λ∈(0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的内心.(3)

·

=

·

=

·

=0.3.外心:三角形三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心),外心到三角形各顶

点的距离相等.已知△ABC,O为其外心.(1)

=

=

.(2)

·

=

|AB|2,

·

=

|BC|2,

·

=

|CA|2.(3)动点P满足

=

+λ

+

,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心.4.垂心:三角形的三条高线的交点,高线与对应边垂直.已知△ABC,H为其垂心.(1)

·

=

·

=

·

.(2)

+

=

+

=

+

.(3)动点P满足

=

+λ

+

,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.例1已知△ABC中,点G,O分别是△ABC的重心和外心,且

·

=4,|

|=2,则边BC的长为____________.

2 

解析题目中的条件都是向量形式,故点G,O分别是△ABC的重心和外心的条件要转

化为向量形式.取BC的中点D.因为点G是△ABC的重心,所以

=

=

×

(

+

)=

(

+

),(注意:重心分中线长度之比为2∶1)所以

·

=

(

+

)·

.因为点O是△ABC的外心,所以

·

=

,

·

=

,所以

·

=

(

·

+

·

)=

(

+

)=4,又|

|=

|

|=3,所以|

|=

|

+

|=3,则|

+

|=6,所以

=

+

+2

·

=36,则

·

=6,因此

=

=

+

-2

·

=12,即|

|=2

.角度2奔驰定理若点O为△ABC内一点(如图),则S△BOC

+S△COA

+S△AOB

=0.

证明:根据三角形重心的性质推导.在射线OB与OC上分别取点B1与点C1,使得点O为△

AB1C1的重心,取B1C1的中点D,AB1的中点E,如图.

由点D为B1C1的中点,得

+

=2

,又点O为△AB1C1的重心,所以

=-2

,所以

+

+

=0.设

=p

(p>0),

=q

(q>0),则

+

+

=0,且|

|=p|

|,|

|=q|

|,所以pq

+q

+p

=0.因为S△BOC=

|

||

|·sin∠BOC,

=

|

||

|·sin∠B1OC1,所以

=

=pq.同理

=

=p,

=

=q,所以

+

+

=0.因为点O为△AB1C1的重心,所以

=

=

,所以S△BOC

+S△COA

+S△AOB

=0.例2

(多选)“奔驰定理”因其图形酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非常优美

的结论.它的具体内容是:已知M是△ABC内一点,△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为

SA,SB,SC,则SA·

+SB·

+SC·

=0.以下命题正确的有

()A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1,则M为△ABC的重心B.若SA∶SB∶SC=1∶2∶3,则

=

+

ABD

C.若

=

+

,则

=

D.若M为△ABC的内心,且3

+4

+

=0,则cosC=

解析观察到A,B选项中给出的是面积的比值,且由题干条件SA·

+SB·

+SC·

=0,即推得

,

,

之间的关系,进而得出结论.对于A,若SA∶SB∶SC=1∶1∶1,则

+

+

=0,则M为△ABC的重心,A中命题正确;对于B,若SA∶SB∶SC=1∶2∶3,由条件得

+2

+3

=0,所以

=2

+3

=2(

-

)+3(

-

),(提示:利用向量的线性运算,使表达式中只出现目标向量

,

,

)所以6

=2

+3

,即

=

+

,B中命题正确;对于C,根据B选项的思路,将条件转化为

,

,

之间的关系,若

=

+

,则

=

(

+

)+

(

+

),即-

+

+

=0,即

+

+

=0,即5

+3

+4

=0,所以SA∶SB∶SC=5∶3∶4,所以

=

=

=

≠

,C中命题错误;对于D,设△ABC的内切圆半径为r,利用三角形内心的性质,得SA∶SB∶SC=

∶

∶

=BC∶AC∶AB,因为3

+4

+

=0,则SA∶SB∶SC=3∶4∶

,故BC∶AC∶AB=3∶4∶

,不妨设BC=3,AC=4,AB=

,则BC2+AB2=AC2,故△ABC是直角三角形,且∠ABC为直角,所以cosC=

=

,D中命题正确.故选ABD.归纳总结奔驰定理与三角形“四心”的关系1.若O是△ABC的重心,则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=1∶1∶1.2.若O是△ABC的内心,则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=a∶b∶c.3.若O是△ABC的外心,则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=sin2∠BAC∶sin2∠ABC∶sin2∠ACB.4.若O是锐角△ABC的垂心,则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB.题型17等和线定理如图,平面内一个基底{

,

}及任意向量

满足

=λ

+μ

(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线CD上运动,则λ+μ为定值

定值|k|=

,Q为OP与直线AB的交点

,反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线CD称为等和线.

(1)当点O在直线AB与点P所在的直线CD之间时,k<0;(2)当点P所在的直线CD过点O时,k=0;(3)当点P所在的直线CD在点O和直线AB之间时,k∈(0,1);(4)当点P在直线AB上时,k=1;(5)当直线AB在点O与点P所在的直线CD之间时,k∈(1,+∞).例1

(2026山东省实验中学期中)已知直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥CD,且CD=3,AB

=2,点P是梯形ABCD内(含边界)任意一点,设

=λ

+μ

(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为

()A.

B.

C.

D.

