2026中考数学易错专练03 一次函数与反比例函数（7大2026中考数学易错专练陷阱）（学生版+教师版合并）

易错03一次函数与反比例函数目录导航第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分易错典例避坑攻略类题巩固易错01：一次函数定义忽略系数限制条件易错02：一次函数y=kx+b中不理解k、b对图像与性质的影响易错03：反比例函数增减性混淆，忽略“在每个象限内”的前提易错04：函数与不等式结合，不会利用图像确定自变量取值范围易错05：函数应用题忽略自变量的实际取值范围易错06：一次函数与反比例函数图像识别混淆易错07：反比例函数k的几何意义应用错误，面积计算易失误第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力易●错●剖●析易错01一次函数定义忽略系数限制条件易错典例【典例01】（2026·河南周口·一模）若一次函数的图象经过原点，则m的值为（

）A．2 B． C． D．0【错因分析】属于典型的概念理解不完整、定义记忆遗漏，学生往往只记住一次函数的形式，而忽略k≠0这一关键限定条件，对一次函数与常函数的边界认知模糊避坑攻略【技巧点拨】判断一个函数是否为一次函数时，第一步先检查解析式是否符合y=kx+b的结构，第二步严格验证k是否不等于0，遇到含参数的一次函数问题时，必须优先讨论k=0的特殊情况，排除不符合定义的情形后再进行后续计算。【知识链接】一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k和b是常数，并且必须满足k不等于0，这是一次函数的核心判定依据。当b=0时，函数变为y=kx，属于正比例函数，它是特殊的一次函数，同样需要满足k不等于0的条件。若k=0，函数变为y=b，属于常函数，不再具备一次函数的变化特征，不属于一次函数范畴。类题巩固1．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·25八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过原点，则的值为_________．3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则________．易错02一次函数y=kx+b中不理解k、b对图像与性质的影响易错典例【典例02】（2024·25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（

）A．B．C． D．【错因分析】属于认知偏差与逻辑脱节，学生只是机械记忆k、b的作用，不能将参数符号、图像形状、函数增减性、象限位置四者建立联系，遇到根据图像判断参数符号或根据参数符号画图像的题目容易出错。避坑攻略【技巧点拨】牢记“看k定增减、看b定截距、符号定象限”的判断逻辑，做题时先确定k的符号判断增减趋势，再确定b的符号判断与y轴交点位置，两者结合反向推导图像特征，也可以通过简单画图验证结论，避免单纯依靠记忆导致失误。【知识链接】在一次函数y=kx+b中，参数k决定直线的倾斜方向与函数的增减性，k>0时直线从左向右上升，y随x增大而增大，k<0时直线从左向右下降，y随x增大而减小。参数b决定直线与y轴的交点坐标，交点为(0,b)，b>0时交点在y轴正半轴，b<0时交点在y轴负半轴，b=0时直线经过原点。k与b的符号共同决定直线经过的象限，是分析一次函数图像的核心依据。类题巩固1．（2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（

）A．0 B． C． D．22．（2026·贵州遵义·一模）已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（

）A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限3．（2026·安徽芜湖·一模）已知一次函数，且随的增大而减小．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（）A． B． C． D．易错03反比例函数增减性混淆，忽略“在每个象限内”的前提易错典例【典例03】（2026·山西长治·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（

）A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交C．y随x的增大而减小 D．图象经过点【错因分析】概念混淆与范围认知错误，学生容易把“在每个象限内”的限定条件丢掉，直接将反比例函数的增减性推广到全体实数，与一次函数增减性混淆，导致比较函数值大小时出现错误。避坑攻略【技巧点拨】判断反比例函数增减性前，先确定两点是否在同一个象限、同一个双曲线分支上，跨象限的点不能直接用增减性比较，应先根据k的符号判断象限位置，再结合函数值正负进行大小比较。【知识链接】反比例函数的解析式为y=k/x（k≠0），图像是关于原点对称的双曲线。当k>0时，图像分别位于第一、三象限，并且在每个象限内，y值随x值的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，并且在每个象限内，y值随x值的增大而增大。反比例函数的增减性只在同一象限内成立，跨象限不适用。类题巩固1．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（

）A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大2．（2025·青海西宁·一模）若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”号链接）3．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数（m为常数）的图象上，，若，则的值为（

