2025中考数学二模试题分类汇编03 几何基础题（湖南专用）（学生版+教师版合并）

专题03几何基础题题型概览题型01相交线与平行线题型02几何基础求线段题型03几何基础求角度题型04几何基础证明题型01题型011．(2025·湖南省长沙市·二模)将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．(2025·湖南省永州市·二模)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．3．(24-25九·湖南岳阳岳阳县·二模)如图，，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．4．（湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（

）A． B． C． D．5．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，已知直线，平分，，则的度数是（）A． B． C． D．6．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，直线经过顶点，且与边交于点．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．7．(2025·湖南省常德市·二模)如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（）A． B． C． D．8．(2025·湖南省衡阳市·二模)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（

）A． B． C． D．9．(2025·湖南省永州市·二模)如图，直线，菱形的两个顶点A，C分别在直线，上，若，，则．10．(2025·湖南省娄底市冷水江市·二模)仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为．11．(2025·湖南省湘潭市·二模)如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是．12．(2025九·湖南省岳阳市·二模)如图，直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，若，则．13．(2025·湖南省衡阳市·二模)凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为．14．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)如图，已知直线，直线与交于点，与交于点，过作，交于点，若，则的度数为．题型02题型0215．(2025九·湖南省岳阳市·二模)如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（）A． B． C．2 D．16．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．1017．(2025·湖南省常德市·二模)如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．718．(2025·湖南省永州市·二模)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是（

）

A．2 B．3 C．4 D．519．(2025·湖南省永州市·二模)如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（

）

A．6 B．8 C．10 D．1220．(2025九·湖南省岳阳市·二模)如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，的周长为，则的周长为．21．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为．22．(2025·湖南省永州市·二模)如图，在四边形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，，则的长为．23．(2025·湖南省永州市·二模)如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的长为．题型03题型0324．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N（注：画弧时，半径保持不变）；②作直线交于点D，连接．如果，，那么的度数为（

）A． B． C． D．25．(2025·湖南省张家界市·二模)如图，平分，，，那么等于（）A． B． C． D．26．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为°．27．(2025·湖南省益阳市·二模)如图，在中，，点E，F分别在，上，将沿折叠后，正好点C落在的M处．若，则的度数为．28．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，在等边三角形中，为边的中点，以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，则的度数为．29．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为．

30．(2025·湖南省汨罗市·二模)如图，在正五边形中，连接，则的度数为．31．(2025·湖南省常德市·二模)如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则．题型04题型0432．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点F，使连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求四边形的面积．33．(2025·湖南省益阳市·二模)如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．(1)求证：；(2)求的度数．34．(2025·湖南省永州市·二模)如图，在平行四边形中，是对角线．(1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）；(2)猜想与证明：连接，，判断四边形的形状，并说明理由．35．(24-25九·湖南岳阳岳阳县·二模)如图，在中，点，分别在边，上，．(1)求证：；(2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）36．(湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

37．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，求的度数．38．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)当时，求与的长．39．(2025·湖南省汨罗市·二模)如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．40．(2025九·湖南省岳阳市·二模)如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求线段长．41．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，，．

(1)求证：；(2)若，则__________°．42．(2025·湖南省娄底市冷水江市·二模)如图，在中，、分别是、上的一点，，．(1)证明：四边形是矩形；(2)若，，，求的长．43．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接(1)求的长；(2)求的周长．44．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，，，，，垂足分别为D，E．(1)求证：；(2)若，，求BE的长．45．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，，求的长和的面积．46．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下：①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点；②作直线交于点，连接；③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接．(1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据；(2)若，，，求四边形的面积．47．(2025·湖南省常德市·二模)如图，在四边形中，已知，点在上，且．(1)求证：；(2)当时，求的长．48．(2025·湖南省永州市·二模)如图，是的角平分线，过点D作交于点E．交于点F．(1)求证：四边形为菱形；(2)如果，，，求菱形的边长．49．(2025·湖南省永州市·二模)如图，菱形的边长为2，，E，F分别是边上的两个动点且满足．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)设的面积为S，求S的取值范围．50．(2025·湖南省湘潭市·二模)如图，在四边形中，，平分，E为的中点，连接交于点F，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．51．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，点，在上，．(1)求证：；(2)连接，若，，，求的度数．52．(2025·湖南省张家界市·二模)如图，四边形为矩形，过点作交的延长线于点．求证：．53．(2025·湖南省永州市·二模)如图，与都是等边三角形，且B，D，E三点共线，交的延长线于F．(1)求证：①；②四边形是平行四边形；(2)若，，求四边形的面积．

