5.2 随机变量的收敛性与强大数定律（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

§5.2随机变量的收敛性与强大数定律

一、概率收敛与分布收敛

设随机变量序列{X}

Def.1.nn1与随机变量X

0,limP{|XnX|}0

n

则称随机变量序列{Xn}n1依概率收敛于X，记作

P

XnX

例1.设X,{Xn}均为退化分布的随机变量，且

P(X0)1,P{Xn1/n}1,n1,2,

0,当n1/时,

P{XnX}P{Xn}0

P

XnX

0,x00,x1/n

FX(x),FX(x)

1,x0n1,x1/n

显然当时，

x0limFX(x)FX(x)

nn

而当时，

x0limFX(0)0FX(0)

nn

Def.2.设随机变量序列{Xn}n1与随机变量X

的分布函数分别为

Fn(x),F(x),n1,2,

在F(x)的连续点x处，有limFn(x)F(x)

n

则称{Fn(x)}弱收敛于F(x),记作

W

Fn(x)F(x)

也称以分布收敛于，记作

{Xn}X

LD

XnX或XnX

定理1.设{Xn},{Yn}是两个随机变量序列,a,b为两个

PP

则

常数,Xna,Ynb,

P

(1)XnYnab;

P

(2)XnYnab;

P

(3)Xn/Yna/b,(b0).

PL

定理反之未必成立。

2.XnXXnX;

证明：设x'<x<x",

{Xx'}={Xx',Xnx}∪{Xx',Xn>x}

Í{Xnx}∪{Xx',Xn>x}

F(x')Fn(x)+P{Xx',Xn>x}Fn(x)+P{Xn-X>x-x'}

Fn(x)+P{|Xn–X|>x-x'}

F(x')limFn(x)

n

{Xnx}={Xnx,Xx"}∪{Xnx,X>x"}

Í{Xx"}∪{X>x",Xnx}

Fn(x)F(x")+P{X>x",Xnx}F(x")+P{X-Xn>x"-x}

F(x")+P{|X-Xn|>x"-x}

limFn(x)F(x'')

n

x'<x<x"F(x')limFn(x)limFn(x)F(x'')

nn

例

X-11Xn-11L

XnX,

P1/21/2P1/21/2

不妨设{Xn}与X均独立，则

（Xn，X）(-1,-1)(-1,1)(1,-1)(1,1)

P1/41/41/41/4

Xn-X0-220

P{|XnX|1}1/2

P

不成立.

XnX

PL

定理

3.XncXnc

PL

证明由定理有

.2XncXnc

L0,xc

反之，XcF(x)

n1,xc

P{|Xn-c|}=P{Xnc+}+P{Xnc-}

=1-Fn(c+-0)+Fn(c-)

1-1+0=0

定理4.(连续性定理)分布函数列{Fn(x)}弱收敛于

分布函数{F(x)}的充分必要条件为:

{Fn(x)}的特征函数列n(t)收敛于F(x)的特征函数

(t).

证明：略。

iid

例（辛钦大数定律）

1XiF(x),EXi,i1,2,

nP

则1

Xi

ni1

证明：

设Xi的特征函数为(t),则

1n

Xi的特征函数为

ni1

nn

n

tttit

1io()e

nnn

由上述定理有1nL

Xi

ni1

nP

由定理31

Xi

ni1

例2LP则L

XnX,YncXnYnXc

证明P{Xn+Ynx}=P{Xn+Ynx,|Yn-c|<}+

P{Xn+Ynx,|Yn-c|≥}

P{Xnx-c+,|Yn-c|<}+P{|Yn-c|≥}

P{Xn+Ynx}P{Xnx-c+}+P{|Yn-c|≥}(1)

P{Xn+Ynx}P{Xn+Ynx,|Yn-c|<}

P{Xnx-c-,|Yn-c|<}

P{Xnx-c-}-P{Xnx-c-,|Yn-c|≥}

P{Xn+Ynx}P{Xnx-c-}-P{|Yn-c|≥}(2)

比较（1）（2）得

F(x)F(x)

XnYnXc

L

XnYnXc

LPL

例（）则XYcX

31XnX,Yncnn

LP则L

（2）XnX,YncXn/YnX/c

证明:

二、r阶矩收敛

的阶矩存在，即

定义3、随机变量序列Xn,Xr

rr且

EXn,EX.

r

limEXnX0

n

rth

XX

则称Xn以r阶矩收敛于X，记作n

说明（1）r=1,称为平均收敛；

（2）r=2,称为均方收敛；

sthrth

定理

50rs,XncXnc

rthP

反之未必成立。

定理6XnXXnX,

三、概率1收敛

设随机变量序列{X}

Def.3.nn1与随机变量X

P{limXn()X()}1

n

则称随机变量序列{Xn}n1依概率1收敛于X，记作

a.s.

XnX

注

{:limXn()X()}

n

{:0,N,nN,|Xn()X()|}

{:|Xn()X()|,0}

N1nN

{:|Xn()X()|}

0N1nN

P{limXn()X()}1

n

P(:|Xn()X()|)1

0N1nN

P{(:|Xn()X()|)}0

0N1nN

P{{:|Xn()X()|}}0,0

N1nN

N

P{{:|Xn()X()|}}0,0

nN

概率的上连续性

N

P{max|Xn()X()|}}0,0

nN

四、强大数定律

设X1,X2,…,Xn,…是随机变量序列，若

nnn

1a.s.1a.s.1

(Xii)0,orXii

ni1ni1ni1

称随机变量序列满足强大数定律。

{Xn}

引理1(Borel-CantelliLemma)设{An}为随机事件列，

称为事件列{An}的上

An,limAnAn,

nNnN1nN

N1限事件。

称为事件列{An}的下

An,limAnAn,

nNnN1nN限事件。

N1

limAnÍlimAn,IflimAnlimAn,

nnnn

记称为事件列

limAnlimAnlimAn,{An}

nnn的极限事件。

(1)P(An),PlimAn0;orPlimAn1.

n

n1n

(2)事件列{An}相互独立，则

P(An)PlimAn1;orPlimAn0.

n

n1n

证明(1)

PlimAnPAnPAnP(An)0.

nN1nNnN

nN

“”

PlimAnP