八年级因式分解难题附答案及解析

2017年05月21日数学(因式分解难题)2

一.填空题(共10小题)

1.已知x+y=10,xy=16,贝ljx^+xy?的值为.

2.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系

数而分解成2(x-1)(x-9)；另一位同学因看错了常数项分解成2(x

-2)(x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：.

3.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是—.

4.分解因式：4x~-4x-3=.

5.利用因式分解计算：2022+202X196+98?二.

6.AABC三边a,b,ca2+b2+c2=ab+bc-ca,则△ABC的形状是.

7.计算：1—22+32-42+52-62+--1002+1012=.

8.定义运算a*b=(1-a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论：

①2*(-2)=3

②a*b二b*a

③若a+b=0,则(a^a)+(b^b)=2ab

④若aiArb=0,则a=l或b=0.

其中正确结论的序号是—(填上你认为正确的所有结论的序号).

9.如果l+a+a2+a3=0,代数式a+aZ+a'a'+a'+a'+a'+aJ.

10.若多项式x,-6x-b可化为(xia)2-1,则b的值是.

二.解答题(共20小题)

11.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.

12.因式分解:4x2y-4xy+y.

13.因式分解

(1)a3-ab2

(2)(x-y)2+4xy.

14.先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：若n?+2mn+2n之-6n+9=0,求m和n的值.

解:Vm2+2mn+2n2-6n+9=0

/.m2+2mn+n2+n2-6n+9=0

:.(m+n)2+(n-3)2=0

Am+n=0,n-3=0

m=-3,n=3

问题：

(1)若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求x''的值.

(2)已知4ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-

6b+18+|3-c|=0,请问^ABC是怎样形状的三角形？

15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数

为“和谐数”.如4=2?-0。12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这

三个数都是和谐数.

（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连

续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为—.

16.如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形

②以及边长为b的大正方形③的纸片.

b;：

力②③：：

a：.....一,

图1图2

（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你

将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之

间的关系，将多项式a?+3ab+2b2分解因式.

（2）已知小正方形①及大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长

为34,求长方形②的面积.

（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取

一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形〔按原纸张进行无空隙、无重

叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形.

17.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的

硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.

口q口^3□白匚

Hl1-4^•屈3

用2

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；

②由此，你可以得出的一个等式为：.

（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.

①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；

②请你用拼图等方法推出2/+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.

22

18.已知a+b=1,ab=-1,设二a+b,s2=a+b,S3=a'+bl…，s^a'+b"

(1)计算s2；

(2)请阅读下面计算S3的过程：

a+9=aHbja-b2a)-l-(a2b-a2b)

=(fl3+ft2a)+(i3+〃%)—(》％+□%)

=(q2+/N+32+/M-砥b+@

=(a+6X〃+/)-况(a+b).

因为a+b=l,ab=-1,

22

所以S3=a，+bJ(a+b)(a+b)-ab(a+b)=lXs2-(-1)=s2+l=

你读懂了吗？请你先填空完成（2）中S3的计算结果，再用你学到的方

法计算S4.

(3)试写出Sn-2,Sn-1，Sn三者之间的关系式;

(4)根据(3)得出的结论，计算S6.

19.(1)利用因式分解简算：9.82+0.4X9.8+0.04

(2)分解因式：4a(a-1)2-(1-a)

20.阅读材料：若n?-2mn+2n2-8n+16=0,求m、n的值.

解：Vm2-2mn+2n2-8n+16=0,/.(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

/.(m-n)2+(n-4)2=0,(m-n)2=0,(n-4)2=0,/.n=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知x2+2xy+2y2+2y+l=0,求x-y的值.

(2)已知aABC的三边长a、b、c都是正整数，旦满足a2+b2-6a-

8b+25=0,求AABC的最大边c的值.

(3)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,贝ija-b+c=.

21.仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以

及m的值.

解：设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+

(n+3)x+3n

:・n+3=-4

m=3n解得：n=-7,m=-21

.••另一个因式为(x-7),HI的值为-21.

问题：

(1)若二次三项式/-5x+6可分解为(x-2)(x+a),则a=；

(2)若二次三项式2:/+bx-5可分解为(2x-l)(x+5),则b=；

(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2X2+5X-k有一个因

式是(2x-3),求另一个因式以及k的值.

22.分解因式:

(1)2x2-x；

(2)16x2-1；

(3)6xy2-9x2y-y3；

(4)4+12(x-y)+9(x-y)2.

23.已知a,b,c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),

试确定三角形的形状.

24.分解因式

(1)2xl-4x2y2+2y*

(2)2a3-4a2b+2ab2.

25.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分

成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.

(1)图②中的阴影部分的面积为;

(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n)2、(m-n)\mn之间的等量

关系是—•

(3)若x+y=7,xy=10,则(x-y)2=.

(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.

如图③，它表示了—.

(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4nn+3n2.

mn

①②③

26.已知a、b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求2a+b+c的值.

27.已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足

a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,

求：这个长方体的体积.

28.(x2-4x)2-2(/-4x)-15.

29.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:

1+x+x(x+1)+x(x+1)2

=(1+x)[1+x+x(x+1)]

二(1+x)2(1+x)

二(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是—，共应用了一次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)、…+x(x+1)2001,则需应用上述

方法一次，结果是—.

(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)?+…+x(x+1)11(n为正整数).

30.对于多项式X3-5X2+X+10,如果我们把x=2代入此多项式,发现多

项式x3-5X2+X+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x-2)(注：把

x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x-a)),于

是我们可以把多项式写成:x3-5X2+X+10=(x-2)(x2+mx+n),

(1)求式子中m、n的值；

(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3-2x2

-13x-10的因式.

2017年05月21日数学(因式分解难题)2

参考答案及试题解析

一.填空题(共10小题)

1.(2016秋•望谟县期末)已知x+y=10,xy=16,则xj+xy,的值为160.

【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.

【解答】解：・.・x+y=10,xy=16,

Ax2y+xy2=xy(x+y)=10X16=160.

故答案为：160.

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解

题关键.

2.(2016秋•新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位

同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9)；另一位同学因看

错了常数项分解成2(x-2)(x-4),请你将原多项式因式分解正确的

结果写出来：2(x-3)2.

【分析】根据多项式的乘法将2(x-1)(x-9)展开得到二次项、常数

项；将2(x-2)(x-4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式,

再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.

【解答】解:V2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18；

2(x-2)(x-4)=2x?-i2x+16；

工原多项式为2x-12x+18.

2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.

【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分

解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，

但二次项、一次项正确.

3.(2015春•昌邑市期末)若多项式x2+mxH能用完全平方公式分解因

式，则m的值是.±4.

【分析】利用完全平方公式(a+b)2=(a-b)2+4ab.(a-b)2=(a+b)

2-4ab计算即可.

【解答】Vx2+mx+4=(x±2)2,

即x2+mx+4=x2±4x+4,

/.m=±4.

故答案为：±4.

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变

形公式是解题关键.

4.(2015秋•利川市期末)分解因式：4x2-4x-3=(2x-3)(2x+l).

【分析】ax2+bx+c(aWO)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把

二次项系数a分解成两个因数a”a2的积把常数项c分解成两个

因数c“C2的积CJC2,并使ac+a2cl正好是一次项b,则可以直接写成

结果：ax'bx+c=(aix+ci)(a2x+c2),进而得出答案.

【解答】解:4x2-4x-3=(2x-3)(2x+l).

故答案为:(2x-3)(2x+l).

【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解

题关键.

5.(2015春•东阳市期末)利用因式分解计算:2022+202X196+98、

90000.

【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.

【解答】解：原式=2022+2x202x98+982

=(202+98)2

=30()2

=90000.

【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.

6.(2015秋•浮梁县校级期末)AABC三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,

则AABC的形状是等边三角形.

【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2,再化简得(a-b)

2+(a-c)2+(b-c)2=0,得出：a=b=c,即选出答案.

【解答】解:等式a2+b?+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：

2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,

即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,

即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,

解得：a=b=c,

所以，AABC是等边三角形.

故答案为：等边三角形.

【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式

子得a二b二c,由三边相等判定aABC是等边三角形.

7.(2015秋•鄂托克旗校级期末)计算：I2-22+32-42+52-62+--

1002+1012^5151.

【分析】通过观察，原式变为1+(32-22)+(52-42)+(1012-1002),

进一步运用高斯求和公式即可解决.

【解答】解:12-22+32-42+52-62+--1002+1012

=1+(32-22)+(52-42)+(1012-1002)

=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+…+(101+100)

=(1UO1)X1014-2

=5151.

