2026中考数学热点专练01 数与式（学生版+教师版合并）

热点01数与式热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：数与式部分主要考察实数相关概念及其运算、二次根式、整式与因式分解、分式及其运算；命题以基础、送分题为主，重运算准确性、轻偏难怪；计算运算的部分题型里以知识交汇方式呈现（整式+因式分解、分式+根式等）；在少量情景化和规律探究类问题中，强化代数推理。题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现。这要求我们①能准确快速进行运算（运算能力）；②会区分易混点（辨析概念）；③进行简单的代数推理（含公式变形、整体代入、因式分解等）；④会列代数式解决简单应用问题（代数式的应用意识）。预测2026年：方向：2026年将继续保持稳定，基础题稳定占比+运算题要求更规范+少量情景化/探究问题，突出运算能力、代数推理能力、应用意识的核心素养，所以复习方向以抓基础、强运算为主，适当练习综合性问题。策略：①回归教材（吃透概念、公式、例题、习题）；②运算专练；③题型突破；④易错清零。题型01实数的相关概念解｜题｜策｜略·实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。·实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小；注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较.例1的绝对值是（

）A． B． C． D．2例2（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则________．（填“”“”或“”）例3实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”）例42025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为_______米/秒．例54的算术平方根是___________．例6已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（

）A．或 B．或 C． D．【变式1】在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（

）A．米 B．米 C．米 D．米【变式2】据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【变式3】实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（

）A． B． C． D．【变式4】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【变式5】如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（

）A． B． C．2 D．4题型02实数的运算（含二次根式的计算）解｜题｜策｜略·常见的实数运算：乘方

正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0；任何非零实数的0次幂都等于1；负数的奇次幂为负数，偶次幂为正数，如(－1)2n＝

1(2n为偶数),(－1)2n-1＝

1(2n-1为奇数)负指数幂a－p＝(a≠0，p为整数).如，“倒底数反指数”.特别地，a－1＝(a≠0)

去绝对值先分类讨论正负，再去绝对值运算顺序1.先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；2.如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的·二次根式：最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式例1计算：；例2计算的结果是____________．例3（2025·河北保定·一模）嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”．(1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少．(2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）．①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果．例4（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（

）A． B．3 C． D．【变式1】中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元．附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表国家GDP总量（单位：万亿美元）国家GDP总量（单位：万亿美元）德国4.59巴西2.33印度3.93俄罗斯2.05英国3.49韩国1.76法国3.13瑞士0.93预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算：2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（

）A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国【变式2】（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________．【变式3】计算：．【变式4】计算：；【变式5】【变式2】（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________．题型03无理数的估算解｜题｜策｜略·无理数的估算方法：确定二次根式在哪两个整数之间(1)先对无理数平方；(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；(3)对两个整数开方即可例1估计的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【变式1】满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）．【变式2】阅读理解：同学们，我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法．例如求的近似值．因为，所以，则可以设成以下两种形式：①，其中；②，其中．小明以①的形式求的近似值的过程如图．因为，所以，即．因为比较小，将忽略不计，所以，即，得，故．尝试探究：（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．比较分析：（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．题型04代数式求值解｜题｜策｜略在代数推理中运用整体思想(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值；(2)整体代入法：先观察已知条件和所求代数式的关系；再利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将所求代数式或已知代数式进行变形，使它们成倍数关系；最后把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值例1已知，则代数式的值为_______．例2（2026·广东深圳·一模）已知：，，则__________．【变式1】（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是______．【变式2】（2026·重庆·模拟预测）已知，则__________．题型05整式的运算（含因式分解）解｜题｜策｜略·整式化简的一般思路：将原式利用提公因式法、完全平方公式、平方差公式，以及单项式乘多项式法则等计算后，再去括号，合并同类项，即可得到最简结果.①幂的乘除运算；②套乘法公式：平方差公式、完全平方公式；③先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行计算.·因式分解的方法：一提公因式、二套公式、三分组分解因式的一般步骤：（1）先看有无公因式，有公因式的先提取公因式.

确定公因式的方法：①取各项系数的最大公因数作为公因式的系数；

②取各项相同的字母（或多项式因式），再取相同字母（或多项式因式）的最低次幂.

