2027版53B版新高考版数学总复习重难突破专题九　计数原理、概率与统计

专题九计数原理、概率与统计体系透视目录题型透析题型35计数原理题型36二项式定理题型37条件概率及全概率公式题型38二项分布和超几何分布题型39正态分布题型40变量间的相关关系及经验回归方程题型41独立性检验题型42概率新定义问题体系透视

题型35计数原理角度1排列问题题型透析例1由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中任意两个偶数都不相邻,则满足条

件的六位数的个数为

()A.60

B.108

C.132

D.144

B

解析要求任意两个偶数都不相邻,所以可以根据插空法先排奇数,再排偶数,先排3个奇数,有

=6种排法,排完奇数后形成4个空,插入余下的3个偶数,有

=24种排法,因为有0这个特殊数字,所以还需去除0在首位的情况,注意0放在首位时,剩下的2个偶数在余下的3个位置排列,故有

=6种,所以满足条件的六位数的个数为6×(24-6)=108.故选B.例2

3名男生和2名女生参加某宣讲活动.(1)活动结束后,这五位同学和班主任合影留念,要求班主任站在甲、乙同学中间,有多

少种不同的排法?(2)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等,则这五位同学和班主任合影留

念时甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的排法?(3)这五位同学合影留念时,同学甲不站在最左端,同学乙不站在最右端,有多少种不同

的排法?(写出必要的数学式,结果用数字作答)解析

(1)捆绑法:将班主任和甲、乙同学构成1个“小集团”,看作1个人,和剩下的3个

人排列,共有

种排法,下面考虑“小集团”内部,甲、乙两名同学可以分别在班主任的左、右两侧,故有

种排法,所以不同的排法有

=48种.(2)倍缩法:先将6人全排列,共有

种排法,这些排法中甲、乙、丙三人的排列有

种,但满足条件的甲、乙、丙的排法只有1种,所以不同的排法有

=120种.(3)间接法:先将五位同学全排列,共有

种排法,同学甲站在最左端的情形有

种(包含甲站在最左端,乙站在最右端),同学乙站在最右端的情形也有

种(包含乙站在最右端,甲站在最左端),而同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形有

种,所以同学甲不站在最左端,同学乙不站在最右端,不同的排法种数有

-2

+

=78.归纳总结排列问题的常用解题策略

角度2组合问题例3

(2025重庆南开中学期末)已知某班级将学生分为4个不同的大组,每个大组均有14名学生,现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动,要求每个大组至少有1名同学参

加,则不同的抽取结果共有

()A.(

)4·

种

B.(

)3·

种C.4(

)3·

种

D.2(

)4·

种

C

解析要求每个大组至少有1名同学参加,即在4个大组中,必有一个大组有2名同学参

加活动,其余组各有1个同学,先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组,有

种,再从这个组内的14人中选出2人参加,共有

种,再从剩下的三个大组中分别各取1名同学,有(

)3种.由分步乘法计数原理,知不同的抽取结果共有

·

·(

)3=4(

)3·

种.故选C.例4

2024年12月7日西南大学附属中学校举行了办学110周年庆典,为此某班设计了富

含寓意的11个文创作品,已知甲同学喜欢作品A、B,乙同学喜欢作品B、C、D,丙同学

除了不喜欢E作品,其他作品都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选取一个作为礼

物收藏,若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品,则不同的选法有

()A.50种

B.48种

C.45种

D.40种

D

解析因为甲、乙同学有共同喜欢的B,所以可分甲选A和甲选B两种情况讨论,若甲选A,则乙有

种选法,丙有

种选法,故共有1×

×

=24种选法;若甲选B,则乙有

种选法,丙有

种选法,故共有1×

×

=16种选法.综上,可得一共有24+16=40种不同的选法.故选D.归纳总结

1.组合问题的两类常见题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另

外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须重视“至少”与“最

多”这两个关键词的含义,谨防重复与遗漏,用直接法和间接法都可以求解,通常分类少

时用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.2.有限制条件的组合问题的解题思路从限制条件入手,组合问题只是从整体中选出部分即可,常见情况有:(1)某些元素必选;(2)某些元素不选;(3)把元素分组,根据在各组中分别选多少分类.角度3分组分配问题例5

2025年6月25日是全国低碳日,2025年全国节能宣传周为6月23日至29日,其主题

是“探路先锋,绿动未来”.某市在6月23,25,27日安排5位人员进行节能宣传,要求每天

至少派1位,且每位人员只进行一次宣传,则不同的分派方法有()A.60种

B.90种

C.150种

D.180种

C

解析第一步:先分组,需将5位人员分成3组,有1,1,3与1,2,2两种类型,其中1,1,3的分组

方法有

=10种,1,2,2的分组方法有

=15种,第二步:再分配,将分好的3组全排列,有

=6种方法,则不同的分派方法有(10+15)×6=150种.故选C.归纳总结分组分配问题的解题策略

注意不同元素的分配问题需要先分组后分配,若为完全均匀分组或部分均匀分组,需

在分组时除以相同组数的全排列.角度4计数原理创新题例6“杨辉三角”出自我国数学家杨辉1261年著的《详解九章算法》一书,393年后

欧洲帕斯卡也发现这个三角图形,所以“杨辉三角”也叫做“帕斯卡三角形”,它结构

优美、性质奇特,生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系.例如生活中的最

短路径问题:如图1所示,从甲到每一个交叉点的走法最短路径的条数(图2)与杨辉三角

中对应的数性质相同.已知图3是国际象棋简易棋盘,现有一棋子“车”的起始位置是

“a1”,则它要到“g7”位置的最短路径的条数为

()

B

A.1716

B.924

C.792

D.462解析观察题中给出的示例,发现甲从开始走到某个位置的最短路径都是需要向右走

m步,向下走n步来实现的,如走到数字6所在的位置需要向右走2步,向下走2步,所以共有

=6种,那么观察棋子“车”从起始位置“a1”到达“g7”位置的最短路径为向右走6步,向上

走6步,所以最短路径的条数有

=

=924.故选B.题型36二项式定理角度1特定项的系数例1

(x+y)4的展开式中x2y3的系数为

()A.4

B.6

C.8

D.10

C

解析因为

(x+y)4=x(x+y)4+

(x+y)4,所以下面考虑二项式(x+y)4的展开式中含xy3,x3y的项的系数即可.因为(x+y)4的展开式中含xy3的项的系数为

=4,(x+y)4的展开式中含x3y的项的系数为

=4,所以

(x+y)4的展开式中x2y3的系数为4+4=8.故选C.例2

(1+2x-3x2)5的展开式中含x5的项的系数为____________.

92

解析解法一:将括号内的多项式因式分解,拆为两个二项式相乘的形式.因为(1+2x-3x2)5=[(1-x)(3x+1)]5=(1-x)5(3x+1)5,则含x5的项的系数和为