A

解析解法一:观察到向量

,

,

共起点,而λ+μ为

,

的系数和,从而联想等和线定理.以A为坐标原点,

,

的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,

如图,根据等和线定理,当B,P,D三点共线时,λ+μ=1,当点P位于与BD平行的直线AN,CM上的点A,C处时,分别有λ+μ=0,λ+μ=

,又因为AB∥CD,所以

=

=

,所以

=

,所以λ+μ∈

.解法二:观察到题干中有∠A=90°,联想到以A为坐标原点,

,

的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算表示出

,进而得到λ+μ与点P的坐标的关系,再根据点P坐标的限制确定λ+μ的取值范围.如图,以A为坐标原点,

,

的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,

则A(0,0),B(2,0),则

=(2,0),设AD=b(b>0),P(x,y),则C(3,b),D(0,b),0≤x≤3,0≤y≤b,则

=(0,b),因为

=λ

+μ

(λ,μ∈R),所以(x,y)=λ(2,0)+μ(0,b)=(2λ,bμ),所以λ=

,μ=

,λ+μ=

+

,当x=y=0时,λ+μ取得最小值0;(提示:x,y最小时λ+μ最小)当x=3,y=b时,λ+μ取得最大值

,(提示:x,y最大时λ+μ最大)即λ+μ∈

.故选A.例2在扇形OAB中,∠AOB=60°,|

|=1,C为

上的一个动点,且

=x

+y

,则x+4y的取值范围为

()A.[1,4)

B.[1,4]

C.[2,3)

D.[2,3]

B

解析由题意得,

=x

+4y

(配凑系数,利用等和线定理求解),令

=

,如图,则直线AB1为k=1的等和线,所有与直线AB1平行的直线中,过点B的直线离点O最远,此时k

的值最大,且k=

=4,显然k的最小值为1,即x+4y∈[1,4].

方法总结等和线定理的应用用基底表示的系数和问题可考虑用等和线定理求解,其核心是找到基向量终点连

线的平行线,将系数和问题转化为线段比例问题.题型18极化恒等式1.极化恒等式:a·b=

[(a+b)2-(a-b)2].2.几何解释(1)平行四边形模型:向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的

,即a·b=

[(a+b)2-(a-b)2](如图).

(2)三角形模型:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差,即

·

=

-

(M为BC的中点)(如图).

极化恒等式表明,向量的数量积可以由向量的模来表示,可以建立起向量与几何长度之

间的等量关系.例1如图,在四边形ABCD中,|

|=4,

·

=12,E为AC的中点,

=2

,则

·

的值为

()

A.0

B.12

C.2

D.6

A

解析

,

共起点,且|

|=4,E是AC的中点,符合极化恒等式的使用条件.∵|

|=4,E为AC的中点,∴|

|=|

|=2.根据极化恒等式可得

·

=|

|2-|

|2=

-4=12,∴|

|=4,又

=2

,∴|

|=

|

|=2,∴

·

=|

|2-|

|2=4-4=0.故选A.例2窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的汉族传统民间艺术之一,它

历史悠久,风格独特,深受国内外人士喜爱.图甲是一个正八边形窗花隔断,图乙是从窗

花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2

,M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点,则

·

的最大值为

()

A.30+4

B.28+8

D

C.26+16

D.24+16

解析

,

共起点,且|

|=2

是定值,符合使用极化恒等式的条件.先取中点,如图,取AB的中点O,连接MO,BE,OE,分别过点C,D作BE的垂线,垂足为I,J,

由极化恒等式可得

·

=

-

=

-2,故只需求

的最大值.当点M与点F或点E重合时,|

|取得最大值,易得四边形CDJI为矩形,△BCI,△DEJ为等腰直角三角形,则IJ=2

,BI=EJ=2,则BE=BI+IJ+EJ=4+2

,又BO=

,则

的最大值为BO2+BE2=(

)2+(4+2

)2=26+16

,所以

·

的最大值为24+16

.题型19复数的几何意义1.复数的几何意义

2.复数加、减法的几何意义若复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),在复平面内对应的点分别为Z1(a,b),Z2(c,d),O为坐标原点,若

,

不共线,如图,则复数z1+z2是以

,

为邻边的平行四边形的对角线

对应的复数;复数z1-z2是

-

=

对应的复数.

3.从几何意义理解复数的模|z|=

表示点Z(a,b)到原点的距离,|z1-z2|表示点Z1和Z2之间的距离.例

(多选)已知复数z1,z2(z1z2≠0)在复平面内对应的向量分别为

,

(其中O为原点),则下列命题正确的是

()A.若

⊥

,则|z1+z2|=|z1-z2|B.若|

|=5,则|z1-2|的最小值为3C.若(

+

)⊥(

-

),则z1=z2D.若|

|>|

|,则z1>z2

AB

解析根据复数的几何意义,可将复数问题转化为向量问题,将代数问题转化为几何问

题.对于A,若

⊥

,则复平面内以有向线段

和

为邻边的平行四边形是矩形,根据矩形的对角线相等和复数加、减法的几何意义可知选项A正确.对于B,若|

|=5,则点Z1的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,设z1=5cosθ+5sinθi,θ∈[0,2π),则|z1-2|=

=

,因为-1≤cosθ≤1,所以

=

=3,故B正确.(另解:若|

|