【《凸凹函数在证明不等式中的应用研究》6600字】

[6]，本例题利用了凸凹函数的性质来证明了一个用常规方法难以证明的不等式.3.2利用柯西不等式与凸函数性质证明不等式3.2.1柯西不等式介绍柯西不等式是由数学家Cauchy在研究数学分析时得到的.但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，因为该不等式是由后两位数学家彼此独立地在积分学中的研究中才将之推广开来，也将这一不等式应用到近乎完善的地步.柯西不等式在高中课本里就出现了，且对于柯西不等式的应用在中学的各种考试中也时常出现，非常常见的题型就是利用柯西不等式来证明一个新的不等式.，公式变形，等号成立条件：当且仅当ad=bc（即=）时.例5：已知a，b为正数，并且a+b=1，求证证明：由柯西不等式：（a+b）≤（a+b）·（1+1）即a+b≥=又（1+1）即≥8.得证：=a+2++++2=a+b+++4=.由凸凹函数的性质：函数=由函数的定义域可知属于（0，1），即函数=2·，"=2＞0所以函数在其定义域上是凹函数，有得=即得≥评析：在本题中，首先利用柯西不等式求出了≥8，a+b≥=这两个重要的不等式，即得到了≥=.而由凹函数的性质可得到=，化解即得≥.由两种方法可以看出在柯西不等式证明方法中利用到了三个重要不等式，且化解比较多，而利用凸凹函数的性质证明只需要利用到凸凹函数的一个性质得到一个式子，化解即可得到.所以利用凸凹函数的性质可以令原本较为复杂的不等式的证明变得简单化，也可以更好的利用此性质进行教学.3.3利用凸凹函数的性质证明不等式例6：证明：-1<<2时，-2-12+13+22>0.证明：设=-2-12+13+22，，在上连续，在（-1，2）内，有"=12<0.在上是凸函数，又==0，于是对（-1，2），取，0<<1，（1-）（-1）+·2，由在上是凸函数有=[（1-）（-1）+·2]>（1-）+·=0.即（-1，2）时有-2-12+13+22>0.评析：本证明利用了凸凹函数证明了不等式，对于此类题型，最重要的点就是构造辅助函数来证明，在题中令=-2-12+13+22，则可求出相应的凸凹性进行证明.一但构造了辅助函数，那么只需要求出二阶导数，即可简单证明，此类题型也会由复杂变得简便.4.结束语本文介绍了通过凸凹函数的性质以及不等式，对凸凹函数进行了细致的介绍，这可以让学生对于凸凹函数有一个更深的认知.同时也本文给出了凸凹函数在不等式中的多种证明方法，利用凸凹函数来证明不等式让很多较为复杂的问题变得简单化，可以为许多学生证明不等式提供一种新方法.同时凸凹函数的定理、定义以及性质都进行了详细的介绍，这对于学习函数也有着极大的帮助.而本文对于凸凹函数应用于不等式的证明中的探索也极具意义，通过凸凹函数的性质来证明复杂的不等式，这对于许多数学研究者也有着积极的借鉴作用.参考文献刘丽红.凸函数的Jensen不等式及其应用[D].重庆理工大学，2010:3.欧阳资考.凸函数在证明不等式中的应用[J].甘肃科技纵横，2013（42）:84-87.夏晓丹.凸函数、琴生不等式及其在中学数学中的应用[D].西北大学，2016:6-7.李德宝.凸凹函数的性质与应用[J].中学教学参考（下旬），2019（48）:53-54.石萌萌.数学归纳法在不等式证明中的一些应用[D].西北大学，2018:8-18.吴明鑫.凸函数在不等式证明中的应用[J].陕西师范大学学报，2003（31）:36-38.李震南.函数的凸凹性与琴生不等式在导数问题中的应用[J].中国校外教育中旬刊，2017（11）:45-46.邓卫兵.凸函数与不等式[J].哈尔滨商业大学学报，2005（21）:514-516.盛宗生.凸凹函数的应用[J].南阳理工学院学报，2006（8）:108-110.陈海伟.拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用[J].科技教育，2019（9）:117.游杨.泰勒公式在不等式中的应用[J].吉林化工学院学报，2019（37）:85-86.段胜中.微分中值定理在不等式证明中的应用.[J]现代商贸工业，2017（30）:197-198.刘瑞香.不等式的证明方法[J].高等数学研究，2019（22）:25-28.余智君.高等数学中证明不等式的几种方法[J].教育教学论坛，2019（11）坛，2019（11）:194-195.任莉丽.凹凸函数在不等式证明中的巧用[J].教学·信息，2019（8）:1