故答案为：5151.

【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解

决问题.

8.(2015秋•乐至县期末)定义运算a*b=(1-a)b,下面给出了关于

这种运算的四个结论：

①2*(-2)=3

②a*b二b*a

③若a+b=0,则(aiAra)+(b^b)=2ab

④若a^b=0,则a=l或b=0.

其中正确结论的序号是③④(填上你认为正确的所有结论的序号).

【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.

【解答】解：①2*(-2)=(1-2)X(-2)=2,本选项错误；

②a*b=(1-a)b,b^a=(1-b)a,故a^b不一定等于b^a,本选

项错误；

③若a+b=0,则(a*a)+(biArb)=(1-a)a+(1-b)b=a-a2+b-b2=

-a2-b2=-2a、2ab,本选项正确；

④若a/b=0,即(1-a)b=0,则a=l或b=0,本选项正确,

其中正确的有③④.

故答案为③④.

【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题

中的新定义是解本题的关键.

9.(2015春•张掖校级期末)如果l+a+a'aJ。,代数式

a+a2+a3+a1+a°+a6+a7+a8=0.

【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.

【解答】解：・・・1+遍+£=0,

.・・a+.a2+,a3+.a4+.a5+.a6+.a7+.a8,

=a(l+a+a2+a3)+a°(l+a+a2+a3),

=0+0,

=0.

故答案是：0.

【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问

题.

10.(2015春・昆山市期末)若多项式x2-6x-b可化为(x+a)2-1,则

b的值是-8.

【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.

【解答】解：Vx2-6x-b=(x-3)2-9-b=(x+a)2-1,

/•a=-3,-9-b=-1,

解得：a=-3,b=-8.

故答案为：-8.

【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.

二.解答题(共20小题)

11.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.

【分析】用平方差公式展开(n+7)2-(n-3)2,看因式中有没有20

即可.

【解答】解:(n+7)2-(n-3)2=(n+7+n-3)(n+7-n+3)=20(n+2),

/.(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.

【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2-b2=(a+b)(a

-b).

12.(2016秋•农安县校级期末)因式分解:4x2y-4xy+y.

【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分

解.

【解答】解:4x2y-4xy+y

=y(4x2-4x+l)

=y(2x-1)2.

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式

有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式

分解要彻底，直到不能分解为止.

13.(2015秋•成都校级期末)因式分解

(1)a3-ab2

(2)(x-y)2+4xy.

【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；

(2)原式利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：(1)原式二a(a2-b2)=a(a+b)(a-b)；

(2)原式二x?-2xy+y"+4xy=x?+2xy+yJ(x+y)2.

【点评】此题考查了提公因式法及公式法的综合运用，熟练掌握因式分

解的方法是解本题的关键.

14.(2015春•甘肃校级期末)先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：若m'+2nm+2r?-6n+9=0,求m和n的值.

解:Vm2+2mn+2n2-6n+9=0

m2+2mn+n2+n2-6n+9=0

/.(m+n)2+(n-3)2=0

；・m+n=0，n-3=0

/.m=-3,n=3

问题：

⑴若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求x''的值.

(2)已知aABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-

6b+18+|3-c|=0,请问AABC是怎样形状的三角形？

【分析】(1)首先把Y+2y2-2xy+4y+4=0,配方得到(x-y)2+(y+2)

=0,再根据非负数的性质得到x=y=-2,代入求得数值即可；

(2)先把a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,配方得到(a-3)2+(b-3)2+|3

-c|=0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.

【角牟答］解：(1)Vx2+2y2-2xy+4y+4=0

Ax2+y2-2xy+yMy+4=0,

/.(x-y)2+(y+2)2=0

x=y=-2

',*xy=(-2)-2^-;

(2)VaW-6a-6b+18+|3-c|=0,

/.a2-6a+9+b2-6b+9+13-c|=0,

.,・(a-3)2+(b-3)2+|3-c>0

/.a=b=c二3

；・三角形ABC是等边三角形.

【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个

非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方

程求得数值解决问题.

15.(2015秋♦太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平

方差，则称这个正整数为“和谐数”.如4=22-12=42*2,20=62-

42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.

(1)36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连

续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？

(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500.