）A．0 B．负数 C．正数 D．非负数易错04函数与不等式结合，不会利用图像确定自变量取值范围易错典例【典例04】（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________．【错因分析】数形结合能力薄弱，只会代数计算不会图像分析，找不到关键的分界点，无法将函数值大小关系转化为图像上下位置关系，导致思路混乱、范围判断错误。避坑攻略【技巧点拨】解题时先求出两个函数的交点坐标，以交点横坐标为界限，将数轴分成不同区间，逐个区间观察哪条函数图像在上方，对应写出满足不等式的x范围，注意区分端点是否包含在取值范围内。【知识链接】函数与不等式的综合问题，本质是比较两个函数值的大小关系。y1>y2表示函数y1的图像在y2图像的上方，y1<y2表示函数y1的图像在y2图像的下方，两个函数图像的交点是取值范围的分界点，结合交点横坐标与图像位置，即可确定自变量x的取值范围。类题巩固1．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______．2．（2025·云南怒江·模拟预测）如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________．3．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为______．易错05函数应用题忽略自变量的实际取值范围易错典例【典例05】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元．(1)求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元；(2)若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？【错因分析】审题不细致，重数学表达式轻实际意义，对实际问题的约束条件不敏感，属于应用场景认知缺失，常常写出解析式就结束，忘记结合题意限制自变量。避坑攻略【技巧点拨】求出解析式后，立即结合题意检查限制条件，如人数、物品数量为正整数，长度、时间为非负数，再把实际要求转化为x≥0、x>0、x为整数等数学形式，完整写出解析式与取值范围。【知识链接】用一次函数或反比例函数解决实际问题时，不仅要正确求出函数解析式，还要根据实际背景确定自变量的取值范围。实际问题中的长度、数量、时间、面积、价格等都具有非负限制，部分量还要求为正整数，取值范围是解析式不可或缺的组成部分。类题巩固1．（2026·河北邢台·一模）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2026·安徽合肥·一模）一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件．(1)求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式；(2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？3．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为；(1)求与的函数关系式；(2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由．易错06一次函数与反比例函数图像识别混淆易错典例【典例06】（2025·山东济南·模拟预测）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（

）A． B． C． D．【错因分析】图像特征记忆模糊，对两类函数的本质区别理解不深，在综合题中容易混淆参数意义，误将一次函数的k的性质套用到反比例函数上，导致图像判断、符号分析错误。避坑攻略【技巧点拨】先根据图像形状确定函数类型，再根据象限、增减趋势分别判断一次函数k、b和反比例函数k的符号，两类函数的参数分开分析、互不干扰。【知识链接】一次函数的图像是直线，由k和b共同决定位置与方向；反比例函数的图像是双曲线，关于原点对称，由k的符号决定所在象限。两者的图像形状、参数意义、变化规律完全不同，综合题中需要分开判断各自参数符号。类题巩固1．（2025·安徽安庆·一模）若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·山东济南·模拟预测）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（

）A． B．C． D．3．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（

）A． B． C． D．易错07反比例函数k的几何意义应用错误，面积计算易失误易错典例【典例07】（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（

）A． B．1 C． D．2【错因分析】对k的几何意义理解不牢固，计算面积时忘记加绝对值，或者混淆矩形与三角形的面积公式，容易出现漏除以2、符号判断错误等问题。避坑攻略【技巧点拨】看到反比例函数与面积结合的题目，直接套用面积公式，矩形面积用|k|，三角形面积用，先确定面积数值，再根据图像所在象限判断k的正负，保证计算准确。【知识链接】反比例函数中，k具有明确的几何意义，过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，围成的三角形面积等于，面积始终为正数，与k的正负无关。类题巩固1．（2026·安徽合肥·一模）如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______．2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在的图象上，过点P作轴于点B，过点P作轴于点C，点A与点B关于y轴对称，若四边形的面积为12，则k的值为_____．3．（2026·四川达州·一模）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（）A．4 B．5 C．6.5 D．8易●错●闯●关1．（2024·25九年级上·重庆·月考）若关于的函数是一次函数，则的值为（

）A． B． C．1 D．22．（2026·陕西西安·一模）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2025·26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024·25七年级下·江苏宿迁·月考）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（

）A． B． C． D．5．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（

）A． B．C． D．或6．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是____；关于x的不等式的解集是______；当时，x的取值范围是______．7．（2025·26九年级下·江西鹰潭·月考）有一定质量的气体，其密度（单位：）与其体积（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若该气体体积，则密度的取值范围为____．8．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的任意一点，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C是y轴上一动点．，则k的值为__________．9．（2026·吉林辽源·一模）某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．(1)求反比例函数的解析式；(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？10．（2025·26九年级上·陕西西安·期末）小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗．台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图所示．(1)关于的函数表达式为______；当时，______；(2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围．11．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12．(1)求k的值；(2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

