5.2大数定律（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第五章知识结构图

概率论的理论结果

大数定律中心极限定理

切比雪贝努利辛钦独立同李雅普棣莫弗

夫大数大数大数

()分布的诺夫中--拉普

定理定理定理中心极心极限拉斯中

限定理定理心极限

定理

第五章大数定律及中心极限定理

本章主要讨论如下两个问题：极限定理

1.在一定条件下,一列随机变量的算术平均值

（按某种意义）收敛于所希望的平均值的定理称为

“大数定律”

▲大数定律为概率论所存在的基础提供了理论依据

———“概率是频率的稳定值”。

▲大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根

本的性质之一：平均结果的稳定性。

它是随机现象统计规律的具体表现，

也成为数理统计的理论基础。

2.在一定条件下，大量的相互独立的随机变量之和

的概率分布近似于正态分布的定理称为

“中心极限定理”

▲中心极限定理它以严格的数学形式证明了

随机现象另一个最根本的性质之一：

如果一个量是由大量相互独立的随机因素

的影响所造成，而每一个别因素在总影响

中所起的作用不大，则这种量一般都服从

或近似服从正态分布。

它是随机现象统计规律的具体表现，也成为数理统

计的理论基础。而正态分布又是应用最广的分布。

第一节大数定律

大数定律的客观背景

大量的随机现象中平均结果的稳定性：

大量抛掷硬币

正面出现频率生产过程中字母使用频率

的废品率

……

一.切比雪夫大数定律

定理1（切比雪夫大数定律）

设X1,X2,…是相互独立的随机变

量序列，它们都有有限的方差，并且方

差有共同的上界，即D(X)≤K，i=1,

i切比雪夫

2,…，则对任意的0:

1n1n

limP{|XiE(Xi)|}1

n

ni1ni1

注切比雪夫大数定律表明：独立随机变量序列

{Xn算}，术如平果方差有共同的上界，则：

均值数学期望

概率接近于1.

nn

1与其数学期望1的偏差

算术平均值XiE(Xi)

ni1ni1

是很小的，其概率接近于1。即当n充分大时，

1n

取值接近于其数学期望的概率接近于。

Xi1

ni1

亦称为独立

切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述同分布的大

数定律

定理2（切比雪夫大数定律的特殊情况）

设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们具

有相同的数学期望与方差：2

E(Xk),D(Xk)

k1,2,,作前n个随机变量的算术平均值：

1n

XnXk,

nk1

1n

则对任意的有：

XnXk,0

nk1

1n

limPXnlimPXk1

nn

nk1

nn

证明111

:E(Xk)E(Xk)n

nk1nk1n

1n1n11

22

D(Xk)2D(Xk)2n

nk1nk1nn

D(X)

由切比雪夫不等式可得(P(XE(X))

:2

2

1n

n

PXk12

nk1

令：n,并注意到概率1,所以得：

1n

limPXk1

n

nk1

注

▲定理2是定理1中当数学期望和方差给定具

体值时的特殊情况。它表明当n很大时，随机

变量的算术平均值在概率意义

X1,X2,Xn

下接近于数学期望

E(Xk)

其作用：在数理统计中如不知道，则

可用其算术平均值来近似代替

定理2提供

了理论依据

▲称序列依概率收敛于常数

Y1,Y2,Yn,a

指的是：对任意正数

,limP(Yna)1

Pn

记为：Ya

nn

由此，定理的结论可叙述为：序列1

2XnXk

依概率收敛于常数nk1

▲依概率收敛的序列具有如下性质:

PP

设又设函数在点

Xna,Ynb,g(x,y)

(a,b)处连续，则有：

P

g(Xn,Yn)g(a,b)

[证明]:（略）见浙大教材P146页下方的小字体

二.贝努利大数定理

定理3.(贝努利定理)

设随机变量

X1,X2,Xn,

相互独立，且同时服从以p为参数

的(0–1)分布。则对任意正数有：贝努利

n

limPAp1

nn

或p是事件A

n在每次试验

limPAp0

nn中发生的概率

其中:nAX1X2Xn

其中:nXXX

A12nn次独立

p是事件A在每次试验中重复试验

发生的概率。中事件A

证明:服从分布发生的次

Xk(01)数

E(Xk)pk1,2,

n

X

kn

令:k1A则由定理2可得:

nn

nn

limPAlimPAp1

nnnn

注▲定理3表明：当n很大时,事件A发生的频率

n

A接近于事件发生的概率证明了频

nAP(

率的稳定性)。从而当n(试验次数)很大时可

以用事件发生的频率来近似代替事件的概率。

▲亦称事件A发生的频率

依概率收敛于事件A的概率P.

▲贝努里大数定律提供了通过试验

来确定事件概率的方法。

问题定理2，定理3均为独立同分布的大数定律，

并且均要求随机变量的期望与方差都存在。

如果没有随机变量的方差存在的条件，

那么大数定律的结论是否仍成立？

三.辛钦定理

定理4.（辛钦定理）

设相互独立，并且服

X1,X2,Xn

从同一分布，且具有数学期望：

E(Xk)(k1,2)辛钦

则对任意的正数有: