1.4条件概率（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第一章知识结构图

基本概念与运算

(随机试验,事件,样本空间)

频率与概率

统计定义古典定义公理化定义

条件概率全概率公式与贝叶斯公式

独立性

第四节条件概率

一．条件概率

引例．某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有

100人为疑似病人,有10人为非典病人,其中5人

为由疑似病人转为非典病人。

求:该地区由疑似病人转为非典病人的概率.

解:设事件A:{非典病人}，事件B:{疑似病人}

(1)若求P(A),则此时S{1,2,,10000}

10

显然：P(A)0.1%（千分之一）

10000

这是没有附加条件的概率（无条件概率）

（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p

这是求附加了条件“疑似病人”后的概率，

则此时不妨设S={1,2,…..,100}，由题意可得：

该地区既是疑似病人

5

5又是非典病人的概率

p10000

100100该地区疑似病人的概率

10000

P(AB)

P(AB)

P(B)

某这一是非附典加疫了情条地件区B有的一概万率人，（某有一条阶件段概发率现）有

此题10的0人结为论疑：似该病地人区,有由1疑0人似为病非人典转病为人非,典其病中人5的人概

为由疑似病率人为转5为%非，典要病比人没。有附加条件“疑似病

A:非典人病”人时的概B率:疑大似50病倍人。

提出三个问题：

1.对于一般具有附加条件的概率问题是

否也一定具有引例中的表达形式？

2.由条件概率的概念是否可以得出两个

事件乘积的概率？

3.无条件概率P(A)、条件概率P(AB)

与乘积概率P(AB)的区别是什么？

1.定义：设A,B是两个事件，则称P(AB)为在事件

B发生的条件下事件A发生的条件概率.

P(AB)

记为P(AB)其中P(B)0

注P(B)P(AB)

▲类似可以定义:P(BA),(P(A)0)

P(A)

▲条件概率符合概率定义中的三条公理：

非负性

★对每个事件B,有:P(BA)0

★P(SA)1规范性

★设

B1,B2,是两两互不相容的事件,

则有

P(BA)P(BA)可列可

ii加性

i1i1

2．性质

在第三节中概率的性质1至性质5对条件概率都成立

常用的有：

(1)P(B)0

(2)P(AB)1P(AB)

(3)P(A1A2B)P(A1B)P(A2B)P(A1A2B)

3.条件概率的计算

（1)用定义计算:

P(AB)

P(A|B),P(B)>0

P(B)

（2)在缩减的样本空间中计算:

例如A={掷出2点}，B={掷出偶数点}

掷骰子

1

则:P(AB)在缩减

3样本空

间中A

B发生后的缩减所含样

样本空间所含样本点个

本点总数数

例1．掷两颗骰子,观察出现的点数,设

x1,x2

分别表示第一颗,第二颗骰子的点数,且设:

A(x1,x2)x1x210,B(x1,x2)x1x2

求：P(BA),P(AB)

解：依题意,样本空间为：

S{(1,1),(1,2)(1,6)(2,1),(2,2)

(2,6)(6,1),(6,2)(6,6)}------36种

A{(5,5),(4,6),(6,4)}------3种

B{(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1)

(6,5),(6,4)(6,1)}------15种

方法1:在样本空间S中计算P(B),P(AB)

然后依P(AB)公式计算

1

AB{(6,4)}P(AB),

336

又:15

P(A),P(B)样本空间有

3636S36

个方基法本2:事在件缩;减

P(AB)1的中样有本空个间基本S

从而:P(BA)A3A

和中计算

P(A)3事件S;BB中有15

P(AB)1个基本事件

P(AB)

P(B)15

掷两颗骰子，观察出现的点数，设x1,x2分别表示第

一颗、第二颗骰子的点数，且设：

A(x1,x2)x1x210B(x1,x2)x1x2

二.乘法原理

P(AB)

由条件概率的定义：P(A|B)

P(B)

若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有：

定理1：设P(B)>0或P(A)>0，则:

P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(BA)

注乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：

(1)P(ABC)P(A)P(BA)P(CAB)

其中:P(AB)>0

(2)P(A1A2An)P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)

P(AnA1A2An1)

例2设某种动物由出生算起活到20年以上的概率

为0.8，活到25年以上的概率为0.4.