专题03几何基础题题型概览题型01相交线与平行线题型02几何基础求线段题型03几何基础求角度题型04几何基础证明题型01题型011．(2025·湖南省长沙市·二模)将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】2025年湖南省长沙市雅礼教育集团中考二模数学试卷【分析】本题考查了平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得．【详解】解：∵，，∴，∵，∴．故选：B．2．(2025·湖南省永州市·二模)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】2025年湖南省永州市中考适应性考试二模数学试题【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出，进而求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．【详解】解：如下图，由题意得：，，，，，，故选：B．3．(24-25九·湖南岳阳岳阳县·二模)如图，，若，，则的度数为（

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A． B． C． D．【答案】B【来源】湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年九年级中考二模数学试卷【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故选：B4．（湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【来源】湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟考试数学试卷【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．【详解】∵，∴，∵，则，∴，故选：A．5．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，已知直线，平分，，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【来源】2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试卷【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由邻补角的定义得，由角平分线的定义得，最后根据得，即可得解．【详解】解：，，平分，，，，故选：B．6．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，直线经过顶点，且与边交于点．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【来源】2025年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学中考二模数学试卷【分析】本题考查了平行线的判定与性质．先求得的度数，根据平行线的性质即可求得答案的度数，继而求得的度数．【详解】解：如图，∵直角三角板的直角顶点C在直线m上，，∴，∵直线，∴，∵，∴，故选：C．7．(2025·湖南省常德市·二模)如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【来源】2025年湖南省常德市澧县中考二模数学试题【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质计算即可得到答案．【详解】解：如图，，，，，故选：C．8．(2025·湖南省衡阳市·二模)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【来源】2025年湖南省衡阳市二模数学试题【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论．【详解】解：水面和杯底互相平行，，∵，．水中的两条光线平行，．故选：B．9．(2025·湖南省永州市·二模)如图，直线，菱形的两个顶点A，C分别在直线，上，若，，则．【答案】/20度【来源】2025年湖南省永州市宁远县中考二模数学试题【分析】本题考查平行线的性质，菱形的性质，过点作，则，得，由菱形的性质可知，则，进而可知．【详解】解：过点作，则，∴，∵四边形是菱形，∴，则，∵，∴，故答案为：．10．(2025·湖南省娄底市冷水江市·二模)仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为．【答案】【来源】2025年湖南省娄底市冷水江市中考二模数学试题【分析】本题考查了平行线的性质．由平行线的性质可得，，再由计算即可得解．【详解】解：∵，，∴，，∴，故答案为：．11．(2025·湖南省湘潭市·二模)如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是．【答案】（答案不唯一）【来源】2025年湖南省湘潭市岳塘区湘钢二中中考二模数学试题【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法即可得到结果．【详解】解：∵，∴；或∵，∴；故答案为：或．12．(2025九·湖南省岳阳市·二模)如图，直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，若，则．【答案】【来源】2025年湖南省岳阳市九年级数学二模试卷【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键；根据题意可得，再根据平行线的性质即可求解．【详解】解：∵的直角顶点在直线a上，，∴，∵，∴；故答案为：．13．(2025·湖南省衡阳市·二模)凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为．【答案】【来源】2025年湖南省衡阳市第十七中学中考二模数学试卷【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质、三角形的外角性质是解题的关键．先求出，再根据三角形的外角性质求得即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．14．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)如图，已知直线，直线与交于点，与交于点，过作，交于点，若，则的度数为．【答案】/【来源】2025年6月湖南省衡阳市船山实验中学中考二模数学试卷【分析】本题考查了平行线的性质的应用，先由已知得，再根据平行线的性质得到，继而可得，即可求出．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：．题型02题型0215．(2025九·湖南省岳阳市·二模)如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（）A． B． C．2 D．【答案】A【来源】2025年湖南省岳阳市九年级数学二模试卷【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：∵在中，，，∴，∵为的中点，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：；故选：A．16．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【来源】2025年湖南省衡阳市二模数学试题【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案．