等腰三角形 (3个知识点+8个题型+思维导图+过关测) -2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版-新教材)

等腰三角形

也口内容导航一预习三步曲

VJ

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型翔知识8大核心考点精准练

第二步：记

思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关跳稔拉”小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

8析教材学知识

【知识点1等腰三角形的性质】

性质1；等腰三角形的两个底角相笠（简写成”等边对等角‘‘）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一形.

如图，在ABC中，AB=AC,作底边BC的中线AD,则BD=CD.

在AA8O和ZUC。中，*：AB=AC,BD=CD,AD=ADO：.AABD^AACD（SSS）,

:・/B=NC.这样就证明了“等边对等角”.

由AWO学ZMCO,还可得出=从而AOJBC.这也就证明了等腰三角形相C

底边上的中线AD平分顶角并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分

底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一

【知识点2等腰三角形的判定】

1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形;

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

数学语言：在2148。中，'：NB=/C,・・.A8=AC（等角对等边）.

【知识点3作一个等腰三角形】

尺规作图：已知等腰三角形的底边长为4,底边上高的长为〃（如图），求作这个等腰三角形.

M

(2)

作法：如图(2)

①作线段人8=4；②作线段人8的垂直平分线MM与人8相交于点。；③在MN上取一点C,{JDC=h；

④连接AC,BC,则ZUBC就是所求作的等腰三角形.

8练题型强知识

【题型1利用等边对等角直接求角度】

【例1】如图，在等腰△48c中，AB=AC,4BC的先平分线.若，8/1C=40°,则匕BEC的度数为()

【答案】B

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、甭平分线的定义等知识点.熟练掌握等腰三

角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键.

根据等腰三角形的性质，得到N力C8=4B=若竺=70。，再根据CE是△4BC的角平分线得到〃"=

2cB=35。，然后利用三角形外角性质计算即可.

【详解】解：:等腰△48C中，AB=AC,^BAC=40°,

：,z.ACB=CB==70°,

2

TCE是△ABC的角平分线，

：.LACE=-/.ACS=35°,

2

:•乙BEC=AACE+Z.A=35°+45°=75°.

故选:B.

【变式1・1】如图，A/IB。中，ABAC>ZC=70°,将△ABC折叠，使得点8与点A重合，折痕ED交AB于

D,交BC于E,若4E=AC,则25的度数为.

B

E

【答案】35。/35度

【分析】本题考查了翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，利用三角形的内角

和定理、等腰三角形的性质先求出“EC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出，B.

【详解】解：由折叠的性质知：Z.BED=LAED=^BEA,/.BDE=Z.ADE=90°,

••/E=AC,zC=70°,

山EC=ZC=70°,

:2BED=1(1800-LAEC)=55°,

.­.zS=90°-55o=35°,

故答案为：35°.

【变式1・2】如图，在△力BC中，D为BC上一点,且=AD=BDf求乙8的度数.

【答案】36°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等边对等角的性质是

解题关键.由等边对等角的性质可得乙8二4840,LC=LB,ACAD=^ADC=2^B,再利用三角形内角

和定理求解即可.

【详解】解：・：AD=BD,

:.Z.B=Z.BAD,

:.Z.ADC=Z.B+Z.BAD=2(B,

•••AB=AC=DC,

:.LC=乙B,乙CAD=Z.ADC=2/8,

:.Z.BAC=/.BAD+Z.CAD=3/.B.

•••+zC+4BAC=180°,

:.548=180°,

.%乙B=36°

【变式1・3】如图，在A/IBC中，AB>AC,4D是角平分线，4E是高，AE=CE,^DAE=10°,求乙。4E和48

的度数.

A

【分析】本题考查了三角形的高与角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角

形的性质是解题关键.先根据等腰三角形的性质可得NC=zC4E=45。，从而可得乙。4。=55。，再根据角

平分线的定义可得484c=2乙。4D=110°,然后根据三角形的内角和定理求解即可得.

【详解】解：..•在中，力E是高，AE=CE,

・"C=NC4E=45。，

*：LDAE=10°,

：,z.CAD=Z.CAE+Z.DAE=55。，

•・•在△4BC中，AD是角平分线,

：.LBAC=2Z.CAD=110°,

・•・乙B=180°-Z,BAC-Z-C=25°.

【题型2方程思想求角度】

【例2】如图，在△力8c中，乙48c=54。，户为△48C内一点，过点P的直线MN分别交力3,8C于点M,N,

若M在P/1的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则乙4PC的度数为（）

【答案】C

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握

等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键.先根据三角形的内角和定理求得乙BMN+

=126°,再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得NM/1P=NMP/1,乙NPC=LNCP,再利用

三角形的外角性质和平角定义求解即可.

【详解】解：•・•在△BMN中，Z.ABC=54°,

，乙BMN+Z.BNM=180°一乙B=126°,

•・，M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，

：-MA=MP,NP=NC,

：.LMAP=/.MPA,Z.NPC=Z.NCP,

:•乙BMN+乙BNM=2^MPA+2LNPC=126°,

：.^MPA+^NPC=63°,

：,Z.APC=180°-（乙MPA+乙NPC）=117°,

故选C.

【变式24］如图，在△力BC中，DM、EN分别垂直平分4B和/1C,垂足为M,N.且分别交BC于点D,E.若

4DAE=40°,则乙84c的度数为（）

A.100°B.105°C.110°D.120°

【答案】C

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对■等角、三角形内角和等知识点，灵活运用等边对

等角成为解题的关键.

