考研数学（数学三）模拟试卷410

考研数学（数学三）模拟试卷410

一、选择题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

1、把当X—>0时的无穷小量a=1n(1+x2)—In(I—x4),p=Jox2tantdt,y=arctanx

一x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

A、a,0,y.

B、y,a,p.

C^a,y,p.

D、Y，p,a.

标准答案：C

知识点解析：我们分别确定当XTO时，a、P、y分别是x的几阶无穷小.当X-0

时a=ln(l+x2)—ln(l-x4)^x2,因为Igl+x2)〜x21n(l-x4)〜-x4=0(x2)

0=ftanrdt=-In|cost||="Incosa:2=-ln[cosx2-1♦1j-1-cos*2-三、

1

""^~2-2

1

又由lim工=lim二:=lim1+彳;-=工Hm,2

M-Ox"Ix"Inx*1nI/川1♦x2

取…31-x21

=^=-3I-*r2-（--[--+---%r2-）=-3

可知当*T。时，>----丁.

这表明当x-0时，a是关于x的2阶无穷小量，B是关于x的4阶无穷小量，而丫

是关于x的3阶无穷小量.按题目的要求，它们应排成a,丫，。的次序.故应选

（C）.

1

设公「丁'/=/0而小则

A、

、

BI2>I1>I.

C、1>I2>I|.

、

D1>I1>I2.

标准答案：B

1=「—Ax.

知识点解析：将1也写成一个定积分J°1r从而为比较11，12,I的大小，

sinjcx2_—>1>®

只要比较三‘病'”的大小.由于当x>0时x>sinx,S，IU''所以只要比

21时，吧与2(p(x)----,xe(o胃)

较当0Vx<2%"的大小.考虑“1T'2,由于

/1T\c，/、xcosx-8inxcosx,nF

“k)=0，9(%)=----2----="-2~(x-tanx)<0,—

23所以(p(x)>0当OVxV2时

成立，于是l2>h>l,故选(B)。

3、设f(x)在[0,l]上连续，又F(x)=)*f|sint|)dt,则

A、F(x+n)>F(x)(xG(一oo,+co)).

B、F(X+TC)<F(X)(XG(一oo,+oo)).

C^F(x+n)=F(x)(x6(一oo,+oo)).

D、x>0时F(X+JC)>F(X),xVO时F(X+TC)VF(X).

标准答案：C

知识点解析：f(|sinx|)是以兀为周期的周期函数，因而有

/[.§in(4+ir)I]=/(Iiinx\)

F(x+ir)=[/(Isinl|)出，.....三f/(|sin(u+IT)|)d(u♦ir)

=f/(|sinu|)du=F(x)

因此选(C).

4、设D是以点A(1,1),B(—1,1),C(一1,一1)为顶点的三角形区

/=+2/+3/sin(xy)+4；dxdy=______

域，则%

A、2.

B、5.

C、8.

D、6.

标准答案:C

知识点解析：D如图所示，连而将D分成D=D1UD2，DJ,D2分别关于x,

y轴对称J1+2/+3八in(xy)对％.y均为奇函数=>

JJ\+24♦3八in(xy)dcr

D

=/yi+2x2+3y2»in(xy)da.J+2x2+3y23in(xy)dcr

0+0=0

。的面积=y-2-2=2.

因此/=，4d<r=4«2=8.

D

选(C).

5、设ni，0，巾，114是齐次方程组Ax=o的基础解系，则下列向量组中也是Ax=O

的基础解系的是

A、中到2,T12一13,—四4，r|4-m-

B、m+n2，川2-113，可3一邛，n4+ni-

c、r)i+r)2»2十巾，0一M，*一ni・

D、与中，「2，2，”4等价的向量组.

标准答案：A

知识点解析：首先可排除(D),因为与中，0，g，n4等价的向量组不必线性无

关，包含向量个数也不必为4.另外3项都给出了Ax=O的4个解，是否构成基础

解系只用看它们是否线性无关，即看秩是否为4.(A)向量组曰+112,碓一巾，巾

100-1

1100

0-110

-1]4»Q4—ni对中，H2»93，"4的表示矩阵为-00-11其行列式的

值为2,因此是可逆矩阵.于是n十抽，0一2，由一阴，阴一巾的秩为4.(B)

向量组r)i+n2，T]2一]]3，阴一%，加+中对ni，n<sub2,r)3，平的表示矩阵为

100-1

1100

0-110

L00-11」其行列式的值为0,因此是不可逆矩阵.中+0，一邛，2

一14,r)4+ni的秩V4.(C)向量组中划2,n2切3,「3一Q4,T]4一中对Hl»

I00-1-

I100

01I0'

小，中的表示矩阵为1°0-I1J其行列式的值为o,

因此也是不可逆矩

阵・口十0，”+邛，书一曲，*一m的秩V4.

