上海北郊中学2025-2026学年高一下学期数学期末试卷（2026.6）(含简略答案)

北郊中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分），1.已知复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数______．2.已知数列满足，那么______．3.已知，则______．4.已知复数（是虚数单位）．则的值为______．5.已知向量，若，则实数的值为______．6.等差数列中，若，则的值为______．7.已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为______．8.已知中，角所对的边，则______．9.在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值为______．10.等边的边长为3，为的中点，上一点满足：，则当取得最小值时，______．11.已知方程有两个虚根，则的取值范围为______．12.已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围为______．二、选择题（本大题共4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）．13.设则下面四个命题中，正确的是（）A.一定是纯虚数 B.若，则C.若，则是实数 D.若，则是纯虚数．14.已知等比数列的前项和为，则的值为（）A. B.1 C. D.15.已知，且、不共线，则的面积为（）A. B. C. D.16.欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”；根据该公式，可得的最大值为（）A.1 B. C.2 D.三、解答题（本大题共有4题，满分44分）．17.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）已知复数，（，为虚数单位）．（1）若为实数，求；（2）设、在复平面上所对应的点为、，为坐标原点，若，求．18.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）已知点为坐标原点．（1）求的单位向量；（2）求向量与夹角的余弦值．19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）已知数列的前项和为是正整数，数列是正项等比数列，满足，．（1）求数列和的通项公式．（2）记数列的前项和为，若，求的值．20.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）已知，设．（1）当时，试判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围．（3）当时，记锐角内角、、的对边分别为、、，且外接圆直径为，若，求的取值范围．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.已知方程有两个虚根，则的取值范围为______．【答案】【解析】由题意可得：，解得故答案为：．12.已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围为______．【答案】【解析】等价于在上的投影，如图1，在单位圆圆上任取两点，则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小.

作于点，设，取的中点，有，则，则，

由，故．

如图2，在单位圆圆上任取两点，则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大.

作于点，设，取的中点，有，则，则，由，故．

综上所述，．故答案为．二、选择题13.C14.A15.B16.C16.欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”；根据该公式，可得的最大值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】∴最大值为2，故选：．三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）已知数列的前项和为是正整数，数列是正项等比数列，满足，．（1）求数列和的通项公式．（2）记数列的前项和为，若，求的值．【答案】（1），（2）的值为6【解析】（1）已知数列的前项和为

当时，

当时，，化简得当时，也满足，所以数列的通项公式为

由可得

设正项等比数列的公比为，根据等比数列通项公式，可得，即，解得或（舍去，因为），所以

综上，数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）由（1）可知数列是以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列前项和公式，可得因为，所以

已知，将和代入可得：，即，所以，解得，综上，的值为620.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）已知，设．（1）当时，试判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围．（3）当时，记锐角内角、、的对边分别为、、，且外接圆直径为，若，求的取值范围．【答案】（1）非奇非偶函数；（2）（3）【解析】（1）当时，，由，