初二【数学(人教版)】最短路径问题(第一课时)

课程基本信息课例编号学科数学年级八年级学期秋季课题最短路径问题（第一课时）教科书书名：义务教育教科书数学八年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年06月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：（1）利用轴对称解决最短路径的问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟化归思想。（2）在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，渗透数学建模的思想。教学重点：利用轴对称解决最短路径的问题教学难点：如何利用轴对称将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。教学过程时间教学环节主要师生活动复习引入在我们的学习生活中，接触过很多“最值问题”：最多最少，最长最短。思考以下两个问题：复习1：如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：路线2最短，因为两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短复习2：点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。设计意图：复习“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，为最短路径问题做好铺垫。通过识别，也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。探索新知教师：刚刚的两个问题都是识别最短路径，接下来，我们尝试通过画图，找到最短路径。引例1：如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。教师：（1）点C是直线l上的一个动点。我们不妨先画一个一般的点C，连接CA，CB，我们的目标：找到一个点C，使得CA+CB最小。（2）观察几何画板的演示：当C在运动的过程中，线段CA，CB也在移动，观察：什么时候线段和最短？（3）同学们可以观察到：当C是线段AB和l的交点，即ACB共线时，CA+CB最短。依据是：两点之间，线段最短。作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求。总结：从一般的点C出发，从运动变化的角度观察图形，并用到“两点之间，线段最短”解决问题。教师：接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“牧马人饮马问题”。例1：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABlABl教师：（1）实际问题，首先做什么？将实际问题抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达。图形语言：把AB两地看成两个点，把河近似看成一条直线，C为直线l上的一个动点。文字/符号语言：在直线l上求作一点C，使CA+CB最短（2）观察几何画板：从一般的点C出发，连结CA，CB，观察：什么时候线段和最短？遇到了问题：无法通过观察，找到满足条件的点C的位置。（3）继续思考：若AB在l异侧，只需连接AB即可。能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的问题呢？问题的关键：如何把同侧的点B移到另一侧B’，同时CB=CB’呢？解决的方案：利用轴对称的知识。做法如下：（2）连接AB′交直线l于点C；（3）则点C即为所求的点.教师：如何证明这条路径最短？为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，只需证明AC+CB<AC′+C′B即可。证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线.因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.根据两点之间，线段最短：AB′<AC′+B′C′，（△AB′C′中，两边之和大于第三边）所以AC+B′C<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+C′B.总结：（1）实际问题可以抽象成数学问题，用数学语言（文、图、示）表达。需要注意，C是l上的动点，A，B为定点。（2）轴对称的目的是转移线段，即：将点B转移到直线的异侧，同时CB=CB′，从而转化为研究过的引例：即两点之间，线段最短的问题。练习：有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行。小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处。问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置。教师：类比例1分析方法。（1）先把实际问题抽象成数学问题。小虫在A——B路径爬行，即小虫P是线段AB上一个动点，小鸟的路线为：DP，PC。那么D，C是两个定点。（2）将文字转化成文/图/示的语言，在AB上求作一点P，使得PC+PD最短。（3）回顾刚刚例1的做法即可。转化成数学问题，迎刃而解啦。能力提升例2：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为_________.思考：（1）图形中，B，E，F三个点，哪些是定点，哪些是动点？B，E是定点，F是线段AD上的动点（2）剥离出基本图形，求作一点F，使得BF+FE最小。考虑：AD是河，牧马人在点B，去河边饮马，再去点E。方法：作对称点（3）B和E，作哪个点的对称点更方便？△ABC为等边三角形（轴对称图形），点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值。总结：（1）此类求线段和的最小值问题，分析题目中的定点和动点，转化为我们熟悉的最短路径问题。（2）找准对称点是关键（利用等边三角形的轴对称性）。而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.小结课堂小结（1）解决最短路径问题的基本方法利用轴对称实现线