7.3区间估计（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第六章----第八章知识结构图

数理统计

抽样分布统计推断

常用的四个重参数估计正态总体假设检验

统计量要分布

均值的方差的

点估计区间估计

正态总体的检验检验

样本均值与

方差的分布矩

极大均值方差单个两个

估

(重要统计量似然的区的区总体总体

的分布)计估计间估间估

法

法计计

第三节区间估计

问题的引出

在参数的点估计中用样本构造一个估计量ˆ，

用ˆ去估计，这仅仅是解决了一个求未知参数

的一个“近似值”问题，而没有解决“近似值”

的精确程度问题，即没有给出这个近似值的误差范

围和估计的可信程度。

在参数的区间估计中则要用样本去给出未知参

数的一个大致的范围，并使未知参数在其中

有指定的概率。

具体:若估计参数为，要考虑估计量ˆ落在

ˆ的可能性有多大。

即求P(ˆ)?.

若给定了可能的值，则就可以求出它的可能范围

例如：在估计湖中鱼数的问题中，若已知得到鱼数

N的极大似然估计为1000条。而实际上N的

真值可能大于1000条，也可能小于1000条。

则在区间估计中就可以给出一个区间，在

此区间内合理地相信N的真值位于其中。

这样就可对鱼数的估计更有把握.

故所讨论的希望确定一个区间，使得在该区间内

问题是：能以比较高的可靠程度相信它包含未

知参数的真值。

湖中鱼数的真值

[]

而这“可靠程度”是用概率来度量的，

称为置信概率、置信度或置信水平.

习惯上把置信水平记作1,是一个很小的正数。

称该区间为置信区间。

一.置信区间

定义:设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参

数,对于给定的值(01)

若由样本

X1,X2Xn确定的两个统计量：

和

(x1,x2,xn)(x1,x2xn)

满足:P(ˆ)1，则称随机区间

(,)是ˆ的置信度为1的置信区间;

和为置信度为1的双侧置信区间的

置信下限和置信上限.

1称为置信度或置信概率。

注▲定义的含义:

在反复抽样多次(各种得到的样本容量相等，

均为n)，每个样本值确定一个区间(,)，

每个这样的区间要么包含的真值，要么不

包含的真值.按贝努力大数定理可知：

可靠度与精度是一对矛盾，

在这么多的一区般间是中在包保含证可真靠值度的约条占件1下00(1)%

不包含真值的仅占

尽可能10提0高%精度.

▲对置信区间(,)有两个要求：一是要求以

很大的可能被包含在该区间内，即要求：

P{}尽可能大.二是要求估计的精度要

尽可能的高，即要求区间尽可能短。

讨论的问题：给定置信度1，求置信区间.

讨论的对象：正态随机变量情形的区间估计.

二.正态总体均值的区间估计

1.单个正态总体N(,2)情形

设是取自2的样本，2

问题:X1,…XnN(,)X,S

是样本的均值与方差，给定置信度1

求：参数的置信度为1的置信区间.

解:(1).当方差2已知的情形寻找未知参

数的一个良

选的点估计(无偏估计)为X好估计

X

且统计量U~N(0,1)，而且

n

U不依赖于任何未知参数。

现对于给定的置信水平1(大概率)，根据U

的分布，确定一个区间，使得U取值于该区间的

概率为1

故对于给定的置信水平，

按照标准正态分布的

分位点的定义有：

X

P{||u}1

n2

从中解得：

P{XuXu}1

n2n2

于是所求的置信度为1置信区间为：

(Xu,Xu)

n2n2

也可简记为：(Xu)

n2

例1.某实验室测量铝的比重16次，得平均值

X2.705，设总体X~N(,0.0292)

（高斯已证明测量误差是服从正态分布）取统计量：

求:的95%的置信区间.X

解:由已知：195%5%,n

~N(0,1)

查正态分布表得：

uu0.05u0.025

2

2

((u)10.0250.975)

0.025u(10.025)1.96

0.029

得：u1.960.014

n216

从而的95%的置信区间为：

(2.7050.014,2.7050.014)(2.691,2.719)

即用X2.705来估计值的可靠程度达到95%

的区间范围是(2.691,2.719)

(2).方差2未知的情形

2未知，但考虑到样本方差是2的无偏估计，

用s2去代替2得统计量：

X

~t(n1)它是不依赖于任

s何未知参数的.

n

即：X

P{||t(n1)}1

Sn2

从中解得：

SS

P{Xt(n1)Xt(n1)}1

n2n2

于是所求的置信度为1置信区间为：

SS

[Xt(n1),Xt(n1)]

n2n2

例2.确定某种溶液的化学浓度，现任取4个样品，测

得样本均值为X8.34%,样本标准方差为：

s0.03%现溶液的化学浓度近似取统计量：

服从正态分布X

求的置信度为的置信区间s

:95%n

解:由已知：195%5%~t(n1)

查t分布表得：t(n1)t0.025(3)3.1824

s20.03

得：t(n1)3.18240.0477%

n24

从而的95%的置信区间为：

(8.2923%,8.3877%)

两个正态总体22的情形

2.N(1,1),N(2,2)

问题X,X,X是来自第一个总体2

:12nN(1,1)

的样本是来自第二个总体

,Y1,Y2Yn

2的样本它们相互独立，又设

N(2,2),

22

X,Y分别是两个总体的样本均值；s1,s2

分别是两个总体的样本方差。给定置信度为

1

求：两个总体均值差12的置信区间.

解22

:(1).1,2均为已知时

X,Y分别为1,2的无偏估计

是

XY12的无偏估计

又由X,Y的独立性以及已知条件可得：

22

12

X~N(1,),Y~N(2,),故有：

n1n2

22

12

XY~N(12,)

n1n2

XY()

所以得统计量:12~N(0,1)

22

12

n1n2

于是所求12的置信度为1置信区间为:

22

XYz12

()

2n1n2

22均为未知时

(2).1,2

2

同单个总体在方差未知的情形下用s代替2的构思

相同，可以得到当均很大时一般大于

n1,n2(50)

12的一个置信度为1的近似置信区间:

s2s2

XYz12

()

2n1n2

222未知时

(3).12

同单个总体方差未知的情形类似又因222

(12)

得统计量：XY(12)

~t(n1n22)

11

sw

n1n2

于是所求12的置信度为1置信区间为:

11

(XYt(n1n22)sw)

2n1n2

22

其中(n11)s1(n21)s22

sw,swsw

n1n22

例3.分别用金球和铂球测定引力常数(单位:1011m3kg1s2)

设测定值总体为N(,2),,2均为未知.

(1)用金球测定观察值为:

6.683,6.681,6.676,6.678,6.679,6.672

(2)用铂球测定观察值为:

6.661,6.661,6.667,6.667,6.667,6.664

1.分别就(1),(2)两种情况求的置信度为0.9的置信区间

2.若设用金球和用铂球测定时测定值总体的方差相等,

求两个测定值总体均值差的置信度为0.9的置信区间.

40.069

解:1.在(1)中：X6.678,

6取统计量：

1

S1(0.0003)0.00387X

61s

又10.9即：0.1n

~t(n1)

s10.00387

t(n1)t0.1(5)

n262

用6.678作为引力常数的0.估00计38值7的可靠程

度为90%的区间是(6.675，6.628.01)150.003

6

于是所求的置信度为90%置信区间为：

(X0.03,X0.003)(6.675,6.681)

33.32

在(2)中Y6.664

5

1

S(0.00036)0.003

251

又10.9,0.1

s20.003

t(n1)t0.1(4)

2

n52

用6.664作为引力常数的0.估00计3值的可靠

程度为90%的区间是(6.661，62.6.1637)180.0028

2.236

于是所求的置信度为90%置信区间为：

(Y0.028,Y0.0028)(6.661,6.667)

2.两个测定值总体的方差相等但又未知，

现要求12的置信区间，可依公式计算:

XY6.6786.6640.014

t0.1(652)t0.05(9)1.8331

2

11

(61)[(0.0003)](51)[(0.000036)]

s6151

w652

0.00003730.006

11

0.366670.6055

65

于是所求12的置信度为0.9的置信区间为:

11

(XYt(n1n22)sw)

2n1n2

(0.01,0.02)

即用0.014作为12的估计值的可靠程度达到

90%的区间是(0.01,0.02)

注

一般，若12的置信区间包含零，则

可认为这两个总体的均值没有显著差别；

若下限大于零，则可认为1比2大。

三.正态总体方差的区间估计

1.单个正态总体N(,2)的情形

问题:设总体X~N(,2),,2未知。

是总体的一个样本，2是样

X1,X2,XnX

本方差，给定置信度1

求:方差2的置信区间.

解:S2是2的无偏估计，且统计量：

(n1)S2

~2(n1)

2

是不依赖于任何未知参数的。

故对于给定的置信水平，

按照2分布的上分位

点的定义有：

(n1)s2

P{||2(n1)}

22

1

从中解得：

(n1)S2

P{2(n1)2(n1)}1

1222

于是所求2的置信度为1置信区间为：

于是所求2的置信度为1置信区间为：

(n1)s2(n1)s2

(,)

2n2n

(1)1(1)

22

标准差的一个置信度为1的置信区间:

n1sn1s

(,)

22

(n1)(n1)

1

22

例4.求例3中的(1),(2)两种情况下，2的置信度为

(1)用金球测定观察值为:

0.9的置信区间.取统计量：

6.683,6.681,6.676,

解在中

:(1)6.678,6.679,6.672(n1)S2

12

(n1)s2(61)(0.0003)0.0003

61~2(n1)

22

0.1(61)0.05(5)11.071

222

0.1(61)0.95(5)1.145

1

2

2的置信度为0.9的置信区间为:

0.00030.0003

(,)(0.0000271,0.000262)

11.0711.145

(2.71105,2.62104)

用铂球测定观察值为

在(2)中(2):

6.661,6.661,6.667,

(n1)s2取统计量：

6.667,6.667,6.664

1(n1)S2

(51)(0.00036)0.000362

512

22~(n1)

0.1(51)0.05(4)9.488

2

22

0.1(51)0.95(4)0.711

1

2

2的置信度为0.9的置信区间为:

0.0000360.000036

(,)(0.0000038,0.0000506)

9.4880.711

(3.8106,5.06105)

22

2.两个正态总体N(1,1),N(2,2)的情形

问题:来自2的样本

X1,X2XnN(1,1),Y1,Y2Yn

2它们相互独立。

来自N(2,2)的样本，

22

s1,s2;1,2分别是两个总体的样本方差与

样本均值，且样本均值均为未知，给定置信

度

12

1

求：两个总体方差比2的置信区间.

2

解:2解题思路同

ns2

(11)1

2~(n11)单个总体情

1

况类似

2

(n11)s12

2~(n11)

1

2

(n1)s2

22~(n1)

22

且这两个统计量是相互独立的。2

由F分布的定义得统计量:

2

(n11)s1

22

s11

2

1(n11)

22~F(n11,n21)

s2(n21)s2

22是不依赖于任何

22

未知参数的。

(n21)

故对于给定的置信水平，

按照F分布的上

分位点的定义有：

2

s1

2

1

P{2F(n11,n21)}

s22

2

2

1从中解得：

2

s1

2

1

P(F(n11,n21)2F(n11,n21))1

1

2s22

2

2

2

于是所求1的置信度为置信区间为：

21

2

22

s11s11

(2,2)(a,b)

s2F(n11,n21)s2F(n11,n21)

1

22

例在例中若测定值总体的方差分别为2