2026秋新教材人教版九年级上册数学25.3　实际问题与一元二次方程 教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学25.3实际问题与一元二次方程教案课题第1课时几何图形的面积与边长问题备课人课时第7课时课标解读与教材分析课标要求：能够分析几何图形中的边长、面积等量关系，抽象建立一元二次方程模型，求解问题并根据实际情况检验、取舍方程的根。教材分析：本节课是一元二次方程几何应用的基础内容，结合图形情境建立方程，培养学生数形结合能力，是初中数学应用题的重要组成部分。教学目标1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．教学重点与难点重点1.通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．（重点）难点2.在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．媒体教具教案、教材、课件教学方法采用图形直观教学法、建模示范法、审题引导法，讲练结合落实建模能力。教学过程知识链接：前面我们学习了一次方程（组）的实际应用，回顾一下相关知识．创设情境——见配套课件探究点一：一元二次方程解决图形的边长问题 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？a2＋b2=c2（勾股定理）．追问：若存在这样的三角形，该怎么设未知数求解？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x＋1，x＋2，其中x为正整数．由勾股定理，得x2＋（x＋1）2=（x＋2）2.解方程，得x1=3，x2=－1（不符合题意，舍去）．因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.归纳总结：在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁．探究点二：一元二次方程解决图形的面积问题 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度．设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边和邻边长，再利用面积列方程求解．解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为（20－x）m；再由矩形的面积为96 m2，得x（20－x）=96.解方程，得x1=12，x2=8.追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？由题可知12 m和8 m分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域．思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有几种？试着列举两例．例如：（1）可设一边长为x m，那么其邻边长为96x（2）可设一边长为（10＋x）m，那么其邻边长为（10－x）m．追问：能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点． 如图①，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？方法一：解：如图②，设道路的宽为x m．则20×32－32x－20x＋x2=540．思考：还有其他列法吗？方法二：如图②，设道路的宽为x m．则（32－x）（20－x）=540．整理，得x2－52x＋100=0．学生自行完成解答．归纳总结：在几何图形的面积问题中：规则图形可直接运用面积公式；不规则图形可先割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．1.（4分）用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形，设长方形的长为x cm，则可列方程为（B）A．x（20＋x）=64B．x（20－x）=64C．x（40＋x）=64D．x（40－x）=642.（4分）若用一条长为30 cm的铁丝围成一个斜边长是13 cm的直角三角形，则两直角边的长分别为5cm，12cm．3.（10分）如图，在一块长为22 m、宽为17 m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪．要使草坪面积为300 m2，则道路宽为多少米？书写通关解：设道路宽为x m．根据题意得（22－x）（17－x）=300．解得x1=37，x2=2．（x=37不合题意，舍去）答：道路宽为2 m．4.（12分）如图，要利用一面墙（墙长为25 m）建羊圈，用75 m长的围栏围成总面积为300 m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x m，则BC的长度为（75－3x） m．根据题意得（75－3x）x=300，解得x1=20，x2=5.当x=20时，75－3x=15＜25，符合题意．当x=5时，75－3x=60＞25，不符合题意，舍去．∴AB=20 m，BC=15 m．答：羊圈的边长AB，BC分别是20 m，15 m．板书设计图形的面积问题直角三角形中的边长问题：勾股定理分层作业A层（基础巩固・全员必做）掌握矩形、正方形基础面积问题，能根据边长关系列出一元二次方程，正确求解方程。B层（能力提升・中等以上完成）解决修路、留白、边框宽度等常规几何应用题，能根据实际情况取舍方程的根。C层（拓展培优・选做）解决组合图形、动点几何面积问题，提升数形结合与建模综合能力。教学反思课题第2课时传播问题与平均变化率问题备课人课时第8课时课标解读与教材分析课标要求：理解传播问题、增长率和降低率问题的数量变化规律，掌握两类经典应用题的建模方法，能独立列出方程解决实际生活问题。教材分析：本节课是中考高频应用题型，模型固定、规律性强。通过学习让学生掌握标准化建模思路，有效提升数学建模与数据分析素养。教学目标1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．教学重点与难点重点1.通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题．（重点）难点2.传播、平均变化率问题的一元二次方程模型的建立及运用．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用情境建模法、规律归纳法、模板总结法，搭配变式练习巩固题型。教学过程知识链接：前面我们学习了一元二次方程的实际应用，回顾一下相关知识．创设情境——见配套课件探究点一：一元二次方程解决传播问题问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人．填写下列表格并作答．传染源人数第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数11＋x=（1＋x）11＋x＋x（1＋x）=（1＋x）2解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．列方程，得1＋x＋x（1＋x）=121．解方程，得x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）．思考：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数（1＋x）1（1＋x）2（1＋x）3三轮传染后的人数是（1＋x）3=（1＋10）3=1331.追问：n轮传染后有多少人患流感？（1＋x）n人． 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少个小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋x2=133，即x2＋x－132=0.解得x1=11，x2=－12（不合题意，舍去）．答：每个支干长出11个小分支．探究点二：一元二次方程解决平均变化率问题问题2：两年前生产1 t甲种药品的成本是10000元，生产1 t乙种药品的成本是12000元．