重难点02函数性质的灵活运用（举一反三专项训练）（试题版）

重难点02函数性质的灵活运用（举一反三专项训练）【全国通用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数的单调性及其应用】 3【题型2函数的最值问题】 4【题型3函数的奇偶性的综合应用】 4【题型4函数图象的识别及应用】 5【题型5对称性与周期性的综合应用】 6【题型6类周期函数】 7【题型7抽象函数的性质及其应用】 7【题型8函数性质的综合应用】 8【题型9函数新定义】 91、函数性质的灵活运用函数及其性质是高考数学的重点、热点内容.从近三年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，需要灵活求解，高考一轮复习时需要加强这方面的训练.考点1考点1函数性质的灵活运用知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略1．求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数为减函数，为增函数．3．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4．复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.知识点2函数的奇偶性及其应用1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)−g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数．④函数或函数．2．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.知识点3函数的周期性与对称性的常用结论1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴，，则函数y=f(x)是周期函数，且；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心，则函数y=f(x)是周期函数，且；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴和一个对称中心，则函数y=f(x)是周期函数，且.知识点4抽象函数及其解题策略1．抽象函数及其求解方法我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.【题型1函数的单调性及其应用】【例1】（2026·四川绵阳·模拟预测）下列函数中，是偶函数，且在−∞,0上单调递减的是（A．y=x2 B．y=x−2 C．【变式1-1】（2026·甘肃天水·一模）函数y=2−xA．−∞,12 C．−1，12 【变式1-2】（2026·广东肇庆·一模）已知f(x)=ex−e−x，若fA．0,+∞ B．1,+∞ C．−1,+∞【变式1-3】（2026·山东日照·一模）定义在R上的函数y=fx满足以下条件：①f−x−fx=0；②对任意x1,x2∈0,+A．fπ>f−3C．fπ<f−3【题型2函数的最值问题】【例2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数fx，则“∀x∈0,+∞，fx≥2”是“fA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【变式2-1】（2026·宁夏陕西·模拟预测）已知函数fx+1=2x−2−xA．32 B．154 C．0【变式2-2】（2026·江西宜春·一模）已知函数fx=log2x2【变式2-3】（2026·广东肇庆·二模）已知函数fx=2−x+1,x<1x【题型3函数的奇偶性的综合应用】【例3】（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数fx=ax+1x⋅3A．13 B．1 C．3 【变式3-1】（2026·福建南平·二模）已知fx是定义在R上且周期为4的奇函数，当−2<x<0时，fx=exA．-2 B．−12 C．1【变式3-2】（2026·陕西渭南·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，fx+1是偶函数，则f2026A．0 B．−2 C．2 D．4【变式3-3】（2026·贵州贵阳·二模）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x1,x2∈[0,+∞),x1A．(−∞,13)∪(1,+∞) B．【题型4函数图象的识别及应用】【例4】（2026·山东枣庄·三模）函数fx=xA． B．C． D．【变式4-1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（