【详解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，故选：C．17．(2025·湖南省常德市·二模)如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【来源】2025年湖南省常德市澧县中考二模数学试题【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及直角三角形的性质，根据题意可得，利用勾股定理求出的长度．再根据直角三角形的性质即可得到答案．【详解】解：在菱形中，点是与的交点，，，，，，点为的中点，，，是直角三角形，，故选：C．18．(2025·湖南省永州市·二模)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【来源】2025年湖南省永州市第十六中学中考二模数学试题【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC=14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF=AB=4，∵BC=14，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=BC=7，∴EF=DE-DF=3，故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．19．(2025·湖南省永州市·二模)如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【来源】2025年湖南省永州市冷水滩区京华中学中考二模数学试题【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案．【详解】解：∵是的中位线，∴，∵是的平分线，，，，，，，，故选：B．20．(2025九·湖南省岳阳市·二模)如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，的周长为，则的周长为．【答案】【来源】2025年湖南省岳阳市九年级数学二模试卷【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知，垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据的周长公式即可解答．【详解】解：由作图可知，垂直平分线段，，，的周长为，，，的周长为，故答案为：．21．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为．【答案】【来源】2025年湖南省衡阳市衡南县中考第二次模拟考试数学试题【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即．【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O，∴，，∵点E是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案为：．22．(2025·湖南省永州市·二模)如图，在四边形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，，则的长为．【答案】1【来源】2025年湖南省永州市宁远县中考二模数学试题【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：连接，交于点F，如图所示：∵，，，∴，∴，由作图可知：平分，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为1．23．(2025·湖南省永州市·二模)如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的长为．【答案】1.75【来源】2025年湖南省永州市第十六中学中考二模数学试题【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，由勾股定理求得，推导出，设，则，，由勾股定理得，进一步解答即可得解，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．【详解】解：在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，∴的垂直平分线为，∴，在中，，，，由勾股定理得：，设，则，，在直角三角形由ABD中，由勾股定理：，解得，∴，故答案为：1.75．题型03题型0324．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N（注：画弧时，半径保持不变）；②作直线交于点D，连接．如果，，那么的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【来源】2025年6月湖南省衡阳市船山实验中学中考二模数学试卷【分析】首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，得到，即；接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得以及的度数，然后根据三角形内角和定理计算即可得到答案．【详解】∵由作图可知，垂直平分，∴，∴．∴∵，∴．∴，故选D．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理．25．(2025·湖南省张家界市·二模)如图，平分，，，那么等于（）A． B． C． D．【答案】C【来源】2025年湖南省张家界市桑植县中考二模数学试题【分析】根据角平分线的定义，根据角三角形外角的性质即可解答．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∵在△ABC中，，∴，∵，∴，故选．26．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为°．【答案】30【来源】2025年湖南省长沙市雅礼教育集团中考二模数学试卷【分析】本题考查作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形内角和定理求出，再求出，可得结论．【详解】解：根据题意可知，垂直平分线的，，，，，，故答案为：30．27．(2025·湖南省益阳市·二模)如图，在中，，点E，F分别在，上，将沿折叠后，正好点C落在的M处．若，则的度数为．【答案】【来源】2025年湖南省益阳市安化县中考二模数学试题【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．由平行四边形得到，，折叠得到，由三角形的外角性质求出，再由平角的意义即可求解．【详解】解：如图，∵平行四边形，∴，∴，折叠，∴，，∵，∴，∴，故答案为：．28．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，在等边三角形中，为边的中点，以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，则的度数为．【答案】【来源】2025年湖南省衡阳市第十七中学中考二模数学试卷【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，，再根据，即可求解．【详解】解：∵三角形为等边三角形，为边的中点，∴，，∴，∵以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，∴，∴，∴，故答案为：．29．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为．