6、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是

111'1231I2-

(A)022?(B)222(C)012(D)123

-003--333-■001-•233-

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：(。矩阵的3个特征值都为1,因此如果一个对角矩阵与它相似，则

必须是单位矩阵E,但是对每个可逆矩阵P,P*EP=E,即E只和自己相似，因

此(C)矩阵不相似于对角矩阵。

7、在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射

击三次.设事件八二”考核合格”，B=”最多中靶一次"，C=“射击三次”，已知学员中

靶率为p(O<P<1),则

A、AB与C独立.

B、BC与A独立.

C、AC与B独立.

D、A,B,C相互独立.

标准答案：A

知识点解析：依题意A与R为对立事件,因此AR=0,又BC=B,而不可

能事件与任何事件相互独立，故应选(A).若进一步分析，P(ABC)=O,而P(A),

P(B),P(C),P(AC),P(BC)均不为0,因此(B)、(C)、(D)均不正确.

8、设X|,X2，…，Xn+I是取自正态总体N(0,o2)的简单随机样本，记

B、

C、

D、

标准答案：B

COV（X4tXUI）=covfyr-i--y.

知识点解析：…R由于X1，X2，…，Xn+1相

互独立，当的时,cov(Xj,Xj)=O；当i=j时,cov(Xj,Xj)=o2,

所以COV（耳，冗r）=-J-=名.故选（B）.

1/iX1

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

设/123:

标准答案：(-1户X+1

知识点解析：

设"=红1.则，=/(«0,于是

X+1

¥=¥•半=，(“)・

dxdudx（TTT）="・

10、f-22(3x+l)max(2,x2)dx=.

标准答案：MS

知识点解析：利用奇偶函数在对称区间上的积分性质得

J(3x41)max|2,x2|=3Jxmax|2.x2|dxJmax|2,

=0+2,max|2.«2|dx=2[J^2djf+加回

=2|2&G(8-2&)卜y(2-*々)

11、设函数f(x)可导，且f(0)=0,f(x)=1,f(x)=Jo、nrf(xn-tn)

..F(«)

lim-：-=_______.

dt,则「

1

标准答案：瓦.

知识点解析：由于被积函数中出现积分限中的变量x，所以首先通过变量代换将X

换到积分号之外.令xn—『二u,则

，

F(x)=-/)也=-J；/(L--)山(X--D=-i-f/(u)du

nJo

一。..F(x)..F'(z)».1.:/3)

于是lim--=lim.,=lim

2nQi2n,.0x*

…ox*-o2nx”“--o2n

1/

=—lrim-

2n工7x*2n2n

r♦・e-a-ef

/=1-----------dx=________・

12、积分几4

标准答案：府-2・

,f**e*a.re7•记

1=---dx=/|-/.

G)o&2

4上£j：=2，d，=2fe"*=2•«

J02

2f=2

/2=2J仁-n=-

知识点解析：因此l7f=Kd

001-

5=030

13、已知觉00」矩阵A相似于B.

A*为A的伴随矩阵，则

|A*+3E|=_______.

标准答案：27.

知识点解析：A相似于B,则A*+3E相似于B*+3E,于是

001/4-00-3-

求出-I=-1201/30=0-40

100--1200-

30-3

8•+3E|=0-10=27.

|A*+3E|=|B*+3E|.-1203

/(x)-«<x<+8

14、设随机变量X的密度函数为则Y=-

2x+3服从的分布是________.

标准答案：N(5,2).,

由/(*)=4xe'<M*，)，=——eX竽),可知X~川_],<

6后312

知识点解析：々

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

15、已知f(x),g(x)连续，且满足f(x)=3x2+Jo2g(x)dx,g(x)二一

x3+3x2fo2f(x)dx,求F(x)=f(x)+g(x)的极大值与极小值.

