2.2.1 直线的点斜式方程（课时教学设计）-高中数学新教材选择性必修第一册单元教学方案

第一课时直线的点斜式方程（一）教学内容直线的点斜式方程、斜截式方程.（二）教学目标1.经历利用斜率公式探索得到直线点斜式方程的过程，能准确的写出直线的点斜式方程，认识点斜式方程的重要地位，发展学生的直观想象及逻辑推理核心素养.2.通过将点斜式方程中涉及的几何要素“点”特殊化，探索并得到直线的斜截式方程，能完成直线点斜式方程与斜截式方程的相互转化，发展学生的逻辑推理及数学运算核心素养.3.能表述利用坐标法将平面上直线代数化，并得到直线方程的基本过程.能够直接从直线方程的代数特征中解读出直线的几何特征(倾斜角、斜率、截距等).（三）教学重点及难点1.重点直线的点斜式方程.2.难点（1）在建立直线的方程时，如何将对直线上“所有的点”的坐标的关系式的探究，转化为对直线上“任意一点”的坐标的关系式的探究.（2）由直线的几何特征得到方程与由方程得到直线的理解.（四）教学过程问题1：在平面直角坐标系中，给定直线上一个定点和斜率，则直线上不同于该定点的任意一点的横坐标与纵坐标所满足的关系式是什么？师生活动：（1）学生自主画出如右图的图示.（2）学生将直线的几何特征——过定点且斜率，转化为直线上“任意一点”的几何特征——与定点连线的斜率为，继而利用斜率的计算公式得.（3）教师追问：能否可以变形？变形前后有没有什么变化？（4）学生自主完成、或等变形.（5）学生分组讨论，总结出变形前后以下变化.①变形前，分母，即分式无法表示点，也就是说表示是不是完整的直线；②变形后的能表示直线上的所有点（、等形式也可以），即可表示完整的直线.以后，这样这种将有关几何特征“翻译”为代数式，然后整理、化简以得到对应关系式的方法，可以称为“直译法”.设计意图：在之前的数学学习中，我们知道，已知直线上的一点和直线的方向，或者已知直线上的两个点，都可以确定一条直线.这个课时探究的是第一种情形.将直线上“所有的点”的横坐标与纵坐标的关系表达出来，需要解决两件事，一是“所有的点”如何表达？我们选择的是将“所有的点”理解为“任意一点”，为了降低难度，在提出问题的时候，直接采用了“任意一点”的提法.但是，教师要引发学生们对“所有的点”的思考.二是“关系”是什么，如何刻画？这里我们认为“关系”是：任意一点与定点连线所成斜率与已知斜率相等.然后再用前面学习的斜率计算公式表达出来.直译法是得到直（曲）线关系式（方程）常用的方法，这是发展学生直观想象和数学抽象核心素养的一个很好的载体，在具体教学中，要避免学生陷入“解析几何就是将几何问题转化为代数问题”，从而眼中只有代数式而不问对应的几何图形是什么的地步（很多学生在做解析几何题时不画图的习惯）.我们需要学生能做到看见代数式能想到几何图形的能力，看见几何图形能有利用代数式研究的意愿，这才是解析几何.最后得到的关系式，是斜率公式的一个“变式”，直线斜率计算公式中的两个定点，有一个被一般为直线上一个动点（任意一点）.问题2：在前面我们知道了过定点且斜率为的直线上任意一点（含定点）的坐标都满足关系式（方程），接下来，请学生们证明以下叙述：【求证】坐标满足的每一个点都在过定点且斜率为的直线上.师生活动：（1）教师提示：“点都在直线上”该如何判断？根据这些坐标将点在直角坐标系中描出来，然后看他们在不在直线上么？（2）学生自由讨论，得出结论：“点都在直线上”指“点与定点连线的斜率值等于.”（3）师生共同得出以下证明过程：【证】设以方程的解为坐标的点为，则①若时，与连线的斜率为：，经化简得，即点在直线上.②若，所以，所以与重合，显然有点即在直线上；综上，坐标满足方程的点都在过定点且斜率为的直线上.（4）教师给出结论：我们将称为过点，斜率为的直线的点斜式方程，简称点斜式.以后，像这样的“直线上的点的坐标都满足方程；以方程的解为坐标的点都在直线上”的情况，我们将不再严格区分直线与方程，会用到“直线”这样的说法.设计意图：得出直线上的任意一点的横坐标与纵坐标的关系式（方程）的过程，一般只是保证了直线上的点的坐标都服从这个关系式（方程），又称“直线上的点的坐标都满足方程”.但是，以方程的解为坐标的点，会不会都在所给的直线上呢？这其实是两件事，不单独列出来，学生们容易混为一谈.只是让学生经历以上的证明过程，才能够将问题1得到的关系式称之为直线的（点斜式）方程.也才能让学生更好的接受“直线”这样的表达，更好的接受坐标法.