问：现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上

的概率是多少？

解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}

则所求为P(B|A).A

活到活到

依题意:P(A)=0.8,P(B)=0.420年B25年

以上以上

P(AB)P(B)

P(B|A)

P(A)P(A)

0.4

0.5

0.8

归纳

无条件概率P(A)、条件概率P(A|B)

及P(AB)的区别

★每一个随机试验都是在一定条件下进行的，

若设其样本空间为S

B

ABA

S

随机取一个球，观

例3波里亚罐子模型看颜色后放回罐中，

一个罐子中包含个白球和个并且再加进C个与

br所抽出的球具有相

红球.随机地抽取一个球观看颜色同颜色的球.

后放回罐中，并且再加进c个与

所抽出的球具有相同颜色的球.

这种手续进行四次。

试求：第一、二次取到白球且且

第三、四次取到红球的概率

解:设Wi={第i次取出是白球},

i=1,2,3,4

Rj={第j次取出是红球}，b个白球,r个红球

j=1,2,3,4

于是：W1W2R3R4表示事件：

连续取四个球,第一、第二个

是白球，第三、四个是红球.

用乘法公式容易求出：

b个白球,r个红球

P(W1W2R3R4)

=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)

bbcrrc

brbrcbr2cbr3c

波里亚罐子模型的意义：

按照模型的要求，当每一次抽取后，这时与

取出的球有相同颜色的球的数目得到增加，而

与取出的球的颜色不同的球的数目保持不变。

从效果上看，每一次取出的球是什么颜色就

会增加了下一次也取到这种颜色球的概率。

因此，从中得到了一个如同传染病现象的粗

糙的数学模型。其中，每一次传染后都会增加

了再被传染的概率。

例4.一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容

易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽

签的方法来解决。

入场

券

5张同样的卡片只有一张上写有“入场券”，其余的

什么也没写。现将它们放在一起洗匀,让5个人依次抽

取

问：后抽的人一定比先抽的人吃亏吗?

“大家不必争先恐后，你们一个

一个按次序来，谁抽到‘入场券’

的机会都一样大”。

到底谁说的对呢？请用已学的条件概

率、乘法定理来计算一下,每个人抽

到“入场券”的概率到底有多大?

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大”

设：Ai表示“第i个人抽到入场券”，i＝1,2,3,4,5

则：表示

Ai“第i个人未抽到入场券”

14

显然：P(A),P(A),

1515

由此得出：第1个人抽到入场券的概率是1/5

由于：AAA

212因为若第个人

所以由乘法公式：2

抽到了入场券，

P(A2)P(A1)P(A2|A1)则第1个人肯定

411没抽到。

计算得:P(A)

2545

即：第2个人抽到入场券的概率也是1/5.

同理，第3个人要抽到“入场券”，必

须

第、第个人都没有抽到.由乘法

因此：12公式

P(A)P(AAA)

3123P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

4311

5435

继续做下去就会发现,每个人抽

到“入场券”的概率都是1/5

有关抽签顺序问题的正确解答：

抽签不必争先恐后.

例5．箱子中装有10瓶形状相同的名酒,其中部优

名酒7瓶,国优名酒3瓶,今有三个人从箱子中

随机地取出一些酒来,每人只拿2瓶．

问：恰好第一个人拿到两瓶部优名酒，同时第二

个人拿到部优、国优名酒各一瓶，第三个人

拿到两瓶国优名酒的可能性有多大?

解：设A{第一个拿到两瓶部优名酒}

B{第二个拿到部优、国优名酒各一瓶}

C{第三个拿到两瓶国优名酒}

显然,所求事件的概率为：

P(ABC)P(A)P(BA)P(CAB)

C2

而：710瓶名酒，其中

P(A)20.467

C10部优7瓶，国优3

瓶，第一人拿到

C1C1

53两瓶优名酒同时

P(BA)20.536

C8第二人拿到部优、

2国优名酒各一瓶，

C2

P(CAB)20.067第三个拿到两瓶

C6国优名酒。

故得：P(ABC)0.4670.5360.0670.017

例6．设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破

1

的概率为，若第一次落下时未打破，第二次

27

落下破的概率为,若前两次落下未打破，第

109

三次打破的概率为.