【分析】(1)利用36=102-82；20分=505?-50利说明36是“和谐数”，

2016不是“和谐数”；

(2)设两个连续偶数为2n,2n+2(n为自然数)，则“和谐数”二(2n+2)

2-(2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+l),

然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；

(3)介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22-0M,最

大的为：502-482=196,将它们全部列出不难求出他们的和.

【解答】解：(1)36是“和谐数”，2016不是“和谐数”.理由如下:

36=102-82；2016=5052-5032；

(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(n为自然数)，

*/(2k+2)2-(2k)\(2k+2+2k)(2k+2-2k)

=(4k+2)X2

=4(2k+l),

V4(2k+l)能被4整除，

「・"和谐数”一定是4的倍数；

(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和，

S=(22-02)+(42-22)+(62-42)+…+(502-482)=502=2500.

故答案是：2500.

【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进

行变形，从而达到使计算简化.

16.(2015春♦兴化市校级期末)如图1,有若干张边长为a的小正方形

①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.

力②③

a

图1图2

（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你

将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之

间的关系，将多项式a?+3ab+2b2分解因式.

（2）已知小正方形①及大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长

为34,求长方形②的面积.

（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取

一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重

叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形.

【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直

接画出图形，利用图形分解因式即可；

（2）由长方形②的周长为34,得出a+b=17,由题意可知：小正方形①

及大正方形③的面积之和为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得

ab的值，从而可求得长方形②的面积；

（3）设正方形的边长为（na+mb）,其中（n、m为正整数）由完全平方

公式可知：（na+nib）之二n2a2+2nmab+mb.因为现有三种纸片各8张，

r?W8,n?W8,2mnW8（n>m为正整数）从而可知nW2,mW2,从而可

得出答案.

【解答】解：（1）如图:

abb

折成边为(a+2b)和(a+b)的长方形

/.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)；

(2)・・•长方形②的周长为34,

/.a+b=17.

♦・,小正方形①及大正方形③的面积之和为169,

Aa2+b2=169.

将a+b=17两边同时平方得：(a+b)2=172,整理得：a2+2ab+b2=289,

A2ab=289-169,

/.ab=60.

，长方形②的面积为60.

(3)设正方形的边长为(na+mb),其中(n、m为正整数)

.,•正方形的面积二(na+mb)2=n2a2+2nmab+m232.

♦・,现有三种纸片各8张，

An2^8,n?W8,2mnW8(n、m为正整数)

An^2,m<2.

.♦•共有以下四种情况;

①n=l,m=l,正方形的边长为a+b；

②n=l,m=2,正方形的边长为a+2b；

③n=2,m=l,正方形的边长为2a+b；

④n=2,m=2,正方形的边长为2a+2b.

【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的

关键是灵活运用完全平方公式.

17.（2014秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如

图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;

②由此，你可以得出的一个等式为：a?+2a+l=（a+l）。.

（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.

①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图：

②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b之因式分解的结果，画出你的拼图.

【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公

式；

（2）要能根据等式画出合适的拼图.

【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+l；长方形的面积=（a+1）2；

②a?+2a+l=（a+1）2；

(2)①如图,可推导出(a+b)2=a2+2ab+b2；

②2a2+5ab+2b之二(2a+b)(a+2b).

【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等

式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.

22

18.(2013秋•海淀区校级期末)已知a+b=l,ab=-1,设s尸a+b,s2=a+b,

33nr

s3=a+b,•・・，sn=a+b

(1)计算s2;

(2)请阅读下面计算S3的过程：

a+b3

=(q3+b%)+©3+a2b)_@2a+a2b)

=(p2+i2)n+(dr+b?)b-a&b+@

=(a+bX/+3)—冰"圾

因为a+b=l,ab=-1,

22

所以S3=a'+bJ(a+b)(a+b)-ab(a+b)=1Xs2-(-1)=S2+I=4

你读懂了吗？请你先填空完成（2）中S3的计算结果，再用你学到的方

法计算S4.

（3）试写出Sn-2,Sn-i，Sn三者之间的关系式;

（4）根据（3）得出的结论，计算S6.

【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b,ab的值,

即可推出结论;

（3）根据⑴所推出的结论，即可推出S—+S「尸柞；

（4）根据（3）的结论，即可推出£+b6=S6C+S5=2S4+S3.