标准答案:对函数g(x)两边作定积分Jo2g(x)dx=J()2(-x3)dx+fo2f(x)dxj()23x2dx=-

4+8Jo2f(x)dx将其代入f(x)中，得f(x)=3x2v+8j02f(x)dx对上式两边作定积分

fo2f(x)dx=fo2(3x2-4)dx+16Jo2f(x)dx=16Jo2f(x)dx从而可知Jo2f(x)dx=0,所以g(x)=

3

-x,f(x)=3x2+J02(—x3)dx=3x2一故F(x尸一X3+3X2—4,F,(X)=-3X2+6X=0,得

驻点x=0,x=2.F"(0)=6>0,F”(2)=—6Vo从而F(x)有极小值F(0)=—4,极大值

F(2)=0.

知识点解析：暂无解析

16、过原点作曲线y=e”的切线L,该切线与曲线Y=。”及Y轴围成平面图形

D.(I)求切线L的方程.(口)求D绕y轴隹转一周所得旋转体体积V.

标准答案：(I)设切线的切点为(xo,yo)，则切线的斜率为y'(xo)=2所以切线L

的方程为‘“丁*其中yo=,因L过(0,0)点，把x=0,y=0代入

1THT««

上述方程得彳与=为=即x0=2,y0=e因此所求切线L的方程为

y=e♦-e(x-2)BPy=.

22(11)平面图形口如右图.

1

积分变量为y.设“=了"'产。，y轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积

2T，

匕=-x-eirZ=jre.y-C

为Vi，它是锥体，33(xG[O,2])即x=21ny(yE[l,e]),

y=e,y轴所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为V2，则丫=丫1一丫2，

22

V2=ir|^(2ln/)dy=4ir[ylnyI1-J7,21ny•-ydyj

=41rle-2Jinydy]=4”[e-2ylny|J+1Jdy]

=4宣[e-2e+2(e-l)]="(e-2)因此丫二VI—V2=8兀一行.’

知识点解析：暂无解析

17、计算二重积分I=/(x+y)do,其中D为x2+y2=l,x?+y2=2x所围中间一块区

域.

nITyda=0,1==2,xd。，

标准答案：D如图，关于X轴对称2于是％%其中

Di=Dn{y>0).在Oxy直角坐标系中先x后y的积分顺序(不必分块)

块)=

Wr八-十

其中，两圆周的交点是佶，外于是

I=2”/；(-375二7)打

-亨.2(1]一ydy

-哆+2(1_・JL+_L.J_・6)(定积分的几何意义)

2\23222)

=_—£=三一包

24334

知识点解析：暂无解析

18、设f(X)连续，且满足f(x)=(X—71)2—H(x—t)dt,求f(x).

标准答案：这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，

转化为被积函数不含参变量的情形.令s=x—t得f(x)=(x一兀)2—J/(x—

s)f(s)ds,即f(x)=(x-兀)2-xJ『f(s)ds+J/sf(s)ds.①现把它转化成微分方程向

题.①式两边求导得fix)=2(x一兀)Tjf(s)ds.②又①式中令X=7t得f(7l)=0.再

对②求导得F(x)+f(x)=2.在②中令X=7t得7(兀)=0.于是问题转化为求解初值问

f/+y=2,

题1(，)=0,/(»)=0,其中y=f(x).这是二阶线性常系数方程，显然有常数特

0(”)=-G+2=0.

解y*=2,于是通解为y二Jcosx+C2sinx+2.由卜⑺=-G=0,解得。二2,

C2=0.因此y=f(x)=2cosx+2.

知识点解析：暂无解析

户1.

19、设函数Fn(x)=foxf(t)dt一人/⑴7。0,+8),其中n=L2,3,…为

任意自然数，f(x)为[0,+oo)上正值连续函数.求证：(I)Fn(x)在(0,

.

(n)2>(1+小)收敛：

内,1

+8)存在唯一零点Xn；(

标准答案：(I)Fn(X)在[0,+8)内可导(也就必然连续),又

I上

几(°)=-「却《°，心(；)=广九)出>o,(0二)

Jo/(<)UJJ°故Fn(X)在I”力存在零点，记为

F；(x)=/(>)+77^->0(x€[0,+«)),

Xn，则Fn(Xn)=0.又从而Fn(X)在[0,

+8)单调上升，因此Fn(x)在(0,E)有唯一零点，就是这个Xn.(H)在前面的证明

1v_Lv

0<X<-T,Z~2ZX。

中已得估计式/因一…收敛，由比较原理知”I收敛.又ln(l+Kn)~

.

