1.1.2 空间向量的数量积运算（课时教学设计）-高中数学新教材选择性必修第一册单元教学方案

第2课时：空间向量的数量积运算5.1教学内容空间向量的夹角；空间向量的数量积运算；空间向量的数量积性质；空间向量的投影向量；用空间向量数量积解决几何中的垂直、夹角、距离或长度等一些简单问题.5.2教学目标（1）类比平面向量的夹角，能解释空间向量的夹角.（2）能类比平面向量数量积，给出空间向量的数量积概念；能提过具体实例解释空间向量的数量积的运算律.能通过具体实例说明空间向量的投影向量，能解释其几何意义，为以后用于求解空间中的距离问题做准备.（3）能将平面向量数量积的运算律推广到空间，并能进行证明；会用空间向量数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等一些简单问题.5.3教学重点与教学难点教学重点：空间向量的数量积概念；空间向量的数量积的性质及运算律；空间向量的投影向量.教学难点：空间向量的数量积的性质及运算律；空间向量的投影向量；运用空间向量的数量积解决立体几何中的问题.5.4教学过程设计关键点：空间向量的数量积平面向量的数量积空间向量的数量积平面向量的数量积类比引导语：我们已经学习了空间向量的线性运算，这些运算的结果还是向量，那么类比平面向量的数量积过程我们接下来就研究一下空间向量的数量积运算.由于任意两个空间向量都可以平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.任务一:空间向量的夹角.如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作.“同起点”原则显然，当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向.如果，那么向量a，b互相垂直，记作.任务二：空间向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即.由向量的数量积定义，可以得到：；.规定：零向量与任意向量的数量积为0，即a⋅说明：(1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定；(2)a⋅b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成(3)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0,π]．设计意图：为更好地理解向量数量积的性质打基础.空间向量数量积的性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e=e·a=|a|cos.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(4)a·a＝a2=|a|2特别地：模长公式|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2).(5)夹角公式：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).问题1：如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a,E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点.求：AB∙AC（2）EF∙（3）FG∙BA设计意图：此时，安排一道习题巩固对知识的理解：(选自教材第9页习题1.1的第4题)一方面为熟悉数量积公式，另一方面也是为学生在空间几何体中更好地理解空间向量的夹角如何确定.回顾平面向量的投影概念：如图a,b是两个非零向量，AB=a，CD=b，a与b我们称这种变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b投影向量的定义:我们可以在平面内任取一点O，作OM=a，ON=b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，OM原则：共起点原则：共起点问题2：类似的，在空间，向量a向向量b的投影由什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？设计意图：通过复习重拾记忆，运用类比的思想自然仍然到空间向量的投影向量的探究学习中，同时提升了学生的逻辑推理能力。任务三：向量的投影如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影，如图（2），如图（3），向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量a在平面上的投影向量，这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角.问题3：已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq\f(2π,3)，则向量a在向量e上的投影向量是____________；向量e在向量a上的投影向量是____________．解析：向量a在向量b上的投影向量的求法将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cosθe(e是与b方向相同的单位向量，且e＝eq\f(b,|b|))中计算即可．设计意图：熟练运用投影向量的公式，提升学生的数学运算素养.任务四：空间向量数量积的运算律，；（交换律）；（分配律）.注意：（1）数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．（2）类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a结合教材第7页的思考，分析以下问题，让学生以小组形式进行研讨：问题4：类比实数的运算，以上3个思考题中在空间向量中为何不成立的本质是什么？师生活动：在一组小组研讨中完成对空间向量数量积运算律的学习，尤其对结合律不成立的理解，与学生探讨最后教师总结：其本质就是两个带有方向的量的乘积是与模长和夹角共同作用的结果，也为后续利用向量求模长和夹角问题打好基础.设计意图：学生通过小组合作研讨得出结论，锻炼学生的探究能力,结合平面向量的知识得出空间向量间的关系，并能掌握它们之间的差别与联系，同时也锻炼学生的概括理解能力，也攻克了本节课的一个难点.问题5：例2.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB=5,AD=3,AA1=7，∠BAD=∠BAAA（1）AB∙AD；（2）设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.引导语：由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决.下面来一起看例3.例3.如图，m，n​是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m,l⊥n,，求证：l⊥α.分析：要证明：l⊥α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义）.如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⊥m,l⊥n,得到l⊥g，那么就能解决此问题。证明过程略.问题6：例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程.尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？设计意图：通过引导学生逐步得出线面垂直的判断定理的证明，培养了学生的逻辑思维和探究的能力，也为后续应用空间向量解决立体几何问题打好基础.课程小结：知识上：空间向量的夹角；空间向量的数量积；向量的投影；空间向量数量积的运算律.数学思想上：类比的思想贯穿整节课，从二维平面推广到三维空间提升了学生的逻辑推提能力，通过数量积和运算律的应用提升了数学的运算素养.六、课堂检测与评价：教材第8页练习1,2,3,4.设计意图：充分利用课本习题，体会新课程标准要求，增强“用教材”意识，强化新课程标准的导向作用.教学反思：本节课是人教A版选择性必修一第一章第一节第2课时的内容，通过仔细研读教材，特别是在突破空间向量的投影这个难点时，下了很大的功夫，以及空间向量结合律的问题充分发挥学生的自主学习优势，将数的运算与数量积的运算律对比学习形成了鲜明的对比，从根本上解决了学习对数学知识的的容易混淆问题.总结有以下几点反思：1.教