10

试求：透镜落下三次未打破的概率。

解：设“透镜第次落下打破”,

Ai:ii1,2,3

B:“透镜落下三次而未打破”.

解法.因为：所以有：

1BA1A2A3,

P(B)P(A1A2A3)P(A3A1A2)P(A2A1)P(A1)

9713

(1)(1)(1)

10102200

解法2.BAAAAAA,而及

112123A1与A1A2

A1A2A3是两两互斥的事件，故有：

P(B)P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3)

P(A1)P(A2A1)P(A1)

P(A3A1A2)P(A2A1)P(A1)

171971197

(1)(1)(1)

210210102200

1973

P(B)1P(B)1

200200

三.全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复

杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法

公式的综合运用.

综合运用

加法公式乘法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)

A、B互斥P(A)>0

引例有三个箱子分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红

球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红

球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球

求:取得红球的概率.

解：记Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3123

B={取得红球}

注意到：B发生总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生

即：

BA1BA2BA3B运用加法公式

且:A1B、A2B、A3B两两互斥

P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)

P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)

3

｜

P(B)P(Ai)P(BAi)

i1

8

代入数据计算得：P(B)

对求和中的每一项15

运用乘法公式得

将此引例中所用的方法推广到一般的情形

就得到在概率计算中常用的全概率公式.

1．样本空间的划分

定义：设为试验的样本空间，

SEB1,B2,Bn

为E的一组事件,若：

(1)BiBjij,i,j1,2,n

(2)B1B2BnS

则称是样本空间的一个划分,

B1,B2,BnS

或称是一个互斥事件完备组。

B1,B2,Bn

B1

注S的一个划分一要互斥，B2

B

二要充满整个样本空间.3Bn

Bn1

比如：对“掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：

S1,2,3,4,5,6

E的一组事件B11,2,3,B24,5,B36

是S的一个划分或

B1,B2,B3

构成了互斥事件完备组

E的另一组事件C11,2,3,C23,4,C35,6

就不是S的一个划分，或C,C,C

构不成一个互斥事件完备组。123

2.全概率公式

定理2设试验E的样本空间为S,A为E的事件，

为的一个划分，且

B1,B2,,BnSP(Bi)0

i1,2,n,则：

P(A)P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)

n

P(ABn)P(Bn)P(ABi)P(Bi)

i1

称为全概率公式

证明：

AASA(B1B2Bn)

AB1AB2ABn

又

P(Bi)0,i1,2,n,

且

(ABi)(ABj),ij

P(A)P(AB1)P(AB2)P(ABn)

P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)

n

PABPB

(n)(n)P(ABi)P(Bi)

i1

B化整为零

B21

图示A各个击破

Bn

B3

Bn1

注▲全概率公式关键抓住寻找S的一个划分或

寻找一个互斥事件完备组。这里事件Bi

是导致事件A发生的一组原因，而事件A的

出现只能与中之一同时出现。

Bi

▲全概率公式一般用于“用条件概率求非条件概

每一原因都可能导致A发生，故A

率”的问题。即P(A)不易求,但却很容易找到

S的发一生个的划概分率时是用各全原概因率引公起式A比发较生方概便率。

▲从另的一总个和角，度即去为理全解概率全公概式率.公式：

某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A由

原因引起，

Bi则A发生的概率是：

P(ABi)P(Bi)P(ABi)

例7．设甲袋中有3个白球,5个红球,乙袋中有4个

白球,6个红球,现从甲袋中任取一个球放入

乙袋中,再从乙袋中任取一球。甲:

求：从乙袋中取得白球的概率。

乙:

解：设A：从乙袋中取得白球

因为:取球只有两种情况，要么白球要么红球

所以设：

B1:从甲袋中任取一球是白球

B2:从甲袋中任取一球是红球

显然：构成一个互斥事件完备组

B1,B2

即甲:

SB1B2,B1B2

P(A)P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)

534535乙:

0.398

11811888

例8.某工厂有四条流水线生产同一种产品,四条流

水线的产量分别占该产品总产量的15%,20%,

25%,40%,且四条流水线生产产品的次品率

分别是:0.01,0.02,0.03,0.025,

求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率

解：因为抽出的产品只能出自这四条流水线，故设：

A:取出的一件是次品

取出的一件次品恰出自第条流水线

Bi:i

i1,2,3,4

4

显然:S＝B,且BB,

iijij,i,j1,2,3,4

i14

从而：

P(A)P(Bi)P(ABi)

i1

0.150.010.20.020.250.030.40.025

0.023

四条流水线产量(率):15%,20%,25%,40%

四条流水线次品(率):0.01,0.02,0.03,0.025

例9.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击

中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人

击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的

概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落。

求:飞机被击落的概率.

i=0,1,2,3依题意，

解:设B={飞机被击落}

P(B|A1)=0.2,

Ai={飞机被i人击中},

P(B|A2)=0.6,

则P(|)=1

BA0BA1BA2BA3BBA3

由全概率公式：

P(B)P(A0)P(BA0)P(A1)P(BA1)

P(A2)P(BA2)P(A3)P(BA3)

为求P(Ai),设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3

可求得:

P(A1)P(H1H2H3H1H2H3H1H2H3)

P(A2)P(H1H2H3H1H2H3H1H2H3)

P(A3)P(H1H2H3)

将数据代入计算得:

P(A0)P(BA0)0

P(A1)0.36,P(A2)0.41,P(A3)0.14

于是：

P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)

P(A3)P(BA3)

=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458

飞机被击落的概率为0.458

实际中还有下面一类问题：“已知结果求原因”

引例某人从任一箱中任意摸

出一球，发现是红球。

求：该球是取自1号箱的概率

1红4白

或者问:该球取自哪号箱

的可能性最大?123

这一类问题在实际中更为常见，它所求的

是条件概率，是已知某结果发生条件下，

求各原因发生可能性大小.

引例有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个

红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号

箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，从中

任意摸出一球，发现是红球。

求：该球是取自1号箱的概率

?

1红4白

123

某人从任一箱中任意摸出?

一球，发现是红球，求该

球是取自1号箱的概率.

1红4白

记Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;123

B={取得红球}

求:P(A1|B)

P(AB)P(A)P(B|A)

111

P(A1|B)3

P(B)｜

运用全概率公式P(Ak)P(BAk)

计算P(B)k1

将这里得到的公式一般化，就得到：贝叶斯公式

3．贝叶斯公式(逆概公式)

定理3．设试验E的样本空间为S,A为E的事件,

是的一个划分,且

B1,B2BnSP(A)0,P(Bi)0,

P(AB)P(B)

则:ii

P(BiA)n,i1,2n

P(ABj)P(Bj)

j1

称为贝叶斯(Bayes)公式

证明：略.

贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的综

合运用,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想

发展了一整套统计推断的方法，称作为：“贝叶斯统计”

｜

注▲贝叶斯公式P(Ai)P(BAi)

P(Ai|B)n

｜

P(Ai)P(BAi)

j1

在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因

的先验概率和后验概率.

P(Ai)是在没有进一步信息（不知道事件B是否

发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小

贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化

的认识。

当有了新的信息（知道B发生）,人们对诸事件.

发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.

▲贝叶斯公式适用于“用条件概率求条件概率”

例10．在例8中已知任取一件产品是次品

例问8：.某此工次厂品有出四自条哪流条水的线流生水产线同的一可种能产性品大,?四条流

水线的产量P分(B别)占P该(A产B品)总产量P(的B)P(AB)

解：1111

P(1B1515%%A,),2200%%4,,2255%%,4,04%0%且四条流水线生产

产品的次品率分别是P(A)

P(Bj)P(A0.0B1j,)0.02,0.03,0.025,

j10.150.01

求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概0率.065

0.20.020.023

P(BA)0.174

20.023出自第四条