1.4 条件概率与事件的独立性（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

§1.4条件概率与事件的独立性

一、条件概率

(AB)(AB)/nf(AB)

f(A|B)n

n(B)(B)/nf(B)

n

P(AB)A

PAB.B

P(B)

AB

S(AB)S(AB)/S()P(AB)

P(A|B)

S(B)S(B)/S()P(B)

定义设A、B为两事件,P(B)>0,则

称P(AB)/P(B)为事件B发生的条件下事

P(AB)

PAB.

P(B)

P(AB)

PBA

P(A)

P(A)0

（1）古典概型:可用缩减样本空间法;

（2）其它概型:用定义与有关公式;

条件概率也是概率,故具有概率的性质：

q非负性0P(AB)1

q规范性P(BB)1

q可列可加性

PABPAB

ii

i1i1

qP(B)0

有限可加性

nn

PABPAB

qii

i1i1

qP(AB)P(A|B)1

可减性

q

P(A2A1|B)P(A2|B)P(A1|B),若A1A2

若单调性

A1A2P(A1|B)P(A2|B)

qP(A1A2B)P(A1B)P(A2B)P(A1A2B)

加法公式

P(A1A2B)P(A1B)P(A2B)

半可加性

qP(B)是连续的.

P(AB)1/41

P(A|B)

P(B)3/43

P(AB)

P(A|B)

P(B)

P(A)0.4

P(A|B)0.5

P(B)0.8

二、乘法公式

利用条件概率求积事件的概率即乘法公式

P(AB)P(A)PBA(P(A)0)

P(AB)P(B)PAB(P(B)0)

推广

P(A1A2An)P(A1)PA2A1PAnA1A2An1

(P(A1A2An1)0)

bbcb2c

P(A),P(A|A),P(A|AA),

1br21brc312br2c

b(n1)c

P(A|AAA)1

n112n11

br(n11)c

r

P(A|AAA),

n1112n1

brn1c

rc

P(A|AAA)

n1212n11

br(n11)c

r(n1)c

P(A|AAA)2

n12n1br(n1)c

n1b(i1)cn2r(i1)c

P(A1A2An)

i1br(i1)ci1br(n1i1)c

三、事件的独立性

例5已知袋中有3只红球,2只白球.从袋中有放回地

B表示“第二次取得红球”,求P(B),P(B|A).

解39

P(A)P(B)P(AB),

525

P(BA)P(B)

事件A发生与否对B发生的概率没有影

定义设A,B为两事件，若

P(AB)P(A)P(B)

则称事件A与事件B相互独立

注1.两事件A与B相互独立是相互对称的

注2.若P(A)0,则P(B)P(BA)

若P(B)0,则P(A)P(AB)

注3.若P(A)0,P(B)0

则“事件A与事件B相互独立”和

“事件A与事件B互斥(互不相容)”

不能同时成立(自行证明)

两事件相互独立的性质

性质1.A,B独立A,B

A,BA,B

试证其一A,B独立A,B独立

事实上

P(AB)P(AAB)P(A)P(AB)

P(A)P(A)P(B)

P(A)1P(B)P(A)P(B)

P(AB)1P(A)P(B)

定义三事件A,B,C相互独立,是指下

面

P的(关AB系)式P同(A时)P成(B立)：

P(AC)P(A)P(C)(1)

P(BC)P(B)P(C)

P(ABC)P(A)P(B)P(C)(2)

注1)三事件A,B,C相互独立,要求满足(1)(2)

式,也称A,B,C为相互独立的事件组.

注2)仅满足(1)式时,称A,B,C两两独立,

也称A,B,C为两两独立的事件组.

注3)关系式(1)(2)不能互相推出.

A,B,C相互独立A,B,C两两独立

白、黑色，第四面涂有红、白、黑三种颜色

将四面体向上抛掷一次,观察向下一面出现的

颜色。

A红色

设事件B白色

C黑色

则21

P(A)P(B)P(C)

42

1

P(AB)P(BC)P(AC)

4

1

P(ABC)

4

P(AB)P(A)P(B)

P(BC)P(B)P(C)

P(AC)P(A)P(C)

1

P(ABC)P(A)P(B)P(C)

4

本例说明不能由A,B,C两两独立

A,B,C相互独立

定义n个事件A1,A2,…,An相互独立

是指下面的关系式同时成立

P(AiAj)P(Ai)P(Aj),1ijn

P(AiAjAk)P(Ai)P(Aj)P(Ak),1ijkn

P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)

独立的性质

ˆˆˆˆ

A1,A2,,AnAi

Ai,or,Ai

性质2.若A1,A2,…,An相互独立,则

nn

=-

P(Ai)1ÕP(Ai)

i=1i=1

n

P(A)P(AAA)

i12n

i1

1P(A1A2An)

n

1P(A)

1P(A1A2An)i

i1

例7已知事件A,B,C相互独立,证明事件

A与BC也相互独立

证P((BÈC)A)=P((BÈC)-A)

=P(BÈC)-P(A(BÈC))

P(B)P(C)P(BC)

P(AB)P(AC)P(ABC)

P(A)P(B)P(C)P(BC)

P(A)P(BC)

总结:若n个事件A1,A2,…,An相互独立,将

这n个事件任意分成k组,同一个事件不能同

时属于两个不同的组,则对每组的事件进行求

和、积、差、对立等运算所得到的k个事件

也相互独立.

P(A)0.01,P(B)0.01,P(C)0.00001

P(ABC)0.000000001

例9设每个人的血清中含肝炎病毒的概率

为0.4%,求来自不同地区的100个人的

血清混合液中含有肝炎病毒的概率

解设这100个人的血清混合液中含有肝炎

病毒为事件A,第i个人的血清中含有

肝炎病毒为事件Aii=1,2,…,100

100

则

AAi

i1

100

100

P(A)11P(Ai)1(10.004)0.33

i1

若Bn表示n个人的血清混合液中含有肝

炎病毒，则

n

P(Bn)1(1p),01

n1,2,

limP(Bn)1

n

——不能忽视小概率事件,

小概率事件迟早要发生

例10系统的可靠性问题

一个元件(或系统)能正常工作的概率称为

元件(或系统)的可靠性

系统由元件组成,常见的元件连接方式：

串联

12

1

并联

2

设两系统都是由4个元件组成,每个元件

正常工作的概率为p,每个元件是否正常工

作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，

比较两系统的可靠性.

A1A2

S1:

B1B2

P(S1)P(A1A2)P(B1B2)P(A1A2B1B2)

2p