）A．y=sin2xx2+1 B．y=x【变式4-2】（2026·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式(x−3A．(−3,0)∪(3,3) C．(−∞,−3)∪(0,3) 【变式4-3】（2026·陕西渭南·三模）函数fx=3x−x3A． B．C． D．【题型5对称性与周期性的综合应用】【例5】（2026·江西九江·一模）定义在R上的函数fx满足：①对任意x∈R，都有f2+x=f1−f−x；②fA．fx+2是奇函数 B．fC．f−12【变式5-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数f(x)，其图象关于直线x=1对称，已知f(x+2)−1为奇函数，且f(1)=0，则k=12025f(k)=A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【变式5-2】（2026·湖南·一模）已知fx,gx均为定义在R上的函数，fx−1+gx=x,fx+1=gA．463 B．464 C．465 D．466【变式5-3】（2026·四川成都·模拟预测）函数fx对任意x∈R，fx+2=f4−x，且fx+6（1）若x∈0,3时，fx=（2）fx的周期为6（3）fx的图象关于点−6,0（4）f2025A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型6类周期函数】【例6】（25-26高一上·江西吉安·期末）设函数fx的定义域为R，且fx+4=2fx，当x∈0,4时，fx=2x2−8x，若对于A．−∞,−7 B．−∞,−5 C．【变式6-1】（2025·云南昆明·二模）定义“函数y=fx是D上的a级类周期函数”如下:函数y=fx,x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有afx=fx+T恒成立，此时T为fx的周期.若y=fx是1,+∞上的a级类周期函数，且T=1，当x∈1,2A．56,+∞ B．2,+∞ C．【变式6-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fxA．278 B．298 C．134【变式6-3】（2025·江西新余·一模）若函数y=f(x)，x∈M对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af(x)=f(x+T)恒成立，此时T为f(x)的假周期，函数y=f(x)是M上的a级假周期函数，若函数y=f(x)是定义在区间0，+∞内的3级假周期函数且T=2，当x∈[0,2)，f(x)=12−2x2,0≤x≤1f(2−x),1<x<2，函数g(x)=−2lnA．(−∞,132] B．−∞【题型7抽象函数的性质及其应用】【例7】（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数fx满足：f2x+f2x+2=4，且A．1 B．2 C．−2 D．【变式7-1】（2026·河南·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意x,y，都有fx+fy=fA．2 B．1 C．0 D．−1【变式7-2】（2026·江苏南京·三模）已知定义在R上的非常数函数f(x)满足：对于任意x,y∈R都有：fx+y=fxfA．fx是奇函数 B．fC．f0=−1 【变式7-3】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为xx≠0的函数fx满足fx+yfx+fy=fxA．f23=6C．fx为奇函数 D．fx在区间【题型8函数性质的综合应用】【例8】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx+1为奇函数，当x<1时，fx=ex−A．−1,2 B．−2,1C．−∞,−1∪【变式8-1】（2026高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数fx的定义域为R，对任意的x满足f−x=fx+2，且fx在区间−1,0上单调递减，若a=log43，b=log32A．fc>faC．fa>fb【变式8-2】（2026·广东广州·一模）已知函数fx的定义域为R，且fx+1+fx−1=2,fx+2为偶函数，若A．116 B．115 C．114 D．113【变式8-3】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数fx的定义域为R,f2x+1为奇函数，fA．fxB．fx的图象关于直线x=3C．f2xD．f2x的图象关于点1【题型9函数新定义】【例9】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z上的函数fx满足对任意x,y∈Z均有fx+y=fxf2−y+f2−xfy，则称fx为“S−2函数”.已知fA．−22 B．0 C．2【变式9-1】（2026·上海浦东新·模拟预测）设函数fx的定义域为D，若存在实数TT>0)，使得对于任意x∈D，都有fx<fx+T，则称①＂T－严格增函数＂fx一定在D②＂T－严格增函数＂fx一定是＂nT－严格增函数＂（其中n∈N∗③函数fx=x是＂T−严格增函数＂（其中x④函数fx=x−x不是＂T−严格增函数＂（其中x其中，正确的结论个数有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式9-2】（2026·上海·模拟预测）设函数fx的定义域为R，若对任意实数x，恒有ffx(1)若一次函数fx=ax+b具有性质Ω，其中a>0，求实数a，(2)若函数fx具有性质Ω，且fx在R上严格增，证明：(3)若具有性质Ω的函数fx满足：存在常数M>0，使得对任意x∈R，都有fx【变式9-3】（2026·上海长宁·二模）设连续函数y=fx定义域为I，区间D⊆I，记函数y=fx在区间D上的最大值为Mf(1)设fx=ex−ax，D=(2)设fx=x3−3x2，D=(3)已知f0=0，f1=1，且对任意闭区间D⊆0,1求证：“y=fx在区间0,1上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间D1、D2⊆0,1，当M一、单选题1．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在0,1上严格减的函数是（

）A．y=−x B．y=−x C．y=x22．（2026·安徽合肥·一模）若fx=ax+1，x<1lnx+2a，x≥1是RA．1,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx−2是奇函数，f2x−1是偶函数，则fA．−2 B．0 C．1 D．24．（2026·广西柳州·一模）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（

A．fx=2C．fx=25．（2026·四川成都·三模）已知y=fx+1是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈1,2时，fx=log2x，设a=f12A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a6．（2026·广东·模拟预测）已知fx是R上的奇函数，fx−1−f3−x=0，若fx在0,1上单调递增，且f1A．−4 B．−3 C．−2 D．−17．（2026·海南·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x3A．−2,2 B．−C．−2,0∪1,2 8．（2026·福建宁德·二模）设fx是定义在R上的函数，若∀x1,x2∈R，当x1<x2A．fx=x+sinC．fx=1二、多选题9．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数fx=2x−1A．fx的图象关于点1,2对称 B．fx的图象关于直线C．fx的值域为−∞,2∪10．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数fx是定义域为R的偶函数且fx>0，f0=A．fxB．直线x=2是fxC．fD．i=111．（2026·安徽·模拟预测）已知定义域为R的函数fx的图象关于直线x=32对称，且对任意的x∈R，恒有fx+fA．fx的一个周期为3 B．直线x=92C．f3=0 三、填空题12．（2026·安徽安庆·模拟预测）设fx是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，fx=−x1−x13．（2026·河北雄安·三模）函数fx=114．（2026·福建三明·二模）已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(−2)=−4