5.1中心极限定理（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第五章知识结构图

概率论的理论结果

大数定律中心极限定理

切比雪贝努利辛钦独立同李雅普棣莫弗

夫大数大数大数

()分布的诺夫中--拉普

定理定理定理中心极心极限拉斯中

限定理定理心极限

定理

第二节中心极限定理

问题的引出

概率论中，已经知道正态分布居于头等重要

的地位，许多随机变量都遵循正态分布。

自从高斯指出测量误差服从正态分布之

后，人们发现，正态分布在自然界中极

为常见。

大量实验观察也表明:高斯

如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造

成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大，

则这种量一般都服从或近似服从正态分布。

是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？

在长达两个世纪内一直成为概率论研究的中心问题。数学家们经过卓越

工作建立了一系列定理，解决了这一问题，并指出:

(1).具有有限方差的一列独立同分布的随机变量的

和经过标准化后是以标准正态分布为极限的.

--------独立同分布的中心极限定理或称为

林德贝尔格----勒维中心极限定理。

当“同分布”为二项分布时就得出该定理的特例，

--------棣莫弗---拉普拉斯定理(二项分布的正态近似)

(2).对“由大量微小的独立的随机因素”（不要求同

分布）引起并累积成的变量，当随机因素个数

趋于无穷时以正态分布为极限。

--------李雅普诺夫中心极限定理。

比如：

一台机床已经调试良好，操作正常。但由于机床

的微小震动、工具的微小变形、原材料质量上的

微小差异、工作操作上的微小偏差等等数不清的

随机因素，它们每一个因素在总的影响中所起的

作用都是微小的。而综合起来在产品质量上就形

成一定的误差，这误差近似服从正态分布。

研究的问题：

研究相互独立随机变量之和所特有的规律性问题。

(1).当n无限增大时，这个和的极限分布是什么？

(2).在什么条件下极限分布将是正态分布？

在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布

这一类定理都叫做中心极限定理。故有：

在一定条件下，大量的随机变量之和的概率分布

以正态分布为极限的定理称为中心极限定理。

中心极限定理的客观背景

在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响：

例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多

随机因素的影响：

瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，

炮弹或炮身结构所引起的误差等等.

所要研究的是：这些随机因素的总影响.

一.独立同分布中心极限定理

（林德贝尔格---勒维(Levy－Lindberg)定理）

定理设随机变量相互独立且服从同

1.X1,X2Xn

一分布，其数学期望与方差

:E(Xk)n

2X

D(Xk),(k1,2),则随机变量之和k

k1

的标准化变量：

Yn

nnnn

XkE(Xk)XknXkn

k1k1k1k1

Yn

nn2n

D(Xk)

k1

的分布函数对于任意满足

Fn(x)x:

n

Xknt2

x1

limF(x)limPk1xe2dt

n

nnn2

证：(略)它要用到特征函数和傅利叶变换等等。

注▲定理1表明:当n充分大时，n个具有期望和

方差的独立同分布的随机变量之和近似服从

标准正态分布。

虽然在一般情况下，很难求出X1+X2+…+Xn

的分布的确切形式，但当n很大时，可以求

出其近似分布。

▲定理1表达了正态分布在概率论中的特殊地位:

尽管X1,X2Xn分布是任意的，但只要n充

n

分大后，其样本平均值1的分布却是近似

Xk

服从正态分布的：nk1

n1n1n

XknXkXkE(X)

k1nk1nk1

Yn

n11

nD(X)

nn

n

即1服从正态分布12

XkN[E(X),(D(X))]

nk1n

2这一结果是数理统计中

或X(,

~Nn)大样本统计推断的基础

二.李雅普诺夫定理

(Liapunov中心极限定理)

定理设随机变量相互独立，它们

2.X1,X2Xn

具有数学期望和方差为：

2

E(Xk)k,D(Xk)k0,k1,2

n

记22若存在正数使得当

Bnk,,n

k1

n

12

2EXkk0

Bnk1

n

则随机变量之和的标准化变量：

XkZn

nk1nnn

XkE(Xk)Xkk

Zk1k1k1k1

nn

Bn

D(Xk)

k1

的分布函数对于任意满足

Fn(x)x:

nn

Xkkt2

x1

limF(x)limPk1k1xe2dt

n

nnB2

n

证明：（略）

注▲定理2表明，当n充分大时，随机变量：

nn

Xkk

k1k1近似服从标准正态分布。

Zn

nBnn

即，近似服从正态分布

XkBnZnk

k1k1

n

2

~N(k,Bn)