（2）提公因式后（或不需要提公因式时）看多项式的项数：2项可以尝试利用平方差公式；3项可以尝试利用完全平方公式.例1计算的结果为（

）A． B． C． D．例2下列运算正确的是（

）A． B．C． D．例3因式分解___________例4先化简，再求值：，其中．【变式1】下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】分解因式：_______．【变式3】因式分解____________．【变式4】定义新运算：，则的运算结果是_____．题型06数字/图形类规律问题解｜题｜策｜略关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形（数式）的相互联系，探寻其规律例1醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（

）A．18 B．20 C．22 D．24例2（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（

）A． B．C． D．例3（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示）例4（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：．【应用体验】已知，则m的值为________【变式1】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______．【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）．【变式3】（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；……如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______．题型07分式与分式的化简解｜题｜策｜略·通分——求各个分式的最简公分母(1)系数取最小公倍数；(2)出现的字母或因式取最高次幂·分式化简的一般步骤：(1)因式分解：分子、分母是多项式的，利用提公因式、平方差公式、完全平方公式将可因式分解的分子或分母化成乘积形式，为通分、约分做准备；(2)有括号先去括号：括号内的异分母分式通分为同分母分式，再合并同类项，化为一个分式；(3)进行乘法运算，约分；(4)化为最简分式(或不含括号的整式)；(5)直接代值或通过计算得到未知数的值，再代入计算例1（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____．例2（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（）A．1 B． C．0 D．例3（2025·山东东营·中考真题）化简____________．例4（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值．【变式1】要使分式有意义，字母，须满足（

）A． B． C． D．【变式2】先化简，再求值：，其中．【变式3】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小．题型08数字问题例1（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．【理解定义】三位数是否为“极差数”？___________．【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？例22025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：．传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：．将二进制数化为三进制数为（）A． B． C． D．例3（2025·河北石家庄·三模）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题：(1)计算：________；(2)猜想：________；(3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明；【变式1】幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．主题探究月历与幻方的奥秘活动一图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______；（注：用含的代数式表示和．）活动二移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______；（4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）．【变式2】（2025·广西南宁·二模）综合实践问题背景某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据．查阅资料一十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：．查阅资料二根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如：可得：上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法）制作二维码图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白．图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码．请完成下列问题：【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来；【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级；【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作．（30分钟限时练）1．（2026·重庆·模拟预测）下列各数中，倒数的绝对值最小的是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20262．（2026·山西长治·一模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（）A． B． C． D．4．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（

）A． B． C． D．15．（2026·河南周口·一模）如果，那么的值为（）A．1 B．0 C． D．6．（2026·江西·模拟预测）跨学科化学数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（

）A． B．C． D．7．（2026·四川遂宁·一模）已知，则的值为______．8．氧气是由氧元素形成的一种单质，氧元素的原子半径约为米，则氧原子的半径用科学记数表示为________米．9．（2026·安徽·一模）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且最小，则用该方法计算的值约为____．10．（2026·河南周口·模拟预测）按一定规律排列的代数式：则第n个代数式是______．11．（2026·陕西西安·二模）计算：．12．（2026·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中，．13．化简：．14．（2026·江苏南通·一模）计算：(1)一道习题及其错误的解答过程如下：计算：．解：第一步……第二步……第三步请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．(2)计算：．(3)先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的(为整数)．15．（2025·安徽阜阳·一模）【观察思考】毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．【规律发现】（1）图1中，第个三角形数是；图2中，第个正方形数是（请用含的式子表示）．【猜想验证】（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，即第个与第个三角形数之和等于第个的正方形数．请将上述联系用含有的等式表示出来，并证明．

热点01数与式热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：数与式部分主要考察实数相关概念及其运算、二次根式、整式与因式分解、分式及其运算；命题以基础、送分题为主，重运算准确性、轻偏难怪；计算运算的部分题型里以知识交汇方式呈现（整式+因式分解、分式+根式等）；在少量情景化和规律探究类问题中，强化代数推理。题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现。这要求我们①能准确快速进行运算（运算能力）；②会区分易混点（辨析概念）；③进行简单的代数推理（含公式变形、整体代入、因式分解等）；④会列代数式解决简单应用问题（代数式的应用意识）。预测2026年：方向：2026年将继续保持稳定，基础题稳定占比+运算题要求更规范+少量情景化/探究问题，突出运算能力、代数推理能力、应用意识的核心素养，所以复习方向以抓基础、强运算为主，适当练习综合性问题。策略：①回归教材（吃透概念、公式、例题、习题）；②运算专练；③题型突破；④易错清零。题型01实数的相关概念解｜题｜策｜略·实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。·实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小；注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较.例1的绝对值是（