2>(i+小)

Xn(n->8),故收敛.(HI)方法1。前面已导出

“"八"启'2师焉:2从而对〜。有

又lim[F„(0)♦2x]=♦8,故limF.(x)=+«.

x8T♦9■一♦♦.

Fn(x)=Fn(O)+foFn(t)dt>Fn(0)+2x.

方法2。直接由

几（幻=J&）出点山=-J：点*♦*/（,）♦点］市

7：点…，

同样得limFJx）=4«.

富一♦・

知识点解析：暂无解析

T

20、设囚=（1,3,5,一1）1，a2=（2,7,a,4）,a3=（5,17,一1,7）

T.①若eq,az，a3线性相关，求a.②当a=3时，求与ai，az，。3都正交的非

零向量04.③设a=3,04是与ai，（13都正交的非零向量，证明⑴，。2，㈢，

04可表示任何一个4维向量.

标准答案：①ai，a2，（13线性相关,则r（a”012,as）＜3.（ai，012,aj）=

125'"I25r125

3717012012

-♦—►•

5a-10a-10-2600—2a-6

-147■-0612--000得a=-3.②与ai，a2tas

.Xj3X2+5X3-X4=0,

2x,+7X2+3X3+4X4=0,

XX

都正交的非零向量即齐次方程组l5x1+17x2-3+74=0的非零解，解此方程

135-1135

2734-*0-76

-517-17」L0-260

100

-*0106,

组：1。。1

°解得O4=C（19,一

6,0,1)T»c#0.③只用证明ai，a2，。3，04线性无关，此时对任何4维向量

a,有ai，az，013，04，a线性相关，从而a可以用ai，012，（13，（M线性表示.由

①知，a=3时，aj,。2，口3线性无关，只用证明04不能四，。2，⑵线性表示.用

反证法，如果04能用四，012,a3线性表示，设（X4=ciai+c2a2+C3a3,则（04，

04尸（。4，c1aI+C2tt2+C3a3）=C1（04，ai）+C2（O4»a2）+C3（O4，a3）=0.得04=0,与cu是

非零向量矛盾.

知识点解析：暂无解析

21、已知三元二次型xTz的平方项系数都为0,a=（1,2,一1）丁满足

Aa=2a.①求XTAX的表达式.②求作正交变换x=Qy,把XTAX化为标准二次

型.

0ab'0a6-ir1-2'

①设A=a0c,则条件Aa2a即a0c24,

标准答案:-bc0--bc0北-1-■2得2a

—b=2,a—c=4,b+2c=—*2,解出a=b二2,c二一2.此二次型为4X)X2+4XIX3一

X-2-2

I\E-A-2X2=（人-2/（入+4）.

4X2X3.②先求A特征值-22A于是A的

特征值就是2,2,一4,再求单位正交特征向量组.属于2的特征向量是(A—

-222'-I-I-I

A-2E=2-2-2000

2E)x=0的非零解.-2-2-2--000-得（A—2E）x=0的同

解方程组：XI—X2—X3=0.显然Pl：(1,1,0)T是一个解，设第二个解为02=(1，

一1,c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2,得到属于特征值

2的两个正交的特征向量伙,。2・再把它们单位化:记中：01/|m111=7'’112=02

%，

/||p2ll=6"属丁4的特征向量是(A+4E)x-0的非零解.求出p3=(l，1，

1),是一个解，单位化：记巾邛3/||03||二7""则中，112，2是人的单位正交特征

向量组，特征值依次为2,2,一4.作正交矩阵Q=O]1，碓，[13)，则Q」AQ是

对角矩阵，对角线上的元素为2,2,一4.作正交变换x=Qy,它把f(xi，x2,x3)

化为2y/+2y22-4y32.

知识点解析：暂无解析

22、设甲袋中有2个白球，乙袋中有2个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放

入另一袋，这样交换3次，求中袋中白球数X的数学期望.

标准答案：为求数学期望应先求出甲袋白球数X的概率分布.经过第一次交换

后，甲、乙两袋中都各有一白一红，故我们从第二次交换开始讨论.设Ai={第二

次交换后甲袋有i