易错03一次函数与反比例函数目录导航第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分易错典例避坑攻略类题巩固易错01：一次函数定义忽略系数限制条件易错02：一次函数y=kx+b中不理解k、b对图像与性质的影响易错03：反比例函数增减性混淆，忽略“在每个象限内”的前提易错04：函数与不等式结合，不会利用图像确定自变量取值范围易错05：函数应用题忽略自变量的实际取值范围易错06：一次函数与反比例函数图像识别混淆易错07：反比例函数k的几何意义应用错误，面积计算易失误第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力易●错●剖●析易错01一次函数定义忽略系数限制条件易错典例【典例01】（2026·河南周口·一模）若一次函数的图象经过原点，则m的值为（

）A．2 B． C． D．0【答案】B【详解】解：∵一次函数的图象经过原点∴将代入解析式得解得又∵一次函数的一次项系数不为0∴，即∴．【错因分析】属于典型的概念理解不完整、定义记忆遗漏，学生往往只记住一次函数的形式，而忽略k≠0这一关键限定条件，对一次函数与常函数的边界认知模糊避坑攻略【技巧点拨】判断一个函数是否为一次函数时，第一步先检查解析式是否符合y=kx+b的结构，第二步严格验证k是否不等于0，遇到含参数的一次函数问题时，必须优先讨论k=0的特殊情况，排除不符合定义的情形后再进行后续计算。【知识链接】一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k和b是常数，并且必须满足k不等于0，这是一次函数的核心判定依据。当b=0时，函数变为y=kx，属于正比例函数，它是特殊的一次函数，同样需要满足k不等于0的条件。若k=0，函数变为y=b，属于常函数，不再具备一次函数的变化特征，不属于一次函数范畴。类题巩固1．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】解：由题意，得：，解得：，∴直线解析式为：，∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限；故选C．2．（2024·25八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过原点，则的值为_________．【答案】4【详解】解：∵一次函数的图象经过原点，∴，解得，又∵函数是一次函数，∴，解得，综上，，故答案为：4．3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则________．【答案】或或【详解】解：由题意可知，方程有唯一解，整理得：，且．即，解得或．当时，它是一次函数，存在唯一“不动点”，故答案为：或或．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，新定义，一次函数的定义，对“不动点”的理解是解决本题的关键．易错02一次函数y=kx+b中不理解k、b对图像与性质的影响易错典例【典例02】（2024·25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明．一次函数中，，因此其与轴交点应在y轴负半轴；但图中显示该交点在轴正半轴，两者矛盾．不符合题意；B、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明．此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示完全一致．符合题意；C、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明．此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；但图中显示该交点在轴负半轴，两者矛盾．不符合题意；D、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明．一次函数中，，因此其与轴交点应在y轴负半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示不一致．不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题关键是通过一次函数的斜率（判断增减性）、截距（判断与轴交点位置），分析参数的符号，验证两个函数对应的符号是否一致．【错因分析】属于认知偏差与逻辑脱节，学生只是机械记忆k、b的作用，不能将参数符号、图像形状、函数增减性、象限位置四者建立联系，遇到根据图像判断参数符号或根据参数符号画图像的题目容易出错。避坑攻略【技巧点拨】牢记“看k定增减、看b定截距、符号定象限”的判断逻辑，做题时先确定k的符号判断增减趋势，再确定b的符号判断与y轴交点位置，两者结合反向推导图像特征，也可以通过简单画图验证结论，避免单纯依靠记忆导致失误。【知识链接】在一次函数y=kx+b中，参数k决定直线的倾斜方向与函数的增减性，k>0时直线从左向右上升，y随x增大而增大，k<0时直线从左向右下降，y随x增大而减小。参数b决定直线与y轴的交点坐标，交点为(0,b)，b>0时交点在y轴正半轴，b<0时交点在y轴负半轴，b=0时直线经过原点。k与b的符号共同决定直线经过的象限，是分析一次函数图像的核心依据。类题巩固1．（2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为，∴，又∵，可知增大时减小，∴直线中，随的增大而减小，根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小，∴，解得，∵选项中只有符合条件．2．（2026·贵州遵义·一模）已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（

）A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限【答案】C【详解】解：∵一次函数，函数值y随着自变量x的增大而减小，∴，∴此时一次函数图象经过第二、四象限，又∵一次函数与y轴的交点为，即该一次函数与y轴的交点位于y轴正半轴，∴一次函数图象经过第一、二、四象限．3．（2026·安徽芜湖·一模）已知一次函数，且随的增大而减小．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，∴，A、将代入解析式，得：，解得，符合题意；B、将代入解析式，得：，整理得，等式不成立，不符合题意；C、将代入解析式，得：，解得，不符合的条件，不符合题意；D、将代入解析式，得：，解得，不符合题意．易错03反比例函数增减性混淆，忽略“在每个象限内”的前提易错典例【典例03】（2026·山西长治·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（