(-1)5

30+

(-1)4

31+

·(-1)3

32+

33+

(-1)1

34+

35=92.解法二:将括号内的多项式进行分组,看成两部分,直接用二项式定理展开.(1+2x-3x2)5=[(1+2x)-3x2]5=

(1+2x)5+

(1+2x)4·(-3x2)+

(1+2x)3(-3x2)2+

(1+2x)2(-3x2)3+

·(1+2x)1(-3x2)4+

(-3x2)5,再根据二项式定理,寻找x5的来源,x5的项的系数为

×25+

×23×(-3)+

×2×(-3)2=92.解法三利用组合数原理:先将(1+2x-3x2)5看作5个因式1+2x-3x2的乘积,再从5个因式中寻

找x5的来源,每个因式中都有x0,x1,x2项,要想5个因式共同构成x5,思考组合方式.①5个因式各出一个2x,这样的方式有

种,对应的项为

(2x)5;②有3个因式各出一个2x,有1个因式出一个-3x2,剩余1个因式出一个1,这样的方式有

·

种,对应的项为

(2x)3

(-3x2);③有1个因式出一个2x,2个因式各出一个-3x2,剩余2个因式各出一个1,这样的方式有

种,对应的项为

×2x×

×(-3x2)2,所以一共有3种组合方式,所以含x5的项的系数为25+

×23×

×(-3)+

×2×

×(-3)2=92.归纳总结

1.求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项(或其系数)的方法求通项Tk+1=

an-kbk→令字母的指数符合要求→解k的值→代回通项即可得特定项(或其系数).2.求形如(a+b)n(c+d)m(n,m∈N*)的展开式的特定项(或其系数)的方法求通项Tk+1Tr+1=

an-kbk·

cm-rdr=

an-kbkcm-r·dr→令字母的指数符合要求→解k和r的值→代回通项即可得特定项(或其系数).3.(a+b+c)n的展开式中特定项(特定项系数)的求解方法例3已知(x-1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和为64,若(x-1)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2

+…+an(x+1)n,则a1=

()A.192

B.448

C.-192

D.-448

B

角度2二项式系数和与各项系数和解析给出奇数项的二项式系数和可求出n,由题意,展开式中奇数项的二项式系数和

+

+

+…=2n-1=64,所以n=7,(x-1)7=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a7(x+1)7是按x+1展开的,可将其换元,化为我们熟悉的形

式,令t=x+1,则x=t-1,所以题干的展开式即为(t-2)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7,由二项式定理,知(t-2)7

的展开式的通项为Tr+1=

t7-r·(-2)r=(-2)r

t7-r(r=0,1,2,…,7),令7-r=1,可得r=6,所以展开式中含t的项为T7=(-2)6

t=448t,故a1=448.例4

(多选)下列命题正确的是

()A.(3x+1)5的展开式中,一共有6项B.在

的展开式中,所有二项式系数的和为64C.若(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+a3+…+a8=0D.二项式(1-3x)n=a0+a1x+…+anxn,若|a0|+|a1|+…+|an|=1024,则n=6

ABC

解析对于A,(a+b)n的二项式的展开式一共有(n+1)项,而n=5,故共有6项,所以A中命题

正确;对于B,(a+b)n展开式的所有二项式系数的和为2n,n=6时,26=64,故B中命题正确;对于C,令x=1,可得所有项系数和,令x=0,可得常数项,令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=(1-2)8=1,

令x=0,得a0=(1-0)8=1,所以a1+a2+a3+…+a8=0,故C中命题正确;对于D,要求所有项系数绝对值之和,将二项式等号左边的“-”变成“+”即可,二项式

(1-3x)n=a0+a1x+…+anxn,则(1+3x)n=|a0|+|a1|x+…+|an|xn,令x=1,得|a0|+|a1|+…+|an|=(1+3)n=4n=1024,则n=5,故D中命题不正确.故选ABC.方法总结赋值法求各项系数的和1.对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.2.一般地,对于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的

系数的和为g(1),奇数项的系数和为

[g(1)+g(-1)],偶数项的系数和为

[g(1)-g(-1)].角度3项的系数与二项式系数的最值问题例5已知(3x+y)n的展开式中各项系数之和是二项式系数之和的64倍.则(1)展开式中二项式系数最大的项是_________________;(2)展开式中系数最大的项是__________________.