222

【解答】解:(1)S2=a+b=(a+b)-2ab=3；

(2),:(a2+b2)(a+b)=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab(a+b),

A3Xl=a3+b3-1,

Aa3+bM,即J$3=4；

222

VS4=(a+b)2-2(ab)=7,

，S尸7；

(3)VS2=3,S3=4,S4=7,

♦・S2+S3=S,”

♦・Sn-2+Sn-尸Sn；

=

(3).Sn-2^Sn-lSn,S?=3,$3=4,S4=7,

.•・S尸4+7=11,

AS6=7+11=18.

【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在

于根据题意推出S2=3,S3=4,S4=7,分析归纳出规律:S-+S…二

19.(2013春•重庆校级期末)(1)利用因式分解简算：9.82+0.4X9.8+0.04

(2)分解因式：4a(a-1)2-(1-a)

【分析】(1)利用完全平方公式因式分解计算即可；

(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可.

【解答】解：(1)原式=9.82+2X0.2*9.8+0.22

=(9.8+0.2)2

=100；

(2)4a(a-1)2-(1-a)

=(a-1)(4a2-4a+l)

二(a-1)(2a-1)2.

【点评】此题考杳因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公

式是解决问题的关键.

20.(2013春•惠山区校级期末)阅读材料:若m?-2mn+2n2-8n+16=0,

求m、n的值.

解:Vm2-2mn+2n2-8n+16=0,:.(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

(m-n)2+(n-4)2=0,/.(m-n)2=0,(n-4)2=0,n=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知x?+2xy+2y”+2y+l=0,求x-y的值.

(2)已知4ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-

8b+25=0,求4ABC的最大边c的值.

(3)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,则a・b+c=7.

【分析】(1)将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，

根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x及y的值，即可求

出x-y的值；

(2)将已知等式25分为9+16,重新结合后，利用完全平方公式化简，

根据两个非负数之和为0,两非负数分别为。求出a及b的值，根据边

长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；

(3)由a-b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新结合后，利用完

全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b

及c的值，进而求出a的值，即可求出a-b+c的值.

【解答】解：(1)Vx2+2xy+2y2+2y+l=0

・•・(x2+2xy+y2)+(y?+2y+l)=0

A(x+y)2+(y+1)2=0

/.x+y=Oy+l=O

解得x=l,y=-1

Ax-y=2；

(2)Va2+b2-6a-8b+25=0

A(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0

.,・(a-3)2+(b-4)2=0

Aa-3=0,b-4=0

解得a=3,b=4

♦・,三角形两边之和〉第三边

Ac<a+b,c<3+4

Ac<7,又c是正整数,

Ac最大为6；

(3)Va-b=4,即a=b+4,代入得：(b+4)b+c2-6c+13=0,

整理得:(b2+4b+4)+(C2-6C+9)=(b+2)2+(c-3)2=0,

Ab+2=0,月.c-3二0,即b=-2,c=3,a=2,

则a-b+c=2-(-2)+3=7.

故答案为：7.

【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完

全平方公式是解本题的关键.

21.(2012秋•温岭市校级期末)仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以

及m的值.

解:设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+

(n+3)x+3n

；・n+3=-4

m=3n解得：n=-7,m=-21

，另一个因式为(x-7),m的值为-21.

问题：

(1)若二次三项式x?-5x+6可分解为(x-2)(x+a),则a=-3；

(2)若二次三项式2x、bx-5可分解为(2x-l)(x+5),则b=9；

(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2X2+5X-k有一个因

式是(2x-3),求另一个因式以及k的值.

【分析】(1)将(x-2)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求

出a的值；

(2)(2x-1)(x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的

值；

(3)设另一个因式为(x+n),得2x?+5x-k=(2x-3)(x+n)=2x2+(2n

-3)x-3n,可知2n-3=5,k=3n,继而求出n和k的值及另一个因式.

【解答】解:(1),:(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a=x2-5x+6,

a-2=-5,

解得：a=-3；

(2),:(2x-1)(x+5)=2X2+9X-5=2x2+bx-5,

Ab=9；

(3)设另一个因式为(x+n),得2x?+5x-k=(2x-3)(x+n)=2x2+(2n

-3)x-3n,

则2n-3=5,k=3n,

解得：n=4,k=12,

故另一个因式为(x+4),k的值为12.

故答案为：(1)-3；(2分)(2)9；(2分)(3)另一个因式是x+4,k=12

(6分).