）A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交C．y随x的增大而减小 D．图象经过点【答案】A【详解】解：反比例函数为，，反比例函数的图象位于第二、四象限，故A符合题意；反比例函数中，，图象不可能与坐标轴相交，故B不符合题意；，只有在每个象限内，随的增大而增大，故C不符合题意；当时，，图象不经过点，故D不符合题意．【错因分析】概念混淆与范围认知错误，学生容易把“在每个象限内”的限定条件丢掉，直接将反比例函数的增减性推广到全体实数，与一次函数增减性混淆，导致比较函数值大小时出现错误。避坑攻略【技巧点拨】判断反比例函数增减性前，先确定两点是否在同一个象限、同一个双曲线分支上，跨象限的点不能直接用增减性比较，应先根据k的符号判断象限位置，再结合函数值正负进行大小比较。【知识链接】反比例函数的解析式为y=k/x（k≠0），图像是关于原点对称的双曲线。当k>0时，图像分别位于第一、三象限，并且在每个象限内，y值随x值的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，并且在每个象限内，y值随x值的增大而增大。反比例函数的增减性只在同一象限内成立，跨象限不适用。类题巩固1．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（

）A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大【答案】D【详解】解：A、当时，，所以图象经过点，说法正确，不合题意；B、，则图象位于第一、三象限，故说法正确，不合题意；C、反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，不合题意；D、，则图象在每个象限内，随的增大而减小，所以当时，随的增大而减小，故说法错误，符合题意；故选：D．2．（2025·青海西宁·一模）若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”号链接）【答案】【详解】解：∵反比例函数解析式为，，∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，∵点，，在反比例函数的图象上，，∴，故答案为：．3．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数（m为常数）的图象上，，若，则的值为（