1458x5y

540x3y3

解析

(1)令x=y=1,得展开式中各项系数之和为4n,又二项式系数之和为2n,且各项系数

之和是二项式系数之和的64倍,所以4n=64×2n,得n=6,展开式共7项,根据二项式系数的对称性,知中间项的二项式系数最

大,故第四项是二项式系数最大项.(3x+y)6的展开式的通项为Tk+1=

36-k·x6-kyk,所以T4=

36-3x6-3y3=540x3y3,故二项式系数最大的项为540x3y3.(2)设展开式中第k+1项的系数最大,则依题应使第k+1项的系数不小于第k项的系数,且

不小于第k+2项的系数,则

由①,可得

≥3×

,即

≥

,解得k≤

;由②,可得3×

≥

,即

≥

,解得k≥

.故有

≤k≤

,因为k∈N,所以k=1,即展开式中系数最大的项为T2=35

x5y=1458x5y.归纳总结二项展开式中系数最大项的求法如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般采用待定系数法,设展开式各

项系数分别为A1,A2,…,

,且第k项系数最大,由

解得k,从而得结果.角度4整除及余数问题例6设a∈Z,且0≤a≤13,若512025+a能被13整除,则a等于

()A.0

B.1

C.11

D.12

B

解析给出的51和13有什么关系呢?很容易发现51=4×13-1=52-1,所以可以将512025转化为(52-1)2025,这样在二项展开式中就很容易找到哪些数能被13整

除,余数又是多少.512025+a=(52-1)2025+a=

·522025-

·522024+

·522023-…+

·52-

+a,发现(

·522025-

·522024+

·522023-…+

·52)能被13整除,所以-

+a=-1+a也能被13整除,又a∈Z,且0≤a≤13,所以a=1.方法总结

在证明整除问题或求余数问题时,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来

展开,然后结合整除的有关知识来解决.题型37条件概率及全概率公式角度1条件概率例1在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三

人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级

的条件下,乙达到优秀等级的概率为

()A.

B.

C.

D.

C

解析分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件A,B,C,记甲、乙、丙三人中恰有两

人没有达到优秀等级为事件D,记乙达到优秀等级为事件E.明确要求的概率是P(E|D),那么需要分别求P(D)和P(ED),P(D)=P(A

)+P(

B

)+P(

C)=0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.29,P(ED)=P(

B

)=0.5×0.6×0.3=0.09,所以P(E|D)=

=

=

.故选C.例2“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,n阶幻方(n≥3,

n∈N*)是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的n个数之

和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不

同的数,记“取到的3个数和为15”为事件A,“取到的3个数可以构成一个等差数列”

为事件B,则P(B|A)=()

A.

B.

C.

D.

A

解析因为题干中没有给出任何事件的概率,所以要想求P(B|A),可以用公式P(B|A)=

,下面用列举法分别写出事件A,AB的所有情况,根据题意,事件A包含的样本点有(1,5,9),(1,6,8),(2,4,9),(2,5,8),(2,6,7),(3,4,8),(3,5,7),(4,5,6),共8个;而事件A,B同时发生的样

本点有(1,5,9),(2,5,8),(3,5,7),(4,5,6),共4个,所以P(B|A)=

=

=

.故选A.方法总结求P(B|A)的方法定义法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=

求P(B|A)样本点个数法借助古典概型概率公式,先求事件A包含的样本点个数n

(A),再求事件AB所包含的样本点个数n(AB),得P(B|A)=

角度2全概率公式例3甲袋中有5个红球和3个白球,乙袋中有4个红球和2个白球,如果所有小球只存在

颜色的差别,并且整个取球过程是盲取,分两步进行:第一步,从甲袋中随机取出一球放

入乙袋,分别用A1,A2表示由甲袋中取出红球、白球的事件;第二步,从乙袋中随机取出两

球,用B表示第二步由乙袋中取出的球都是红球的事件,则事件B的概率是___________.解析事件B包含两种情况,即P(B)=P(A1B)+P(A2B),可以用条件概率求P(A1B)=P(A1)P(B|A1),P(A2B)=P(A2)P(B|A2).因为P(A1)=

,P(A2)=

,P(B|A1)=

=

,P(B|A2)=

=

=

,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=

×

+

×

=

.技巧总结全概率公式的应用全概率公式是计算概率的一个很有用的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的

一组原因,如若A是“次品”,必是n个车间生产了次品;若A是“某种疾病”,必是n种病

因导致A发生;若A表示“被击中”,必有n种方式或n个人打中.(1)何时用:多种原因导致事件的发生.(2)如何用:将事件分成两两不相容的完备事件组.(3)数学本质是先利用一组两两互斥的事件(和为必然事件)分割事件B,再由概率的加法