）A． B． C． D．2【答案】D【难度】0.94【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可．【详解】解：的绝对值是2，故选：D例2（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则________．（填“”“”或“”）【答案】【难度】0.85【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小．【详解】解：∵，即，∴，∵，且，∴．例3实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”）【答案】【难度】0.85【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小．【详解】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且，∴，∴，故答案为：．例42025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为_______米/秒．【答案】【难度】0.94【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：千米/秒米/秒米/秒，故答案为：．例54的算术平方根是___________．【答案】2【难度】0.95【分析】根据算术平方根的定义，寻找平方等于4的非负实数即可．【详解】解：根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，∵，且2是正数，∴4的算术平方根是2．例6已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【难度】0.85【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可．【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧．当该点在点A右侧时，表示的数为．当该点在点A左侧时，表示的数为．因此，符合条件的数为或故选A．【变式1】在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【难度】0.94【分析】本题考查正负数表示相反意义的量．根据正负数表示相反意义的量，向东记为正数，则向西记为负数，据此即可求解．【详解】解：将向东走80米记作米，说明“向东”为正方向，与之相反的“向西”应为负方向．因此，向西走60米应记作米．故选：A．【变式2】据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可．【详解】解：．故选：D．【变式3】实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.85【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得，则，得，故表示1的点可能是，即可作答．【详解】解：依题意，，且与是符号不相同，观察数轴，得，∴，则，∴在和之间，∴表示1的点可能是，故选：C【变式4】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，，且，再逐项分析即可．【详解】解：由数轴得，，且∴，，故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，故选：D．【变式5】如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【难度】0.94【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案．【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点，∴点表示的数为，故选：B．题型02实数的运算（含二次根式的计算）解｜题｜策｜略·常见的实数运算：乘方

正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0；任何非零实数的0次幂都等于1；负数的奇次幂为负数，偶次幂为正数，如(－1)2n＝

1(2n为偶数),(－1)2n-1＝

1(2n-1为奇数)负指数幂a－p＝(a≠0，p为整数).如，“倒底数反指数”.特别地，a－1＝(a≠0)

去绝对值先分类讨论正负，再去绝对值运算顺序1.先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；2.如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的·二次根式：最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式例1计算：；【答案】【难度】0.85【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，立方根的含义；【详解】解：.例2计算的结果是____________．【答案】2【难度】0.65【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减．【详解】解：．故答案为：2．例3（2025·河北保定·一模）嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”．(1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少．(2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）．①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果．【答案】(1)(2)①14分；②有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板【难度】0.65【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．（1）由题意得到，即可得到答案；（2）①根据题意列出计算式进行计算即可；②原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分，即可得到答案．【详解】（1）解：．故最大块的边长比最小块多．（2）解：①（分）；②解：原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分，有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板．例4（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（

）A． B．3 C． D．【答案】B【难度】0.4【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果．【详解】解：∵，，∴，∴，，∵，∴原式．【变式1】中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元．附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表国家GDP总量（单位：万亿美元）国家GDP总量（单位：万亿美元）德国4.59巴西2.33印度3.93俄罗斯2.05英国3.49韩国1.76法国3.13瑞士0.93预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算：2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（