）A．0 B．负数 C．正数 D．非负数【答案】B【详解】解：∵，∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵∴或，假设且，则，∴，，∴，同理：当且时，，∴的值为负数．故选：B．易错04函数与不等式结合，不会利用图像确定自变量取值范围易错典例【典例04】（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________．【答案】【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为．【错因分析】数形结合能力薄弱，只会代数计算不会图像分析，找不到关键的分界点，无法将函数值大小关系转化为图像上下位置关系，导致思路混乱、范围判断错误。避坑攻略【技巧点拨】解题时先求出两个函数的交点坐标，以交点横坐标为界限，将数轴分成不同区间，逐个区间观察哪条函数图像在上方，对应写出满足不等式的x范围，注意区分端点是否包含在取值范围内。【知识链接】函数与不等式的综合问题，本质是比较两个函数值的大小关系。y1>y2表示函数y1的图像在y2图像的上方，y1<y2表示函数y1的图像在y2图像的下方，两个函数图像的交点是取值范围的分界点，结合交点横坐标与图像位置，即可确定自变量x的取值范围。类题巩固1．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______．【答案】【详解】解：由图象可知，，经过点，∴，∴，把代入得：，即，∵，∴，解得：．故答案为：．2．（2025·云南怒江·模拟预测）如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________．【答案】【详解】解：将点坐标代入直线，得，从图中直接看出，当时，，故答案为：．3．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为______．【答案】或【详解】解：如图，图象平移后与直线的交点分别记为A、B，令，解得：，∴，，观察图象可知，不等式的解集为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象综合、反比例函数图象的平移，解题关键是正确求出平移后的图象与直线的交点．易错05函数应用题忽略自变量的实际取值范围易错典例【典例05】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元．(1)求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元；(2)若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？【答案】(1)篮球的单价为60元，足球的单价为50元．(2)购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元．【分析】【详解】（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意得：，解得，答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元．（2）设该学校购买足球个，则购买篮球个，根据题意得：，解得的整数．设学校要购买篮球、足球的总费用为元，根据题意得：，，随的增大而减小，且为非负整数，当时，最小，最小值为1050．答：购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元．【错因分析】审题不细致，重数学表达式轻实际意义，对实际问题的约束条件不敏感，属于应用场景认知缺失，常常写出解析式就结束，忘记结合题意限制自变量。避坑攻略【技巧点拨】求出解析式后，立即结合题意检查限制条件，如人数、物品数量为正整数，长度、时间为非负数，再把实际要求转化为x≥0、x>0、x为整数等数学形式，完整写出解析式与取值范围。【知识链接】用一次函数或反比例函数解决实际问题时，不仅要正确求出函数解析式，还要根据实际背景确定自变量的取值范围。实际问题中的长度、数量、时间、面积、价格等都具有非负限制，部分量还要求为正整数，取值范围是解析式不可或缺的组成部分。类题巩固1．（2026·河北邢台·一模）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设反比例函数解析式为，由图象可知，函数图象经过点，∴，∴反比例函数解析式为，∵配制一副度数小于200度的近视眼镜，∴，即，∵，∴．2．（2026·安徽合肥·一模）一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件．(1)求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式；(2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？【答案】(1)(2)至少应安排11名工人去制造乙种零件【详解】（1）解：根据题意，可得；（2）解：由题意，知，即，解得，为整数，最多安排名工人去制造甲种零件，即至少应安排11名工人制造乙种零件．3．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为；(1)求与的函数关系式；(2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由．【答案】(1)(2)够用，见解析【详解】（1）解：热水输出容积为，∴，∴；（2）解：热水够用，理由如下：当时，，解得x=，经检验：x=是原方程的解，∵，∴电热水器中的热水够用．易错06一次函数与反比例函数图像识别混淆易错典例【典例06】（2025·山东济南·模拟预测）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：当时，反比例函数的图象分布在二、四象限，一次函数的图象过一、二、四象限；B符合题意；当时，反比例函数的图象分布在一、三象限，一次函数的图象过一、三、四象限，没有符合题意的图象．【错因分析】图像特征记忆模糊，对两类函数的本质区别理解不深，在综合题中容易混淆参数意义，误将一次函数的k的性质套用到反比例函数上，导致图像判断、符号分析错误。避坑攻略【技巧点拨】先根据图像形状确定函数类型，再根据象限、增减趋势分别判断一次函数k、b和反比例函数k的符号，两类函数的参数分开分析、互不干扰。【知识链接】一次函数的图像是直线，由k和b共同决定位置与方向；反比例函数的图像是双曲线，关于原点对称，由k的符号决定所在象限。两者的图像形状、参数意义、变化规律完全不同，综合题中需要分开判断各自参数符号。类题巩固1．（2025·安徽安庆·一模）若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，解得：，∴一次函数的解析式为，∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确．故选：C．2．（2022·山东济南·模拟预测）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：当时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，只有D选项满足题意．3．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，分两种情况：（1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合．故选D易错07反比例函数k的几何意义应用错误，面积计算易失误易错典例【典例07】（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，∴点A与点C关于原点对称，∴，∵作轴于点，∴，∴的面积．【错因分析】对k的几何意义理解不牢固，计算面积时忘记加绝对值，或者混淆矩形与三角形的面积公式，容易出现漏除以2、符号判断错误等问题。避坑攻略【技巧点拨】看到反比例函数与面积结合的题目，直接套用面积公式，矩形面积用|k|，三角形面积用，先确定面积数值，再根据图像所在象限判断k的正负，保证计算准确。【知识链接】反比例函数中，k具有明确的几何意义，过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，围成的三角形面积等于，面积始终为正数，与k的正负无关。类题巩固1．（2026·安徽合肥·一模）如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______．【答案】【详解】解：过作轴于，过作轴于，则，∴，∴，∵A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，∴，，设，∴，，，，，∴，解得，∴，∵．∴，解得．2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在的图象上，过点P作轴于点B，过点P作轴于点C，点A与点B关于y轴对称，若四边形的面积为12，则k的值为_____．【答案】8【详解】解：∵点A与点B关于y轴对称，∴，∵轴，轴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，即，∵点P在的图象上，∴，∴，∴，即，∵的图象位于第一象限，∴，∴．3．（2026·四川达州·一模）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（）A．4 B．5 C．6.5 D．8【答案】A【详解】解：令点坐标为，点坐标为，∵点恰为的中点，∴点坐标为，即，∴的面积为，∵点在轴上，∴，即，代入上式面积公式得．易●错●闯●关1．（2024·25九年级上·重庆·月考）若关于的函数是一次函数，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】解：根据题意得，且，解得且，所以，．故选：B．2．（2026·陕西西安·一模）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】解：∵点横坐标为，点横坐标为，，∴，即，又∵，说明一次函数随的增大而减小，根据一次函数性质，一次项系数小于，∴，解得，选项中只有A选项，符合要求，因此选A．3．（2025·26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】随的增大而减小，，即．图象与轴的交点在轴下方，当时，，即．的取值范围是且，即．故选：．4．（2024·25七年级下·江苏宿迁·月考）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限；②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限，A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意；B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意；C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；