2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题10 空间向量与立体几何（学生版）

/专题10空间向量与立体几何10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01空间向量的坐标运算2017-2026年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2024-2026年均有基础填空、单选题，2023年考查解答题基础问，2017-2022年年均有高频考查基础题核心考查空间向量的坐标表示、线性运算、参数求解，难度较低，为必拿分考点；核心变化为2023年起结合空间几何体结构特征、动点轨迹方程、线面位置关系综合考查，2026年创新结合空间直角坐标系中点的对称问题考查，对空间想象与数形结合能力要求提升考点02空间向量的数量积与模长2018-2026年连续考查，题型以填空题、解答题为主；2026年考查填空压轴题，2025年考查模长最值类填空，2018-2023年均有高频考查基础题考查空间向量模长计算公式、数量积坐标运算、向量夹角与投影求解，难度较低；核心变化为2025年起大量结合空间距离最值、线段长度范围、线面垂直充要条件综合考查，2026年首次以本考点为核心命制填空压轴题，从基础计算转向多知识点融合的综合推理，难度显著提升考点03空间向量在立体几何中的应用2017-2026年年年必考，全题型覆盖，为解答题压轴高频考点；2021-2026年年均有2-3问解答题，2026年同时考查单选与解答压轴题，2017-2020年以基础填空、单选为主基础题考查线面平行、垂直的向量证明，点到平面的距离求解；核心变化极为显著：2026年首次结合新定义“正交线”，融合线面角、二面角平面角求解、多面体体积计算综合考查，近年大量结合空间几何体翻折、动点存在性问题命制压轴解答题，对空间想象、逻辑推理与综合计算能力要求大幅提高考点01几何体的表面积和体积1．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．

2．（2022·上海·高考真题）已知某圆锥的高为4，底面积为，则该圆锥的侧面积为___.3．（2021·上海·高考真题）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.4．（2017·上海·高考真题）已知球的体积为，则该球主视图的面积等于________5．（2026·上海·高考真题）已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，．(1)求证：；(2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小．6．（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台，其中，.(1)当时，求和平面所成角；(2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积.7．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．8．（2025·上海·高考真题）在三棱锥中，平面平面，，，(1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积；(2)求二面角的大小．9．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．10．（2023·上海·高考真题）已知为正比例系数，定义：为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的（用表示）；(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出，为层数，层高为3米，其中，试求当取第几层时，该建筑体最小？11．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱中，，，，，(1)求证：平面；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小.12．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，

(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.13．（2022·上海·高考真题）如图，在圆柱中，底面半径为，为圆柱的母线.(1)若，为的中点，求直线与底面的夹角大小；(2)若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.14．（2021·上海·高考真题）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面.（1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积；（2）若的中点为，与平面所成角为45°，求与所成角的大小.15．（2020·上海·高考真题）已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体.（1）求圆柱体的表面积；（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转到，求与平面ABCD所成的角.16．（2019·上海·高考真题）如图，在正三棱锥中，（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积.

17．（2018·上海·高考真题）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小.18．（2017·上海·高考真题）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.（1）求三棱柱的体积；（2）设M是BC中点，求直线与平面所成角的大小.考点02点、直线、平面之间的位置关系1．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（

）．

A．点Q B．点P C．点B D．点R2．（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则3．（2023·上海·高考真题）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（）A． B． C． D．4．（2022·上海·高考真题）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（

）次A． B． C． D．5．（2020·上海·高考真题）在棱长为10的正方体.中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、两点，则点所在的平面是（

）A． B． C． D．6．（2019·上海·高考真题）已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（

）A．两两垂直 B．两两异面 C．两两相交 D．两两平行7．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________．8．（2023·上海·高考真题）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.

(1)求直线与平面所成的角的正切值；(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.考点03空间几何体的结构1．（2025·上海·高考真题）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（

）．

A．和； B．和； C．和； D．和．2．（2018·上海·高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．163．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．考点04空间向量1．（2026·上海·高考真题）已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（

）．

A． B． C． D．2．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（

）A． B．C． D．3．（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________．4．（2024·上海·高考真题）在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则________．5．（2023·上海·高考真题）已知空间向量都是单位向量，且与的夹角为，若为空间任意一点，且，满足，则的最大值为__________．6．（2017·上海·高考真题）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________7．（2024·上海·高考真题）如图，、、为圆锥三条母线，.(1)证明:；(2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小一、单选题1．（2026·上海·三模）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2026·上海·三模）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（

）A．， B．，C．， D．，，，3．（2026·上海虹口·三模）设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（

）条件：A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要4．（2026·上海黄浦·三模）已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．（2026·上海崇明·二模）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2026·上海·三模）若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留）7．（2026·上海·三模）已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________．8．（2026·上海·三模）若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为________．9．（2026·上海普陀·二模）在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______.10．（2026·上海静安·二模）直径为的球的表面积为______．（计算结果保留）11．（2026·上海·二模）已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________．12．（2026·上海·三模）已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______．13．（2026·上海静安·二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______．14．（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．

三、解答题15．（2026·上海·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)证明：//平面；(2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．16．（2026·上海·二模）如图，在底面半径为2，侧面积为的圆锥中，A、B、C为底面圆周上不同的三个点，(1)求直线OB与平面PAC所成角的正弦值(2)设点D为线段PB上的动点（不含端点P和B），求证直线OA与CD不垂直17．（2026·上海黄浦·二模）如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且．(1)求证：平面平面；(2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小．18．（2026·上海徐汇·二模）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，.(1)求证：；(2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小.19．（2026·上海杨浦·二模）如图，在直四棱柱中，，，，，.(1)设是的中点，求证：平面；(2)若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小.20．（2026·上海黄浦·三模）如图，三棱锥中，，，，为的中点．(1)证明：；(2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值．21．