【答案】30°【来源】2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试卷【分析】根据等腰三角形性质得到，，再由尺规作图得到垂直平分，从而由中垂线性质得到，进而，即可得到．【详解】解：∵，，∴，，由尺规作图可知垂直平分，∴由中垂线性质可知，∴，，故答案为：30°．【点睛】本题考查尺规作图与求角度结合问题，涉及等腰三角形性质、中垂线的尺规作图、中垂线性质等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图是解决问题的关键．30．(2025·湖南省汨罗市·二模)如图，在正五边形中，连接，则的度数为．【答案】/72度【来源】2025年湖南省汨罗市中考二模数学试题【分析】本题考查正多边形的性质，掌握正多边形的各边相等，各角也相等是解题的关键．【详解】解：∵是正五边形，∴，，∴，∴，故答案为：．31．(2025·湖南省常德市·二模)如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则．【答案】【来源】2025年湖南省常德市中考二模数学试题【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形和三角形外角的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，由可得，再利用三角形外角的性质即可求解．【详解】解：为等边三角形，点D是边的中点，，，，．故答案为：．题型04题型0432．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点F，使连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【来源】2025年湖南省长沙市雅礼教育集团中考二模数学试卷【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．（1）直接利用三角形中位线定理得出，再证明，即可根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）过点D作于H，根据线段中点的定义得到，求出，得到，则，据此根据平行四边形的面积计算公式求解即可．【详解】（1）证明：分别为的中点，为的中位线，，，，，，四边形是平行四边形；（2）解；如图所示，过点D作于H，∵为的中点，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．33．(2025·湖南省益阳市·二模)如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．(1)求证：；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【来源】2025年湖南省益阳市安化县中考二模数学试题【分析】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键．（1）根据证明得，从而可证明；（2）设由得，求出，得出，由旋转得，可列式，得出即．【详解】（1）证明：是的中点，．四边形是正方形，,∴，又，，，是斜边上的中线，．，．（2）解：设，，，，，，，，，，∴，∴．34．(2025·湖南省永州市·二模)如图，在平行四边形中，是对角线．(1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）；(2)猜想与证明：连接，，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形为菱形，理由见解析【来源】2025年湖南省永州市中考适应性考试二模数学试题【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，菱形的判定及性质，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．（2）根据线段垂直平分线、平行四边形及菱形的性质及全等三角形的判定与性质可得结论．【详解】（1）解：如图，直线即为所求．（2）解：四边形是菱形，理由：∵垂直平分，∴，，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形．35．(24-25九·湖南岳阳岳阳县·二模)如图，在中，点，分别在边，上，．(1)求证：；(2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）【答案】(1)见解析(2)添加（答案不唯一）【来源】湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年九年级中考二模数学试卷【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；（1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明；（2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴即，在与中，，∴；（2）添加（答案不唯一）如图所示，连接．∵四边形是平行四边形，∴，即，当时，四边形是平行四边形．36．(湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.【来源】湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟考试数学试卷【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，∴点O为BD的中点，∵点E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．(2)∵点E为AD的中点，AD=10，∴AE=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5，∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案为：OE=5，BG=2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．37．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【来源】2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试卷【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；（2）∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．38．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)当时，求与的长．【答案】(1)证明见解析(2)，【来源】2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试卷【分析】（1）证明，得到，推出四边形是平行四边形，再根据，即可得证；（2）设，得到，勾股定理求出，在和中利用锐角三角函数得到，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）解：∵，∴设，则：，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，即：，解得：（舍去），∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查菱形的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．39．(2025·湖南省汨罗市·二模)如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【来源】2025年湖南省汨罗市中考二模数学试题【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明；（2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，，∴，∴四边形是矩形；（2）解：如图，∵，∴．∵矩形中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．40．(2025九·湖南省岳阳市·二模)如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求线段长．【答案】(1)证明见详解(2)【来源】2025年湖南省岳阳市九年级数学二模试卷【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．（1）根据，可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，进而可证四边形是平行四边形．（2）根据勾股定理可得，由等面积法得出，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：∵，，，∴，∵,∴,∵，∴．41．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，，．

