湖南省株洲市部分校2025-2026学年高二下学期期末联合考试数学试卷（含答案）

湖南省株洲市部分校2025-2026学年高二下学期期末联合考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为(

)A.14 B.16 C.18 D.202．在中，M，N分别是边，的中点，线段，交于点D，则的值为(

)A. B. C. D.3．若曲线在处的切线的斜率为(

)A.2 B.-2 C.1 D.-14．已知集合，，则(

)A. B. C. D.5．抛物线的焦点坐标为(

)A. B. C. D.6．若函数的最小值为-2，则正实数a的值为(

)A. B. C. D.7．已知由正整数组成的集合，表示集合A中所有元素的和，表示集合A中偶数的个数.若.则的最小值为(

)A.5 B.7 C.9 D.108．已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为X，则随着k的增大，下列说法正确的是(

)A.增大，增大 B.增大，减小C.减小，增大 D.减小，减小二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知复数，下列说法正确的是(

)A.z的虚部为i B.z的共轭复数为C.z在复平面内所对应的点位于第二象限 D.10．已知正方体的棱长为2，M为空间中动点，N为中点，则下列结论中正确的是(

)A.若M为线段上的动点，则与所成的范围为B.若M为侧面上的动点，且满足平面，则点M的轨迹的长度为C.若M为侧面上的动点，且，则点M的轨迹的长度为D.若M为侧面上的动点，则存在点M满足11．设O为坐标原点，已知对任意实数a，直线与圆都有两个交点M，N，则(

)A.直线l过定点B.C.当时，的最小值为-25D.当时，三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为____________.13．已知函数，，在区间上单调递减，则____________.14．已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为.若，，则实数λ的取值范围为________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，在直三棱柱中，，，，，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面之间的距离.16．（15分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若D为边上一点，，，，求.17．（15分）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.(1)求甲以获胜的概率；(2)设比赛场数为ξ.试求ξ的分布列及数学期望；(3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？18．（17分）已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P.(1)求双曲线C的标准方程；(2)求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程；(3)在(2)的条件下，过点M，N分别作渐近线，的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点，（点在点上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，，.19．（17分）已知函数在定义域D上的导函数为，对任意实数，定义集合.(1)设，求集合；(2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件；(3)设，，若对任意且，都有，求实数a的取值范围.参考答案1．答案：B2．答案：C3．答案：C4．答案：C5．答案：B6．答案：A7．答案：B8．答案：B9．答案：BCD10．答案：BC11．答案：BC12．答案：313．答案：214．答案：15．证明：(1)过点N作的平行线交于点P，连接.因为，，所以，，所以，又，，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.(2)由(1)得平面，所以直线与平面之间的距离等于点M与平面之间的距离.如下图，连接，.因为，，，，.所以，.因为面，所以，又，，所以平面，所以.设点M与平面之间的距离为d.由，得，即，解得.即点M与平面之间的距离为.故直线与平面之间的距离为.16．(1)因为，且，则，即，得，则，因为，所以.(2)由(1)得，，因为，所以，所以，法①：如图在中，由余弦定理可得：

，即，在中由正弦定理，即，所以，因为，故，在中，.法②：同解法①，在中由正弦定理，即，所以，，又因为，即，所以.法③：同上，在直角中，，所以，由(1)问知，所以，即，得，即，所以，，.法④：由(1)知，则，因为，所以，即，解得，所以，即，在中，由正弦定理，即，解得.17．(1)若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为，所以.(2)易知ξ取值为3，4，5.，，，故ξ的概率分布列为：ξ345P所以ξ的数学期望为：.(3)采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率：；采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率：因为，所以甲应该采用“五局三胜制”.18．(1)由题意，得，且，则，，即，则双曲线C的标准方程为.(2)渐近线为，，显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，，，联立，得，则，且，，则，所以，联立，解得，设直线l与交于点H，联立，解得，则，即，而，因此，，则的中点即为的中点，所以，则，而，点O到直线l的距离为，则，则，即时，与面积之和取得最小值，此时直线l的方程为，即.(3)设斜率为，与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，其中，，联立方程，消去y可得，该方程有两个正根，则，解得，直线的方程为，而，即，直线的方程为，而，即，联立方程，解得，即，，又，则，，所以，设，则直线方程为，即，则，，而，，所以，为定值.19．(1)由定义得，而，，，故解得，，综上，.(2)必要性：若函数为偶函数，，则对任意的，有，对上式两边同时求导，可得：，故函数是奇函数，，若，则，即，进而有，即，故对任意，，故必要性成立；不充分性：不妨取，，此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立，综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件.