【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的

理解，同时要掌握因式分解及整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算,

二者是一个式子的不同表现形式.

22.(2012春•郑城县期末)分解因式：

(1)2x2-x；

(2)16x2-1；

(3)6xy2-9x2y-y3；

(4)4+12(x-y)+9(x-y)2.

【分析】(1)直接提取公因式x即可；

(2)利用平方差公式进行因式分解；

(3)先提取公因式-y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;

(4)把(x-y)看作整体，利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：⑴2x2-x=x(2x-1)；

(2)16x2-1=(4x+l)(4x-1)；

(3)6xy2-9x2y-y3,

二-y(9x2-6xy+y2),

=-y(3x-y)2；

(4)4+12(x-y)+9(x-y)2,

=[2+3(x-y)]2,

=(3x-3y+2)I

【点评】本题考查了提公因式法及公式法分解因式，是因式分解的常用

方法，难点在(3),提取公因式-y后，需要继续利用完全平方公式进

行二次因式分解.

23.(2012春•碑林区校级期末)已知a,b,c是三角形的三边，且满足

(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),试确定三角形的形状.

【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.

【解答】解:(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),

:.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,=3a2+3b2+3c2,

a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,

即(a-b)”(b-c)2+(c-a)2=0,

/.a-b=0,b-c=0,c-a=0,

♦・a二b二c9

故4ABC为等边三角形.

【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判

断.关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.

24.(2011秋•北辰区校级期末)分解因式

(1)2x4-4x2y2+2y4

(2)2a3-4a2b+2ab2.

【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；

(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：(1)2x‘-4x2y2+2y”

=2(x4-2x2y2+y4)

=2(x2-y2)2

-2(x+y)2(x-y)1

(2)2a3-4a2b+2ab2

=2a(a2-2ab+b2)

=2a(a-b)2.

【点评】此题考查了提公因式法及公式法的综合运用，提取公因式后利

用公式进行二次分解，注意分解要彻底.

25.(2011秋•苏州期末)图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图

中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方

形.

(1)图②中的阴影部分的面积为(m-n)2；

(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n)之、(m-n)\mn之间的等量

关系是(m+n),-(m-n).

(3)若x+y=7,xy=10,贝1J(x-y)2=9.

(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.

如图③，它表示了(m+n)(2m+n)=Zn?+Bnm+r?.

(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4j)n+3n2.

mn

①②③

【分析】(1)可直接用正方形的面积公式得到.

(2)掌握完全平方公式，并掌握和及差的区别.

(3)此题可参照第(2)题.

(4)可利用各部分面积和二长方形面积列出恒等式.

(5)可参照第(4)题画图.

【解答】解：(1)阴影部分的边长为(m-n),阴影部分的面积为(m-

n))

(2)(m+n)2-(m-n)2=4mn；

(3)(x-y)之二(x+y)2-4xy=72-40=9；

(4)(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2；

(5)答案不唯一：

例如：

【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的

图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变

形.

26.（2009秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求

2a+b+c的值.

【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知

的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口.由a-b=8可得

a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b?+8b+16

正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而

可求得a的值；然后代值运算即可.

【解答】解：因为a-b=8,

所以a=b+8.（1分）

又ab+c2+16=0,

所以（b+8）b+c2+16=0.（2分）

即（b+4）2+c2=0.

又（b+4）220,c2^0,

则b=-4,c=0.（4分）

所以a二4,（5分）

所以2a+b+c=4.（6分）

【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质

以及代数式求值的方法.

27.(2010春•北京期末)已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数

a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,

求：这个长方体的体积.

【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为(a+1)(b+1)

(c+1)-1,就得(1+b)(c+1)(a+1)=2007,由于a、b、c均为正整

数，所以(a+1)、(b+1)、(c+1)也为正整数，而2007只可分解为3X3

X223,可得(a+1)、(b+1)、(c+1)的值分别为3、3、223,所以a、b、

c值为2、2、222.就可求出长方体体积abc了.

【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1-1=2006,

a(1+b)+c(1+b)+ac(1+b)+(1+b)-1=2006,

(1+b)(a+c+ac)+(1+b)=2007,

(1+b)(c+l+a+ac)=2007,

(1+b)(c+1)(a+1)=2007,

2007只能分解为3X3X22