(1)求证：；(2)若，则__________°．【答案】(1)答案见解析(2)【来源】2025年湖南省衡阳市衡南县中考第二次模拟考试数学试题【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．（1）利用即可证得；（2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数．【详解】（1）证明：在和中，，；（2）解：，，，由（1）知，，故答案为：20．42．(2025·湖南省娄底市冷水江市·二模)如图，在中，、分别是、上的一点，，．(1)证明：四边形是矩形；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【来源】2025年湖南省娄底市冷水江市中考二模数学试题【分析】（1）利用平行四边形证明四边形为平行四边形，再结合即可得到结论；（2）根据为矩形，可以求出的长，再判定出为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出最后结果【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，，，，，四边形为平行四边形，，四边形是矩形；（2）四边形是矩形，，，，，,，。【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键43．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接(1)求的长；(2)求的周长．【答案】(1)(2)【来源】2025年湖南省长沙市周南教育集团中考二模数学试题【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键．（1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解；（2）根据、的周长即可求解；【详解】（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线，∴在中，点D是斜边的中点．∴．（2）解：在中，．∵是线段的垂直平分线，∴．∴的周长．44．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，，，，，垂足分别为D，E．(1)求证：；(2)若，，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)【来源】2025年湖南省长沙市周南教育集团中考二模数学试题【分析】(1)根据垂直的定义可知，根据等量代换求出，根据即可求证．(2)根据全等三角形的对应边相等得到，再代值即可求出答案．【详解】（1）证明：，，，∴∴∴（2）∵∴，又，，∴即【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂线的定义等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键．45．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，，求的长和的面积．【答案】(1)见解析(2)，【来源】2025年湖南省长沙市周南教育集团中考二模数学试题【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到，（2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到△ADF的面积【详解】（1）证明：在中，，，平分，，，，（2）解：，，；过作交FA的延长线于，，，，，，的面积．46．(2025·湖南省衡阳市·二模)如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下：①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点；②作直线交于点，连接；③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接．(1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据；(2)若，，，求四边形的面积．【答案】(1)菱形，四边相等的四边形是菱形(2)四边形的面积为．【来源】2025年湖南省衡阳市二模数学试题【分析】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识．（1）根据作图得到垂直平分，然后得到，即可求解；（2）首先根据题意得到，再利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可．【详解】（1）解：根据作图可得，垂直平分，∴，，∵由作图得，，∴，∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形；（2）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形的面积．47．(2025·湖南省常德市·二模)如图，在四边形中，已知，点在上，且．(1)求证：；(2)当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【来源】2025年湖南省常德市澧县中考二模数学试题【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质：（1）等边对等角，结合角的和差关系推出，进而得到，证明即可；（2）过点作于点，设，易得，，根据，求出的值即可．【详解】（1）证明：在四边形中，，，，，∵，，．在与中，，（）．（2）当时，由（1）知，∴，过点作于点，如图．设，则，∵，∴，，，．48．(2025·湖南省永州市·二模)如图，是的角平分线，过点D作交于点E．交于点F．(1)求证：四边形为菱形；(2)如果，，，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)菱形的边长为【来源】2025年湖南省永州市第十六中学中考二模数学试题【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，角平分