k1

▲由此，定理2再次表达了正态分布在概率论中的

特殊地位：无论各个随机变量服从什么分

Xk

布，只要满足定理2的条件，那么它们的和当

n充分大时就近似服从正态分布。

三.棣莫弗---拉普拉斯定理

（DeMoivere—laplace中心极限定理）

定理3.设随机变量n相互独立，且服从参数为

n,p(0p1)的二项分布，则对任意x

恒有:

t2

npx1

limPnxe2dt

nnp(1p)2

证明若随机变量相互独立，且服从

:X1,X2,,Xn

同一分布，则

(0—1)X1X2Xn

服从参数为n,p(0p1)的二项分布

见教材P125

例6的结论

由此是n个相互独立，服从同一(0--1)分布的

nn

之和。即：

X1,X2XnnXk

k1

其中的分布律为：

Xk(k1,2n)

i1i

P(Xki)p(1p)i0,1

E(Xk)p,D(Xk)p(1p)(k1,2n)

由定理1得：n

Xnp

npk

limPnxlimPk1x

nnp(1p)nnp(1p)

t2

x1

e2dt

2

注▲定理3表明：正态分布是二项分布的极限分布，

当n充分大时可以用正态分布来计算二项分

布的概率。

▲在第二章中已介绍当n时，二项分布以

泊松分布为极限分布；而在本章中二项分布又

以正态分布为极限分布。这两者的区别是：

在泊松定理中要求np(为常数)

在中心极限定理中要求np

在实际计算中，如果n很大但np或nq

不大(即p很小或q=1-p很小)，则用泊

松定理去近似；如果n，np或nq都较大，

则用中心极限定理去近似。

例1.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个

则认为这批产品不能接受。

求：应该检查多少个产品，可使次品率为10%的

一批产品不能被接受的概率达到0.9?

解:设n：应检查产品个数，X：其中次品数，则

X~B(n,0.1),np0.1n,npq0.3n

现要求n，使得：P(10Xn)0.9

由P(10Xn)近似服从N(0,1)

定100.1nX0.1nn0.1n

理P()

30.3n0.3n0.3n

100.1nX0.1n由3σ准则，

P(3n)为

0.3n0.3n(3n)1

100.1n100.1n

(3n)()1()

0.3n0.3n

要P(10Xn)0.9

100.1n

只要：1()0.9

0.3n

100.1n

即要：()0.1

0.3n

100.1n

此时由于：()0.5

0.3n

附表2中

必定有：100.1nP309

0

0.3nz0(z)0.5

100.1n

所以要：()0.1

0.3n因为

0.1n10(x)1(x)

只要：1()0.1

0.3n

0.1n10

即()0.9查表得:(1.28)0.9

0.3n

0.1n10

故1.28n146

0.3n

结论：应检查146个产品时，可使这

批产品不被接受的概率为0.9.

例2.计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接

近它的整数来计算。设所有的取数误差是相互

独立的随机变量，并且都在区间[-0.5,0.5]上

服从均匀分布。

求:(1)现有1200个数相加，误差总和的绝对值小于

10的概率。

(2)应有多少个数相加时可使误差总和的绝对值

小于10的概率大于0.9.

解设为各个加数的取数误差

:X1,X2,Xn.

则这是一列独立同分布的随机变量，

n

其所有加数的误差总和为：

Xk

k1

在

Xk(k1,2,n)[0.5，0.5]服从均匀分布

0.50.5[0.5(0.5)]21

E(X)0,D(X)

k2k1212

nn

从而：n

E(Xk)0,D(Xk)

k1k112

n1200

(1)n1200,D(Xk)10

k112

12001200

从而

P(Xk10)P(10Xk10)

k1k1

n

由

Xk0

定100k1100

理P()

10n1010

1

近似服从N(0,1)

Xk

P(1k11)(1)(1)

10

2(1)120.845310.6826

n

n

(2)P(Xk10)

k1X0

100k100

P(k1)

nnn

121212

近似服从N(0,1)

n

Xk

333

P(20k120)2(20)1

nnnn

n2

所以要只要:

P(Xk10)0.9,

k1

33

2(20)10.9(20)0.95

nn

查表得

:(1.65)0.950530.95结论:441个数

相加时可使误

3解得差总和的绝对

201.65:n441值小于10的概

n率大于0.9.

例3.在人寿保险公司里，有16000名同一年龄的人

参加人寿保险。一年里这些人的死亡率为

0.1%；参加保险的人在一年的第一天交付保

险费3元，死亡时家属可以从保险公司领取

2000元。

求:(1).保险公司因开展这项业务获利不少于