）A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国【答案】B【难度】0.94【分析】本题考查了有理数的运算，计算2025年中国GDP的增长量即可求解；【详解】解：2025年中国GDP的增长量为：万亿美元．∴瑞士的GDP总量万亿美元与增长量万亿美元最接近；故选：B【变式2】（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________．【答案】【难度】0.85【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．根据新定义运算的规则计算即可．【详解】解：．故答案为：．【变式3】计算：．【答案】【难度】0.85【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式．【变式4】计算：；【答案】4【难度】0.85【详解】（1）解：；【变式5】【变式2】（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________．【答案】【难度】0.65【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键．【详解】解：将，，代入上式：故答案为：．题型03无理数的估算解｜题｜策｜略·无理数的估算方法：确定二次根式在哪两个整数之间(1)先对无理数平方；(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；(3)对两个整数开方即可例1估计的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】C【难度】0.85【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴的值在3和4之间；故选C．【变式1】满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）．【答案】3（答案不唯一）【难度】0.85【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答．【详解】解：∵，∴，∵，∴整数可以是，故答案为：3（答案不唯一）【变式2】阅读理解：同学们，我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法．例如求的近似值．因为，所以，则可以设成以下两种形式：①，其中；②，其中．小明以①的形式求的近似值的过程如图．因为，所以，即．因为比较小，将忽略不计，所以，即，得，故．尝试探究：（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．比较分析：（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析【难度】0.85【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则；（2）可求出，据此可得结论．【详解】解：（1）设，其中，∴，∴，∵比较小，将忽略不计，∴，∴，∴；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；∵，，∴，∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．题型04代数式求值解｜题｜策｜略在代数推理中运用整体思想(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值；(2)整体代入法：先观察已知条件和所求代数式的关系；再利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将所求代数式或已知代数式进行变形，使它们成倍数关系；最后把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值例1已知，则代数式的值为_______．【答案】3【难度】0.85【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键．将化为，再整体代入求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：3．例2（2026·广东深圳·一模）已知：，，则__________．【答案】【难度】0.65【分析】根据幂的乘方将转化为，再根据同底数幂的除法的逆运算将转化为，再代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，∴．【变式1】（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是______．【答案】1【难度】0.85【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将变形为，再将变形为，然后整体代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：1．【变式2】（2026·重庆·模拟预测）已知，则__________．【答案】27【难度】0.4【分析】本题可利用已知条件将所求代数式中的高次项逐步降次，通过代入、化简，最终转化为含的形式，再代入计算求解．【详解】解：已知，则，，，对所求代数式进行变形化简：．题型05整式的运算（含因式分解）解｜题｜策｜略·整式化简的一般思路：将原式利用提公因式法、完全平方公式、平方差公式，以及单项式乘多项式法则等计算后，再去括号，合并同类项，即可得到最简结果.①幂的乘除运算；②套乘法公式：平方差公式、完全平方公式；③先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行计算.·因式分解的方法：一提公因式、二套公式、三分组分解因式的一般步骤：（1）先看有无公因式，有公因式的先提取公因式.

确定公因式的方法：①取各项系数的最大公因数作为公因式的系数；

②取各项相同的字母（或多项式因式），再取相同字母（或多项式因式）的最低次幂.

（2）提公因式后（或不需要提公因式时）看多项式的项数：2项可以尝试利用平方差公式；3项可以尝试利用完全平方公式.例1计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可．【详解】解：．故选：D．例2下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.85【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式计算即可．【详解】解：A.，故此选项错误；B.，故此选项错误；C.，故此选项错误；D.，故此选项正确；故选：D．例3因式分解___________【答案】【难度】0.85【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解．【详解】解：，故答案为：．例4先化简，再求值：，其中．【答案】，7【难度】0.85【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键．首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．【详解】解：，当时，原式．【变式1】下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.85【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确，【详解】解：A、，A错误．B、和不是同类二次根式，，B错误．C、，C正确．D、，D错误．故选C【变式2】分解因式：_______．【答案】【难度】0.85【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取7，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：，故答案为：．【变式3】因式分解____________．【答案】【难度】0.85【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．【详解】解：故答案为：【变式4】定义新运算：，则的运算结果是_____．【答案】【难度】0.65【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将和代入公式进行计算．【详解】解：由题意得，；故答案为．题型06数字/图形类规律问题解｜题｜策｜略关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形（数式）的相互联系，探寻其规律例1醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（

