4.1 数学期望（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

第四章随机变量的数字特征

随机变量某一方面的概率特性

都可用数字来描写

q的平均取值数学期望

本r.v.——

qr.v.取值平均偏离均值的情况—方差

章

q描述两r.v.间的某种关系的数

内

——协方差与相关系数

容

q条件期望与条件方差

q特征函数

分布函数能完整地描述r.v.的统

计特性,但实际应用中并不都需要知道

分布函数，而只需知道r.v.的某些特

征.

例如：

判断棉花质量时,既看纤维的平均长度

又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。

平均长度越长,偏离程度越小,质量就越

好;

考察一射手的水平,既要看他的平

均环数是否高,还要看他弹着点的范围

是否小,即数据的波动是否小.

由上面例子看到，与r.v.有关的

某些数值，虽不能完整地描述r.v.但

能清晰地描述r.v.在某些方面的重要

特征,这些数字特征在理论和实践上

都具有重要意义.

§4.1数学期望

一、数学期望的定义

1.离散型r.v.数学期望的定

义

例4－1某一班级有N个学生,进行数学期终考

试,成绩统计如下:

学生成绩

x1x2…xk

得X分的人数N1N2…Nk

PN1/NN2/N…Nk/N

求全班数学的平均成绩.(其中N1+N2+…+Nk=N)

k

x1N1x2N2xkNkNi

xi.

Ni1N

由此可以看出,随机变量的均值是这个随机变量

取得一切可能数值与相应概率乘积的总和,也是以

相应的概率为权重的加权平均.

数学期望的概念源于此

Def.1.设X为离散r.v.其分布为

P(Xxk)pk,k1,2,

若无穷级数绝对收敛则称其和为

xkpk,X

k1

的数学期望，记作E(X),即E(X)xkpk

k1

例2.r.v.X为离散的分布律为

2k1

k1

PX(1)k,k1,2,

k2

求r.v.X的数学期望。

(1)k1

解利用log(1x)xk1

k1k

2k11

k1k1

(1)k(1)log2

k1k2k1k

2k11

k

(1)k

k1k2k1k

所以r.v.X的数学期望不存在。

无穷级数xkpk绝对收敛.

k1

?

数学期望取值，当改变求和顺序

E(X)xkpk

k1

时，不应该发生改变。

例3在有奖销售彩票活动中,每张彩票面值2元,

一千万张设有一等奖20名,奖金20万或红旗轿车；

二等奖1000名,奖金3000元或25寸彩电；三等奖

2000名,奖金1000元或洗衣机；四等奖100万名,

奖金2元,问买一张彩票获奖的数学期望(收益)

是多少？

解设X为获奖的数值,则X的分布律为

X021000300020,0000

P1-100/10002/100001/1000020/10000000

10011/100000

000

EX=200000*20/10000000+3000*1/10000

+1000*2/10000+2*100/1000

=1.1000

例4为普查某种疾病,n个人需验血.验血方

案有如下两种：

(1)分别化验每个人的血,共需化验n次；

(2)分组化验,k个人的血混在一起化验,若

结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则

对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时

k个人的血需化验k+1次.

设每人血液化验呈阳性的概率为p,且

每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪

一方案较经济.

解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.

为简单计,不妨设n是k的倍数，共分成

n/k组.设第i组需化验的次数为Xi,则

Xi1k+1

P1pk11pk

kk

E(Xi)1p(k1)[11p]

(k1)k1pk

n/k

nk

E(X)E(Xi)(k1)k1p

i1k

k1

n1(1p)

k

k1

若(1p)0,则E(X)<n

k

例如,n1000,p0.001,k10,

101

E(X)100010.9991101000.

10

当(1p)k1/k时,选择方案(2)较经济.

例5X~B(n,p),求E(X).

n

解kknk

E(X)kCnp(1p)

k0

n

(n1)!

nppk1(1p)(n1)(k1)

k1(k1)!(nk)!

n

k1k1(n1)(k1)

npCn1p(1p)

k1

00(n1)11(n2)

np{Cn1p(1p)Cn1p(1p)

n1n10

Cn1p(1p)}np

特例若Y~B(1,p),则E(Y)=p

例6设X~参数为p的几何分布，求E(X).

解k1

E(X)kp(1p)pkxk1

k1k1x1p

'

11

k

pxp2

k1(1x)p

x1px1p

例7X~P(),求EX.

k

解

P(Xk)e,k0,1,

k!

kk

E(X)kee

k0k!k1(k1)!

k1

e

k1(k1)!