公式和乘法公式求事件A的概率.题型38二项分布和超几何分布例近日,某企业举行“猜灯谜,闹元宵”趣味竞赛活动,每个员工从8道谜语中一次性

抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中,2道不能猜中;小王每道谜语能猜中的概率均为p(0

<p<1),且猜中每道谜语与否互不影响.(1)分别求小张,小王猜中谜语道数的分布列;(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数,求p的取值范围.解析

(1)小张猜谜语的模型特点:①考察对象分两类;②各类对象的个数已知;③从中抽取若干个个体考察某类个体数X的概率分布,其符合超几何分布.设小张猜中谜语的道数为X,X的取值分别为2,3,4,且P(X=2)=

=

=

,P(X=3)=

=

=

,P(X=4)=

=

=

,故小张猜中谜语道数的分布列为X234P

小王猜谜语的模型特点:①一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”,而且有且仅有一个发生;②试验在相同条件下独立重复地进行n次;③每一次试验“成功”和“不成功”的概率都保持不变.其符合二项分布.设小王猜中谜语的道数为Y,Y的取值分别为0,1,2,3,4,且P(Y=0)=(1-p)4,P(Y=1)=

(1-p)3p=4p(1-p)3,P(Y=2)=

(1-p)2p2=6p2(1-p)2,P(Y=3)=

(1-p)p3=4p3(1-p),P(Y=4)=p4.

Y01234P(1-p)44p(1-p)36p2(1-p)24p3(1-p)p4故小王猜中谜语道数的分布列为(2)分别求两人猜中谜语道数的期望,根据期望列不等式求解,由(1)可知E(X)=2×

+3×

+4×

=3,E(Y)=4p,若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数,则3>4p,解得0<p<

.归纳总结二项分布与超几何分布的应用一、二项分布的实际应用1.确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p),P(X=k)=

·pk·(1-p)n-k,E(X)=np,D(X)=np(1-p).2.利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤(1)根据题意设出随机变量;(2)分析随机变量是否服从二项分布;(3)若服从二项分布,则求出参数n和p的值;(4)根据需要列出相关式子并解决问题.二、超几何分布的实际应用1.超几何分布的特征(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数;(2)考察对象分两类且已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体数X的概率分布.X~H(N,n,M),P(X=k)=

,E(X)=

,D(X)=

.2.超几何分布的适用场景超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.题型39正态分布例

(高考真题精选)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生

产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条

生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的

零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在

这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得

=

xi=9.97,s=

=

≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.用样本平均数

作为μ的估计值

,用样本标准差s作为σ的估计值

,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(

-3

,

+3

)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9973,0.997316≈0.9577,

≈0.09.解析

(1)依题知每一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9973,则尺寸在(μ-3

σ,μ+3σ)之外的概率为0.0027,而显然X~B(16,0.0027),因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997316≈1-0.9577=0.0423.X的数学期望为E(X)=16×0.0027=0.0432.(2)(i)判断监控生产过程方法的合理性,重点是考虑一天内抽取的16个零件中,出现尺寸

在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率是大还是小,若小即合理,如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的

16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异

常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由

=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为

=9.97,σ的估计值为

=0.212,所以

-3

=9.334,

+3

=10.606,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(

-3

,

+3

)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(

-3

,

+3

)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为

×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.