将满足方程的点的坐标记为，将表示为，最后化简得较好的解决了教材在这个问题上过于抽象的缺点.问题3：我们现在知道了是过点，斜率为的直线的点斜式方程.以后再遇到相关问题时，我们可以直接套用这个结论解决问题.比如下面这个例题.【例1】直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线.师生活动：（1）师生共同分析：点已经给出，斜率暂未发现.但是，给出了倾斜角，相当给出斜率.接下来怎么办？用“直译法”么？（2）教师给出建议：在前面的学习的基础上，我们可以直接将已知点的坐标及求出的斜率代入点斜式方程即可.这种求（写）出直线方程的方法，我们可以称之为定义法（又称公式法）.（3）学生独立完成.【解】直线经过点，且倾斜角，则斜率，代入点斜式方程得：，即.（4）教师的追问：能不能和要不要将上述结果变形为或.（5）学生在教师的引导下，得出结论：没有必要，而且，有些变形，虽然是“同解变形”，但是结果不再是点斜式，例如.（3）教师继续追问：能不能将上述方程变形为？它还是不是所求直线？它是不是点斜式？（4）学生们分组讨论，应该可以得出结论：这样的变形是允许的，它仍然是所求直线的点斜式方程.只是，这样的变形没有必要，它抹杀了直线过定点这一信息（我们能直接“看见”的是它过点）.（5）在教师的指导下，师生共同经历以下作图过程.如果只是拘泥于已知条件给出的直线的几何特征，作图过程应该是：先画出任意一条倾斜角的直线，然后，过点作直线.然而，这样的作图过程，直接从最初的已知条件出发.现在，我们已经求出了直线的方程了.在这样的情况下，我们还有没有其他作图方法？（6）学生应该能想到以下作图方法：【续解】只需找出满足直线方程的直线上的另一点的另一点，即可通过确定两点画出这条直线.例如，取，代入直线的方程，得到，则得到的点，则过，两点的直线即为所求，如图所示.当然，更多的学生可能会选择取点来做图.(7)学生自主完成以下课堂练习.【课堂练习1】写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点，斜率是；（2）经过点，倾斜角是是；（3）经过点，倾斜角是；（4）经过点，倾斜角是.【答案】依次为：；；；.【课堂练习2】填空题（1）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_，倾斜角是_；（2）已知直线的点斜式方程是，那么些直线的斜率是_，倾斜角是_.【答案】依次为：，；；.设计意图：结合直线的点斜式方程的定，直接将定点坐标及斜率代入得到直线方程，是比用“直译法”要更便捷的方法.也是使用“直译法”得到相关结论的目的所在.而在得到直线的点斜式方程之后，引发学生们对、及等变形的关注，试图让学生们理解两件事：一是直线的点斜式方程只是直线方程的一种特殊形式，为后面学习直线方程的其他形式埋下伏笔；二是选择直线上不同的点作为定点，同一条直线的点斜式方程可以有不同的表示形式.包括后面的作图，明显是在为后面学习两点留下伏笔.课堂练习1取自教材的练习第1题.直接检测学生们对直线的点斜式的掌握情况.要求学生们能直接套用直线的点斜式方程写出答案，不要求化简.课堂练习2取自教材的练习第2题.检测学生们直接从直线的点斜式方程的代数特征中解读出所对应直线的几何特征的能力.问题4：直线经过点，且倾斜角为时，直线的方程是什么？它是点斜式么？直线经过点，且倾斜角为时，直线的方程是什么?它是点斜式么？师生活动：（1）学生结合下图，此时，则由直线的点斜式方程得：.这是点斜式的简化形式.（2）学生结合下图，此时由于无意义，即直线没有斜率，这时直线的方程不能用点斜式表示.但是，这不等同于没有办法用方程表示这条直线.因为这时直线上的每一点的横坐标都等于，即它的方程为.设计意图：对于直线的点斜式方程，应该包括以下两个方面：（1）直线斜率存在时，过定点且斜率为的直线的点斜式方程为.其中当时，直线与轴平行或重合，它的点斜式方程表现为.（2）直线的斜率不存在时，过定点直线的方程为，但是，它并不是点斜式，这类直线的方程没有点斜式.问题5：如何表示过点，斜率为k的直线方程？师生活动：（1）学生自主完成.已知直线的斜率和直线上一点的坐标，可直接将已知代入点斜式方程，得到，化简后得.（2）教师给出总结：我们将称为直线的斜截式方程，简称斜截式.“斜”表示斜率；“截”表示直线与轴交点的纵坐标，称为直线在轴上的截距；截距不是距离，截距可正可负可为零.（3）直线的斜截式方程是特殊的点斜式方程，两者都只能表示斜率存在的直线.我们在解题经常要完成它们之间的转化.例如以下例题：【例2】填空：（1）已知直线的点斜式方程为，则其斜截式方程为；（2）已知直线的斜截式方程为，则其点斜式方程可以为（写出一个正确答案即可.（4）学生独立完成第（1）题，答案为；同一直线的斜截式是唯一的.（5）学生经讨论后完成第（2）题.这个题与第一题是“姊妹题”，应该不少学生会给出作为正确答案.（6）教师通过提问“写出一个正确答案即可”的作用，引导学生们给出不同的答案，进而引导学生们思考除之外，、等等，甚至于也是正确答案.（7）师生共同归纳：一条具体的直线，当它的斜率有意义时，它的斜截式方程是唯一的，但是，它的点斜式方程可以有不同的形式.设计意图：斜截式方程是点斜式方程的一个特例.斜截式方程仍是点斜式方程，只不过斜截式方程中的“点”为直线与轴的交点.学生们完成直线的点斜式方程与斜截式方程间的转换，了解不同形式的直线方程对直线不同的几何特征的表现.同时，这个题的第②问，能不能注意到这个题有无数种答案，对学生们的逻辑推理及数学运算核心素养提出了较高的要求，同时，也是让学生们经历一次对数学“开放题”的接触.问题6：如何从直线方程的角度认识一次函数？一次函数，，对应的图像都是直线，这三条直线的斜率和直线在轴上的截距是什么？师生活动：（1）师生共同讨论分析：这里涉及三个对象，斜截式方程，一次函数解析式及一条过轴上一个定点，斜率为的直线. 这条直线即是方程（对应）的直线，又是函数的图像.一方面是直线上任意一点的坐标所满足的代数关系，同时，它又是变量的对应关系.初中学习一次函数时，只知道是常数（一个很重要的解题方法叫待定系数法，就是这个时候接触到的）.现在从直线方程的角度我们知道了的几何意义.（2）学生自主完成以下解答：对应的直线斜率为2，与轴交点为，直线在轴上的截距为；对应的直线斜率为，与轴交点为，直线在轴上的截距为3；对应的直线斜率为3，与轴交点为，直线在轴上的截距为0.（3）教师的追问：结合直线的斜截式方程，完成以下例题:【例3】已知直线，，试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？（4）师生共同完成以下过程.【解】（1）若，则，此时与轴的交点不同，即；反之，若，，则；（2）若，则；反之，若，则.（5）教师引导学生完成小结：对于直线，.，且；.(6)学生自主完成以下课堂练习.【课堂练习3】写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是，在轴上的截距是；（2）斜率是，在轴上的截距是.【答案】依次为：；.【课堂练习4】判断下列直线是否平行或垂直：（1），；（2），.【答案】依次为：平行；垂直.设计意图：直线的斜截式方程与一次函数解析式的“相同”，一方面让学生们能够将在函数、平面向量的学习过程中“坐标法”用于对解析几何的“坐标法”的理解；另一方面也为以后用解析几何“反哺”函数的进一步学习奠定基础.为学生们整体接受“坐标法”梳理出一个通道，让学生们更好的亲近“坐标法”设定一个情境，为后续的学习中深入学习和应用“坐标法”埋下伏笔。这是数学的“联系性”的一项具体体现.例3的结论与上一课时学习斜率时得出的结论是想近，甚至是相同的.它的价值在于，上一课时是直接给明直线的斜率为，而在本例中，则是只给出两直线，，这事实上要求学生能够接受中，的系数（代数表达）就是直线的斜率（几何特征）.这是提升学生直观想象核心素养的很好的机会.课堂练习3取材于教材练习第3题.检测学生们直接写出直线的斜截式方程的能力.课堂练习4取材于教材练习第4题.检测学生们利用，且；.判断直线的平行与垂直的能力.（五）小结（1）直线的点斜式是直线的斜率公式的“变式”，直线的斜截式是点斜式的特殊形式.它们都不适用斜率不存在的直线.（2）直线的点斜式直线方程源自对直线几何特征的“翻译”，但到了直线的斜截式方程，则是直接套用直线的点斜式方程的定义即可.（3）在不同的问题背景下，我们选择不同的形式和方法求直线的方程，并且要能够完成它们之间的相互转化.（六）目标检测：1.已知直线.（1）求与垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程；（