例8甲乙两个射手的技术统计如下：

甲X8910乙Y8910

P0.30.10.6P0.20.50.3

甲乙两个射手谁的水平高？

EX80.390.1100.69.3

EY80.290.5100.39.1

2、连续型r.v.数学期望

定义设连续r.v.X的p.d.f.为f(x)

若广义积分xf(x)dx

绝对收敛,则称此积分为X的数学期望

记作E(X),即

E(X)xf(x)dx

数学期望的本质——加权平均，它是一个数

不再是r.v.

例9X~N(,2),求EX.

(x)2

12

解EX(x)e2dx

2

(x)2

12

(x)e2dx

2

t2

tx

12

te2dt

2

练习1.X~U(a,b),求EX

2.X~Exp(),求EX.

常见r.v.的数学期望

分布概率分布期望

参数为p的P(X1)p

p

0-1分布P(X0)1p

P(Xk)Ckpk(1p)nk

B(n,p)nnp

k0,1,2,,n

ke

P()P(Xk)

k!

k0,1,2,

分布概率密度期望

1

区间(a,b)上的,axb,ab

f(x)

均匀分布ba

0,其它2

ex,x0,

Exp()f(x)1

0,其它

(x)2

12

N(,2)f(x)e2

2

注意不是所有的r.v.都有数学期望

例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为

1

f(x),x

(1x2)

|x|

但|x|f(x)dxdx发散

(1x2)

它的数学期望不存在!

二、r.v.函数的数学期望

定理1.q设离散r.v.X的概率分布为

P(Xxi)pi,i1,2,

若无穷级数g(xi)pi绝对收敛，则

i1

Eg(X)g(xi)pi

i1

q设连续型r.v.的p.d.f.为f(x),若广义积分

g(x)f(x)dx绝对收敛,则Eg(X)g(x)f(x)dx

注：若g(x)=x,则根据定理1，有EXxipi

i1

EXxf(x)dx

这与定义是一致的。

定理2.q设离散r.v.(X,Y)的概率分布为

P(Xxi,Yyj)pij,i,j1,2,

若级数

g(xi,yj)pij绝对收敛,则

i,j1

Eg(X,Y)g(xi,yj)pij

i,j1

q设连续r.v.(X,Y)的联合p.d.f.为f(x,y),

若广义积分g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛则

,

Eg(X,Y)g(x,y)f(x,y)dxdy

注1：若g(x,y)=x,则根据定理2，有

EXxipijxipiEYyjpijyjpj

i1j1i1i1j1i1

EXxf(x,y)dxdyEYyf(x,y)dxdy

注2：若(X1,X2,…,Xn)的分布函数为F(x1,x2,…,xn),则

Eg(X1,,Xn)g(x1,,xn)dF(x1,,xn)

例10设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求ZX2Y2

的数学期望.

解E(Z)x2y2f(x,y)dxdy

x2y2

1

x2y2e2dxdy

2

xx

xrcosr

dxdydrdrdrd

yrsinyy

r

r2

21

EZre2rdrd

00

22

例11

五个独立元件,寿命分别为X1,X2,,X5,

都服从参数为的指数分布，若将它们

(1)串联；(2)并联

成整机，求整机寿命的均值.

解设整机寿命为Nmin{Xk}

(1)N,k1,2,,5

5

FN(x)1(1Fk(x)),

k1

1e5x,x0

0,其它

5e5x,x0

fN(x)

0,其它

1

即E(N)

N~Exp(5),5

Mmax{Xk}

(2)设整机寿命为k1,2,,5

5(1ex)5,x0

FM(x)Fk(x)

k10,其它

5ex(1ex)4,x0

fM(x)

0,其它

E(M)xf(x)dx

M

5xex(1ex)4dx

0

137

60

E(M)137

6011

1

E(N)5

可见,并联组成整机的平均寿命比串联

组成整机的平均寿命长11倍之多.

例12设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，

求E(max(X,Y)).

x2y2

1

解f(x,y)f(x)f(y)e2

XY2

E(max{X,Y})max{x,y}f(x,y)dxdy

max{x,y}f(x,y)dxdy

D

1D1

max{x,y}f(x,y)dxdyD

D22

x2y2x2y2

11

ye2dxdyxe2dxdy

22

D1D2

x2y2y2x2

11

e2dxye2dye2dyxe2dx

2x2y

x2y2

1121

e2dxye2dyexdx

x

2

其中exdx称为概率积分

222

(exdx)2e(xy)dxdy

22

4e(xy)dxdy

00

222

4e(xy)dxdy42derrdr

0000

1

4

22

2

所以exdx

一般地，若X~N(,2),Y~N(,2),

X,Y相互独立，则

E(max{X,Y})

E(min{X,Y})

三、数学期望的性质

qE(c)=c常数

qE(cX)=cE(X)

qE(X+Y)=E(X)+E(Y)线性性质

nn

EciXiCciE(Xi)C

i1i1

q当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).