）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】B【难度】0.85【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．【详解】解：由所给图形可知，第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个．当时，（个），即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个．故选：B．例2（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.85【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案．【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是，小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9，∴第n个数小数部分是，∴第n个数是，故选：A．例3（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示）【答案】/【难度】0.85【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决．【详解】解：观察发现：第一个图形有个黑色棋子，第二个图形有个黑色棋子，第三个图形有个黑色棋子，…，第n个图形有个黑色棋子，故答案为：．例4（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：．【应用体验】已知，则m的值为________【答案】【难度】0.65【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解．【详解】解：，，，故答案为：．【变式1】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______．【答案】21【难度】0.85【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可．【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，∴则第10个图案中矩形的个数为：，故答案为：21．【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）．【答案】【难度】0.85【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可．【详解】解：第一个图形中有个三角形；第二个图形中有个三角形；第三个图形中有个三角形；第四个图形中有个三角形；；第n个图形中有个三角形．故答案为：【变式3】（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；……如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______．【答案】【难度】0.65【分析】本题考查规律问题，先得到n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域，根据题意可得，然后得到n的最小整数解即可．【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；……画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，∴，即，又∵，，∴至少要画的直线条数是条，故答案为：．题型07分式与分式的化简解｜题｜策｜略·通分——求各个分式的最简公分母(1)系数取最小公倍数；(2)出现的字母或因式取最高次幂·分式化简的一般步骤：(1)因式分解：分子、分母是多项式的，利用提公因式、平方差公式、完全平方公式将可因式分解的分子或分母化成乘积形式，为通分、约分做准备；(2)有括号先去括号：括号内的异分母分式通分为同分母分式，再合并同类项，化为一个分式；(3)进行乘法运算，约分；(4)化为最简分式(或不含括号的整式)；(5)直接代值或通过计算得到未知数的值，再代入计算例1（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____．【答案】【难度】0.85【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围．【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0，因此，解得．故答案为：．例2（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（）A．1 B． C．0 D．【答案】B【难度】0.85【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可．【详解】解：；故选B．例3（2025·山东东营·中考真题）化简____________．【答案】【难度】0.65【分析】本题考查了分式的混合运算．先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可．【详解】解：．故答案为：．例4（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值．【答案】【难度】0.85【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值．【详解】解：原式，∵，∴，∴原式．【变式1】要使分式有意义，字母，须满足（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.94【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母.【详解】∵分式有意义需分母，∴，故选：A．【变式2】先化简，再求值：，其中．【答案】；【难度】0.85【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，正确化简是解题的关键．先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，然后再代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．【变式3】（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小．【答案】【难度】0.65【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出．【详解】解：∵，∵，∴，，，∴，∴．题型08数字问题例1（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．【理解定义】三位数是否为“极差数”？___________．【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析．【难度】0.65【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力．理解定义：根据定义进行验证即可；建模推理：（1）根据“极差数”的定义即可求出答案；（2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证．【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为，∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字，∴三位数不是“极差数”故答案为：不是建模推理：（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，根据题意可得，，故答案为：；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，∵，∴，∴能被11整除，∴任意一个“极差数”都能被11整除．例22025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：．传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：．将二进制数化为三进制数为（）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可．将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数．【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为，对应数值为：∴二进制数对应的十进制数为11．将十进制数11转换为三进制数，采用“除3取余法”：，余数为2；，余数为0；，余数为1．将余数倒序排列，得到三进制数为．故选：A．例3（2025·河北石家庄·三模）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题：(1)计算：________；(2)猜想：________；(3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明；【答案】(1)20(2)20(3)见解析【难度】0.65【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，数式规律问题，理解题意并总结出规律是解题的关键．（1）先算乘法，再算减法即可；（2）根据表格中的数据及（1）中求得的结果总结规律即可；（3）由图表可得，，，然后列得算式并计算即可．【详解】（1）解：，故答案为：20；（2）猜想：，故答案为：20；（3）解：由图表可得，，，则，∴，正确．【变式1】幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．主题探究月历与幻方的奥秘活动一图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______；（注：用含的代数式表示和．）活动二移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______；（4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）．【答案】（1）（2）（3）11，3（4）【难度】0.65【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键：（1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可；（2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可；（3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可；（4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可．【详解】解：（1）由图可知：；故答案为：；（2）由图可知：；故答案为：；（3）由题意，得：，；故答案为：11，3；（4）∵最小的数为，则剩余的数为：，∴，解得：；故答案为：．【变式2】（2025·广西南宁·二模）综合实践问题背景某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据．查阅资料一十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：．查阅资料二根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如：可得：上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法）制作二维码图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白．图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码．请完成下列问题：【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来；【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级；【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作．【答案】（1）见解析；（2）九年级六班；（3），二维码见解析【难度】0.65【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键．（1）根据题意即可填涂出来；（2）根据题意把二进制转化为十进制数，进行有理数运算即可得到答案；（3）根据题意把十进制转化为二进制数的方法即可求解．【详解】解：（1）考场号二进制数10101，对应二维码的五个方格从左到右分别为：黑、白、黑、白、黑，填涂如下：（2）根据图的二维码图形，小张同学所在的年级：，即为九年级；班级：，即为六班；（3）方法一：，方法二：则，补全图：（30分钟限时练）1．（2026·重庆·模拟预测）下列各数中，倒数的绝对值最小的是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】D【难度】0.85【详解】解：四个数倒数的绝对值分别为，，，.∵，∴，∴倒数的绝对值最小的数是2．（2026·山西长治·一模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.85【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同即为同类二次根式．【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式；B．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式；C．，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式；D．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式．3．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握物体的密度质量体积是解题的关键．根据物体的密度公式计算即可．【详