=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(

-3

,

+3

)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为

×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为

≈0.09.方法总结

1.对于正态分布N(μ,σ2)可知:(1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5;(2)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);(3)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).2.服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法:(1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973直接求;(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解.题型40变量间的相关关系及经验回归方程例1关于线性回归的描述,下列说法不正确的是

(

)A.经验回归方程

=-1.8x+2.1中变量x,y呈正相关关系B.相关系数r的绝对值越接近1,线性相关程度越强C.经验回归方程

=1.1x-1.6中变量x,y呈正相关关系D.残差平方和越小,拟合效果越好

A

解析

A项,经验回归方程

=-1.8x+2.1的斜率

=-1.8<0⇒x,y呈负相关关系,故A项中说法错误;B项,|r|越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强,越接近0,线性相关程度越弱,故B项

中说法正确;C项,经验回归方程

=1.1x-1.6的斜率

=1.1>0,所以x,y呈正相关关系,故C项中说法正确;D项,残差平方和越小,则回归模型的拟合效果越好,故D项中说法正确.例2

(高考真题精选)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费

x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和

年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(xi-

)246.65636.8289.8

(wi-

)2

(xi-

)(yi-

)

(wi-

)(yi-

)1.61469108.8表中wi=

,

=

wi.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d

哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程.(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线

=

+

u的斜率和截距的最小二乘估计分别为

=

,

=

-

.解析

(1)由散点图可看出变化趋势类似于函数y=

的图象,所以选取y=c+d

作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=

,可以看出y关于w符合线性回归模型,将非线性回归通过换元,转化为线性回归,令w=

,y=c+dw,由表可知:

=

=

=68,

=

-

=563-68×6.8=100.6,所以y关于x的回归方程为y=100.6+68

.(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值为

=100.6+68

=576.6,年利润z的预报值为

=576.6×0.2-49=66.32.(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值

=0.2×(100.6+68

)-x=-x+13.6

+20.12=-(

-6.8)2+66.36,所以当

=6.8,即x=46.24时,年利润的预报值最大,故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.方法总结求经验回归方程的步骤1.计算出

,

,

+

+…+

,x1y1+x2y2+…+xnyn;2.计算

,

;3.写出经验回归方程

=

x+

.题型41独立性检验例1

(多选)为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联,小华进

行了深入的调查,并绘制了下面所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示):数学成绩性别合计男女优秀m2770非优秀58n120合计pq190附:χ2=

,其中n=a+b+c+d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828则下列选项正确的有

()A.m=43B.q=89C.可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”D.可以在犯错误的概率不超过10%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”

ABD

解析对于A,B,由2×2列联表知,m=70-27=43,n=120-58=62,q=27+n=89,A,B正确;对于C,D,χ2=

≈3.045,观察临界值表,当犯错误的概率不超过5%时,临界值为3.841,当犯错误的概率不超过1

0%时,临界值为2.706,由于2.706<3.045<3.841,即χ2的值大于犯错误的概率不超过10%且小于犯错误的概率不

超过5%对应的临界值,所以C错误,D正确.故选ABD.例2为了解高二(1)班学生数学建模能力的总体水平,王老师组织该班的50名学生(其

中男生24人,女生26人)参加数学建模能力竞赛活动.(1)若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”,统计得到如下列联表,依据小

概率值α=0.01的独立性检验,能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联?

没有潜力有潜力合计男生61824女生141226合计203050(2)现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随

机抽取3人作进一步的调研,记随机变量X为这3人中男生的人数,求X的分布列和数学期

望.附:χ2=

,n=a+b+c+d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解析

(1)先写出零假设,零假设为H0:该班学生的数学建模能力与性别无关,再求出χ2,利用公式可得χ2=

=

≈4.327<6.635,最后给出结论,所以依据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据证明推断H0不成

立,因此可以认为H0成立,即该班学生的数学建模能力与性别无关.(2)从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人,其中男生有3人,女

生有2人,随机变量X服从超几何分布,X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

=

,P(X=3)=

=

.则X的分布列为X123P

所以E(X)=1×

+2×

+3×

=

.技巧总结应用独立性检验解决实际问题的基本步骤1.提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释;2.根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值;3.查表确定临界值xα;α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8284.得出推断结论.当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y无关.题型42概率新定义问题例

(2025大湾区调研)设离散型随机变量X,Y的取值分别为{x1,x2,…,xp},{y1,y2,…,yq}(