反之未必成立，即

若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立

q若存在数a使P(Xa)=1,则E(X)a；

若存在数b使P(Xb)=1,则E(X)b.

证设X连续,p.d.f.为f(x),分布函数为F(x),

则P(Xa)1P(Xa)

1F(a)1F(a)0

F(x)0,xa

f(x)0,xa

故E(X)xf(x)dxaf(x)dx

aaa

例13将4个不同色的球随机放入4个盒子中,每

盒容纳球数无限,求空盒子数的数学期望.

解一设X为空盒子数,则X的概率分布为

X0123

4!11222131

CCPC(CCC)C4

P44344424

4

444444

81

E(X)

64

解二再引入Xi,i=1,2,3,4

1,第i盒空，

Xi

0,其它，

XX1X2X3X4

4

Xi103

44E(Xi)

334

P1

44

4

381

E(X)4

464

例14设二维r.v.(X,Y)的p.d.f.为

1

x(13y2),0x2,0y1

f(x,y)4

0,其它

求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)

解E(X)xf(x,y)dxdy

2114

xxdx(13y2)dy

0403

E(Y)yf(x,y)dxdy

21125

xdxy(13y)dy

0408

由数学期望性质

4547

E(XY)E(X)E(Y)

3824

X,Y独立

455

E(XY)E(X)E(Y)

386

Yy

Ef(x,y)dxdy

Xx

2111515E(Y)

dxy(13y2)dy

0202832E(X)

应用1据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为

0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事

故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内

因事故死亡公司赔偿a元,应如何定a,才能使公司

可期望获益;

若有1000人投保,公司期望总获益多少?

解设Xi表示公司从第i个投保者身上所得

的收益,i=1~1000.则

100100a

Xi~

0.980.02

由题设

E(Xi)1000.98(100a)0.02

1000.02a0

100a5000

公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.

公司期望总收益为

10001000

E(Xi)E(Xi)10000020a.

i1i1

若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望

总获益40000元.

应用2市场上对某种产品每年需求量为X吨，X~

U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，

则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品

多少吨,才能使平均利润最大？

解1

,2000x4000,

fX(x)2000

0,其它

设每年生产y吨的利润为Y

显然，2000<y<4000

3y,yX,

Yg(X)

3X(yX)1,yX

3y,yx,

g(x)

4xy,yx

E(Y)g(x)f(x)dx

X

y140001

(4xy)dx3ydx

20002000y2000

1

(2y214000y8106)

2000

dE(Y)1令

(4y14000)0

dy2000

d2E(Y)4

显然，0

dy22000

故y=3500时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元

应用3设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)~

N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件

的内径X有如下的关系：

1,X10

T20,10X12

5,X12

问平均直径为何值时,销售一个零件的平均利润

最大？

解P(T1)P(X10)(10)

P(T20)P(10X12)

(12)(10)

P(T5)P(X12)1(12)

E(T)(1)(10)

20((12)(10))

(5)(1(12))

25(12)21(10)5

令

dE(T)

21(10)25(12)0

d

(10)2(12)2

11

即21e225e20

22

25125

e22211ln

21221

d2E(T)

可以验证，0,

d2

125

故11ln10.91(mm)时,销售一个

221

零件的平均利润最大.

补充作业

设g(x)是取正值的非减函数,X为连续型r.v.,且

E(g(X))存在，

证明:对任意常数a

E(g(X))

P(Xa)

g(a)

柯西

Augustin-Louis

Cauchy

法国数学家

1789-1857

柯西简介

法国数学家27岁当选法国科学院院士

早在1811年就解决了拉格朗日向他

提出的一个问题：凸多面体的角是否被

它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这

一直是几何学中一个精彩的结果.

在概率论中他给出了有名的柯西分

布.然而他一生中最重要的数学贡献在

另外三个领域：微积分学、复变函数和

微分方程.

在这三个领域中我们常常能见到以柯西

名字命名的定理、公式和方程等:

柯西判别法则;柯西-黎曼方程;

柯西积分定理;柯西积分公式;

柯西不等式;柯西初值问题

柯西在代数学、几何学、误差理论以及

天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色

的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数

学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础.

柯西是一位多产的数学家，一生共发表

论文800余篇，著书7本.《柯西全集》共有

27卷，其中最重要的为：

《分析教程》1821年

《无穷小分析教程概论》1823年

《微积分在几何上的应用》1826