复变函数补考试题及答案

复变函数补考试题及答案一、选择题（8题，每题3分，共24分）

1.下列哪个函数在复平面上处处解析？

A.f(z)=|z|

B.f(z)=z^2

C.f(z)=sin(z)

D.f(z)=1/z

2.函数f(z)=e^z在z=0处的洛朗级数展开式中，负指数项的系数为？

A.0

B.1

C.-1

D.无穷多个

3.下列哪个区域是单连通区域？

A.|z|<1

B.0<|z|<1

C.z>1

D.|z-1|<1

4.函数f(z)=1/(z-1)在z=2处的留数为？

A.1

B.-1

C.1/2

D.-1/2

5.下列哪个积分等于0？

A.∮|z|dz沿单位圆正向

B.∮zdz沿单位圆正向

C.∮1/zdz沿单位圆正向

D.∮z^2dz沿单位圆正向

6.函数f(z)=z/(z^2+1)的极点个数和阶数分别为？

A.1个，1阶

B.2个，1阶

C.1个，2阶

D.2个，2阶

7.下列哪个函数在z=0处有本性奇点？

A.f(z)=sin(z)

B.f(z)=e^z

C.f(z)=1/z

D.f(z)=tan(z)

8.Cauchy积分定理适用于？

A.任何简单闭曲线

B.只有不经过奇点的简单闭曲线

C.只经过一个奇点的简单闭曲线

D.只有两个奇点的简单闭曲线

二、（一）多项选择题（5题，每题4分，共20分）

1.下列哪些函数在整个复平面上解析？

A.f(z)=z^2

B.f(z)=1/z

C.f(z)=sin(z)

D.f(z)=|z|

2.下列哪些区域是复连通区域？

A.|z|<1

B.0<|z|<1

C.z>1

D.|z-1|<1

3.下列哪些函数在z=0处有极点？

A.f(z)=1/z

B.f(z)=z^2

C.f(z)=1/(z^2+1)

D.f(z)=sin(z)/z

4.下列哪些积分等于0？

A.∮zdz沿单位圆正向

B.∮1/zdz沿单位圆正向

C.∮z^2dz沿单位圆正向

D.∮z^3dz沿单位圆正向

5.下列哪些函数在z=0处有洛朗级数展开式？

A.f(z)=1/z

B.f(z)=1/(z-1)

C.f(z)=e^z

D.f(z)=1/(z^2+1)

（二）判断题（7题，每题2分，共14分）

1.所有解析函数都是全纯函数。

2.所有全纯函数都是解析函数。

3.单连通区域上的解析函数可以表示为单变量实函数的复合。

4.多连通区域上的解析函数可以表示为单变量实函数的复合。

5.留数定理只适用于简单闭曲线。

6.Cauchy积分定理只适用于不经过奇点的简单闭曲线。

7.本性奇点是函数无法展开为洛朗级数的点。

三、（一）填空题（6题，每题3分，共18分）

1.函数f(z)=z^2在z=1处的导数为_______。

2.函数f(z)=1/(z-1)在z=2处的留数为_______。

3.函数f(z)=z/(z^2+1)的极点为_______。

4.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式的前三项为_______。

5.函数f(z)=1/z在z=1处的洛朗级数展开式的前三项为_______。

6.Cauchy积分定理的表述为_______。

（二）计算题（4题，每题6分，共24分）

1.计算积分∮(z^2+1)/(z-1)dz沿单位圆正向。

2.计算积分∮1/(z^2+1)dz沿圆周|z|=2正向。

3.计算函数f(z)=z/(z-1)^2在z=0处的洛朗级数展开式。

4.计算函数f(z)=e^z在z=1处的泰勒级数展开式的前三项。

四、综合题（2题，每题10分，共20分）

1.证明：如果函数f(z)在区域D内解析，且f(z)在D内不为常数，则f(z)在D内处处不等于常数。

2.证明：如果函数f(z)在区域D内解析，且f(z)在D内满足f(z)≠0，则1/f(z)在D内解析。

五、材料分析题（2题，每题14分，共28分）

1.分析函数f(z)=z/(z^2+1)在复平面上的奇点类型，并计算其在各奇点处的留数。

2.分析Cauchy积分定理的条件和意义，并举例说明其应用。

答案部分：

一、选择题

1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.B

7.C

8.B

二、（一）多项选择题

1.A,C

2.B,D

3.A,C,D

4.A,B,C,D

5.A,B,D

（二）判断题

1.√

2.√

3.×

4.×

5.×

6.√

7.√

三、（一）填空题

1.2

2.1

3.z=±i

4.1+z+z^2/2!

5.1-(z-1)+(z-1)^2/2!

6.如果函数f(z)在简单闭曲线C及其内部解析，则∮_Cf(z)dz=0

（二）计算题

1.0

2.2πi

3.1/(z-1)^2-1/(z-1)+1

4.e+(e-1)z+(e-2)z^2/2!

四、综合题

1.证明略

2.证明略

五、材料分析题

1.奇点类型：z=±i为本性奇点。留数：Res(f,i)=-