2024高等代数押题卷（历年真题分类汇编）

2024高等代数押题卷（历年真题分类汇编）一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.设V为n维向量空间，W为V的一个子空间，维数dim(W)=k，则W的任意一组基可以扩展为V的一组基，正确表述为（）A.必须通过极大线性无关组的方法逐步添加k个向量B.任意k个线性无关的向量与W中一个基共同构成V的基C.必须保证新添加的向量与W的基向量组线性无关D.只需在W的基向量上补足n-k个线性无关向量即可2.矩阵A=（a_{ij}）为n阶可逆矩阵，若交换A的第i行与第j行得到矩阵B，则B的伴随矩阵（adjB）与adjA的关系为（）A.adjB=-adjAB.adjB=adjAC.adjB=(-1)^(i+j)adjAD.adjB=(-1)^(n-1)adjA3.设λ为矩阵A的特征值，向量x为对应的特征向量，若A^2x=4Ax，则λ的取值可能为（）A.2或-2B.0或4C.±2或0D.±4或04.多项式f(x)=x^3-3x+1在复数域C上的根的个数为（）A.1个实根+2个共轭虚根B.3个不等实根C.1个重根+2个不等实根D.3个虚根5.设V为实数域R上的线性空间，T为V上的线性变换，若T的核（kerT）维数为2，像（ImT）维数为3，则V的维数为（）A.2B.3C.5D.66.行列式|A|的某一行所有元素乘以常数c后，其值变为（）A.c|A|B.|A|/cC.c^n|A|（n为阶数）D.|A|+c7.若向量组α1=(1,2,3),α2=(0,1,2),α3=(t,3,6)线性相关，则实数t的取值为（）A.t=0B.t=1C.t=2D.t=38.矩阵P=（1,0,0;0,1,0;0,0,0）的秩（rankP）为（）A.0B.1C.2D.39.在线性空间R^4中，向量组β1=(1,1,1,1),β2=(1,1,-1,-1),β3=(1,-1,1,-1),β4=(1,-1,-1,1)的秩为（）A.1B.2C.3D.410.设A为n阶正定矩阵，则下列命题正确的是（）A.A的所有特征值均小于0B.A的行列式|A|>0C.A的伴随矩阵adjA也为正定矩阵D.A的任意子矩阵的行列式均大于0二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.若矩阵A^3=0，则A的任意特征值λ满足______。2.多项式f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1在实数域R上的根的个数为______。3.设向量组α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1)和向量组β1=(1,1,0),β2=(1,0,1),β3=(0,1,1)在R^3中的秩分别为r1和r2，则r1-r2=______。4.若矩阵A=（1,2;3,4）的特征值为λ1和λ2，则λ1+λ2=______。5.设线性空间V的维数为n，子空间W的维数为k，则W的补空间维数为______。6.行列式|A|的某一行元素与其代数余子式乘积之和等于______。三、解答题（共6题，共70分）1.（10分）设向量组α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,6),α4=(1,4,10)。（1）求该向量组的秩；（2）判断该向量组是否线性相关，若线性相关，求出一个线性组合使其等于零向量。2.（10分）已知矩阵A=（1,1,1;1,2,3;1,3,6）。（1）求矩阵A的逆矩阵A^-1（若存在）；（2）若向量β=(1,2,3)，求方程Ax=β的解。3.（10分）设矩阵B=（2,1;1,2）。（1）求矩阵B的特征值和特征向量；（2）将矩阵B对角化，即求可逆矩阵P使P^-1BP为对角矩阵。4.（10分）多项式f(x)=x^3-3x+1在复数域C上的所有根的模长为______。5.（10分）设线性变换T为R^3上的投影变换，即T(x,y,z)=(x,y,0)，求T的核（kerT）和像（ImT）的维数及基。6.（20分）设A为n阶正定矩阵，证明：（1）A的所有特征值均大于0；（2）A的行列式|A|>0；（3）A的任意子矩阵的行列式均大于0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B；基的扩展定理要求新添加的向量与W的基向量组线性无关，但不需要极大线性无关组的方法逐步添加。2.C；交换矩阵两行会改变伴随矩阵的符号，即adjB=(-1)^(i+j)adjA。3.A；A^2x=4Ax可化为(A-4I)x=0，因此λ的可能取值为2或-2。4.A；f(x)在复数域C上必有3个根（含重根），且实系数多项式的虚根成对出现。5.C；由维数定理dim(V)=dim(kerT)+dim(ImT)=2+3=5。6.A；行列式的某一行所有元素乘以常数c，其值也乘以c。7.B；向量组线性相关，则行列式|α1α2α3|=1+0+0-0-6+2t=0，解得t=1。8.B；矩阵P的非零行数为1。9.C；向量组β1,β2,β3线性无关，β4可由β1,β2,β3线性表示，秩为3。10.B；正定矩阵的特征值均大于0，且行列式|A|>0。二、填空题1.0；若A^3=0，则A的特征值λ满足λ^3=0，即λ=0。2.4；f(x)在复数域C上必有4个根（含重根），且为5次单位根。3.1；r1=3（α1,α2,α3线性无关），r2=3（β1,β2,β3线性无关），r1-r2=0。4.5；λ1+λ2=tr(A)=1+4=5。5.n-k；由维数定理dim(V)=dim(W)+dim(W的补空间)。6.|A|；行列式等于某一行元素与其代数余子式乘积之和。三、解答题1.（1）向量组的秩为3，α4可由α1,α2,α3线性表示：|α1α2α3|=1+0+0-0-6+2t=0，解得t=1，此时α4=α1+α2-α3。（2）线性相关，且α4=α1+α2-α3。2.（1）det(A)=1，A^-1=（-1,1,-1;1,-2,1;1,-3,2）。（2）x=(1,0,0)。3.（1）特征值为1,3，特征向量分别为(-1,1)和(-1,1)。（2）P=（-1,1;-1,1）,P^-1BP=（1,0;0