随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是6000元，生产1 t乙种药品的成本是7200元．哪种药品成本的年平均下降率较大？思考1：甲种、乙种药品年平均下降额分别是多少？甲：（10000－6000）÷2=2000（元）；乙：（12000－7200）÷2=2400（元）．思考2：甲种、乙种药品年平均下降率分别是多少？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定大吗？设甲的下降率为x，设乙的下降率为y．请自己动手写出分析过程并尝试解答．两年前成本一年前成本现在成本成本价成本价（1－下降率）一年前成本（1－下降率）甲1000010000（1－x）10000（1－x）（1－x）乙1200012000（1－y）12000（1－y）（1－y）解：设甲种、乙种药品成本的年平均下降率为x，y．由题意得甲种药品：10000（1－x）2=6000.解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）．乙种药品：12000（1－y）2=7200.解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775（不合题意，舍去）．综上可知，甲、乙两种药品的下降率相同．思考3：为什么选择22.5%作为答案？一般下降率不可为负，且不大于1.经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．归纳总结：平均变化率：a（1±x）n=b，其中增长（或降低）n次前的量是a；平均增长（或降低）百分率为x；增长（或降低）n次后的量是b．1.（4分）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（C）甲：第1轮后有（x＋1）个人患了流感；乙：第2轮又增加x（x＋1）个人患流感；丙：依题意可列方程为1＋x＋x2=36.A．甲错，丙对B．甲对，乙错C．甲对，丙错D．乙和丙都对2.（10分）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从前年的200万元增长到今年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．书写通关解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，根据题意得200（1＋x）2=392．解得x1=0.4，x2=－2.4．（x=－2.4不合题意，舍去）答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．3.（16分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2024年这种药剂价格为200元，2026年该药剂价格为98元．（1）求2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率；（2）若该制药厂计划2027年对此药剂按此下降率继续降价，预计2027年该药剂的价格为多少元？解：（1）设2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意得200（1－x）2=98，解得x1=0.3=30%，x2=1.7（不符合题意，舍去）．故这种药剂价格的年平均下降率为30%．（2）98×（1－30%）=68.6（元），即预计2027年该药剂的价格为68.6元.板书设计传播问题与平均变化率问题传播问题：（1＋x）n平均变化率问题：a（1±x）n=b分层作业A层（基础巩固・全员必做）掌握基础传播问题、单次增长率问题，熟记基本建模公式，能规范列方程求解。B层（能力提升・中等以上完成）熟练解决连续两次增长、降低率问题，能准确分析题干变化规律，建立标准模型。C层（拓展培优・选做）解决复杂多阶段变化率问题、传播人数综合变式题，提升规律探究能力。教学反思课题第3课时循环问题、数字问题与其他问题备课人课时第9课时课标解读与教材分析课标要求：掌握数字问题、循环赛事问题的数量关系，能准确提取题目等量关系，灵活建立一元二次方程，提升综合解题应用能力。教材分析：本节课题型灵活多样，综合性较强，拓展了一元二次方程的应用场景，进一步锻炼学生审题分析、提炼等量关系的能力。教学目标1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2.通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．教学重点与难点重点1.通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题．（重点）难点2.理解循环问题中“单循环”和“双循环”的区别，准确将实际问题转化为数学方程．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用例题引领法、分类归纳法、难点拆解法，分层训练提升学生综合能力。教学过程知识链接：生活中哪些实际问题可以用一元二次方程来解决呢？引导学生回顾之前学过的增长率问题、传播问题等相关知识．创设情境——见配套课件探究点一：一元二次方程解决循环问题类型1：单循环问题问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛一场，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他（x－1）支球队各赛1场．思考：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，也就是一共要比赛28场，比赛的总场次用含x的代数式表示为12x（x－1）场，所以可列得方程12x（x－1）=28．解方程，得x1=8，x2=－7（不合题意，舍去）归纳总结：单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等．总次数=12n（n－1），其中n类型2：双循环问题问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛．如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n（n－1）．解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n（n－1）=300.解方程，得n=1±12012归纳总结：双循环指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发邮件等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量．探究点二：一元二次方程解决数字问题问题3：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，且这个两位数的数值是它两个数字乘积的3倍，求这个两位数．分析：设十位上的数字为x（x为1－9的整数），则个位上的数字为x＋2（x＋2≤9，即x≤7），两位数表示为10x＋（x＋2）=11x＋2；两个数字乘积为x（x＋2）．列一元二次方程，得11x＋2=3x（x＋2）．解方程，得x1=2，x2=－13（不合题意，舍去）．当x归纳总结：数字问题中，通过设数位上的数字为未知数，利用数位表示多位数，结合数量关系列出一元二次方程，注意数字的取值范围（0－9或1－9）．探究点三：其他问题问题4：在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为40元/千克．售价为50元/千克时，每天可销售100千克．每千克每涨价1元，每天少销售2千克．若商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？分析：设当天螃蟹的售价为x元/千克，则每千克的销售利润为（x－40）元，每天可售出100－2（x－50）=（200－2x）千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于x的方程，解之可得出x的值，再结合要为顾客谋实惠，即可确定结论．解：设当天螃蟹的售价为x元/千克，则每千克的销售利润为（x－40）元，每天可售出1