由线段垂直平分线的性质得=04,£4=EC,则=4ZX4B,ZC=^EAC,再由三角形内角和定理得

iBAD+Z-CAE=80°,进而完成解答.

【详解】解：YOM、EN分别垂直平分和AC,

:・DB=DA,EA=EC,

zi9=Z.DAB,LC=Z-EACt

*：Z.DAE=40°,AB+Z.C+ABAC=180°,

♦:&B+/.BAD+Z.C+AEAC-180°-40°-140°,

J.2LBAD+2/-EAC=140°,

：.Z.BAD+Z-CAE=70°,

：.LBAC=乙BAD+/.CAE+/-DAE=70°+40°=110°.

故选：C.

【变式2・2】如图，△48。中，^BAC=67°,P。垂直平分48,PE垂直平分AC,则乙P8C的度数为.

【答案】23723度

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平

分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键.根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得到

^PBA=^PAB,4PAe=iPCA,乙PBC=4CB,再根据三角形的内角和定理进行计算求解即可.

【详解】解：•••PD垂直平分AB,PE垂直平分力C,

:.AP=BP,AP=PC,

:.AP=BP=PC,

LPBA=Z.PAB,/-PAC=Z-PCA,乙PBC=^PCB,

•••LBAC+LABC+ACB=180°

:.2/.PAB+2LPAC+2Z.PBC=180°,^2(Z.PAB+LPAC}+2乙PBC=180°,

vZ.PAB+乙PAC=Z.BAC=67°,

:.24PBe=180°-2x67°=46°,

1

乙PBC=-x46°=23°

乙

故答案为：23°.

【变式2・3】如图，在ZMBC中，0,E分别为48、71c边上的点，DA=DE,DB=BE=EC.若匕ABC=130°,

则/C的度数为一.

【答案】30°

【分析】本题考杳了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，设△/!=%,由04=DE可得/。£;4二

△4=x,即得NBDE=NA+乙DEA=2x,得至Ij/BED=乙BDE=2x,进而可得NDBE=180°-4x,/.AEB=

乙DEA+乙BEB=3x,再得到NEBC=最后根据乙4BC=130。列出方程即可求解，掌握以上知识

点是解题的关键.

【详解】解：设44=%,

9：DA=DE,

Z.DEA=Z.A=x,

/.LBDE=+乙DEA=2x,

'：DB=BE,

/./-BED=乙BDE=2xf

:.乙DBE=180°-2x-2x=180°-4x,乙AEB=乙DEA+乙BEB=x+2x=3x,

*：BE=EC,

/.LEBC=Z.C,

•••/E8C+/C=乙AE8,

3

.SC="=产

.・.4BC=-EBC=180。-41+9=18。。-安

•・、ABC=130°,

.\180o--x=130°,

2

Ax=20°,

.\zC=^x20°=30°,

故答案为：30°.

【题型3分类讨论思想求角度】

【例3】等腰三角形一腰.上的高与另一腰的夹角为50。，则顶角的度数为（）

A.40°B.40°或130。C.40。或140。D.140°

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做

出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解决本题的关键.分别从此等腰三角形为锐角三角形与钝角三角形

去分析求解即可求得答案.

【详解】解・：①当为锐角三角形时，如图1,

•：£ABD=50°,BD1.AC,

・・・44=90。-50。=40。，

・••三角形的顶角为40。；

②当为钝角三角形时，如图2,

：.£BAD=90°-50°=40。,

*：/.BAD+Z.BAC=180°,

：.LBAC=140°

・••三角形的顶角为140。，

故选C.

【变式3・1】已知AD是的高，AC=BC,4&4。=50。，则乙B的度数为.

【答案】20。或70。

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关

键.当高4。在等腰三角形外部时；当高4。在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答.

【详解】解：当高工D在等腰三角形外部时，如图：

AB

vAD1BCy

Z.ADB=90°,

•••Z.CAD=50°,

LACD=90°-Z-DAC=40",

•••N/ICO是△ABC是的夕卜角，

:.Z.ACD=/.CAB+48=40°,

•••CA=CB,

•••/CAB=LB=20°；

当高4。在等腰三角形内部时，如图：

vAD1BC,

工^ADC=90°,

vZ.CAD=50°,

AZ.ACD=90°-/.CAD=40°,

CA=CB,

•••Z.CAB=乙B=1800-ZC=70°,

2

综上所述：的度数为20。或70。,

故答案为:20。或70。

【变式3・2】△A8C中，AB=AC,AB边的垂直平分线。M交直线BC于点M,交AB于点D,若CA=CM,则

乙力BC的度数为.

【答案】36。或72。

【分析】本题考杳了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点，

根据题意画出示意图是解题的关键.根据题意，分2种情况①点M在边8C上，②点M在8c延长线上，连

接4M,利用线段垂直平分线的性质得到力M=8M,再由等腰三角形的性质分别得到乙48。=UCBSABC=

乙&4M=44MC,^ABC=^ACB=^BAM=a,结合图形利用三角形内角和定理歹J出方程，解

出Q的值即可得出答案.

【详解】解：①若点M在边8c上，如图，连接AM,

:.Z.ABC=乙4C8,

•••DM是48边的垂直平分线，

AM=BM,

•••乙ABC=乙BAM,

:.Z.AMC=Z.ABC+Z.BAM=2^-ABC,

vCA=CM,

•••LCAM=^AMC,

1&/.ABC=Z-ACB=匕BAM=a,则NG4M=Z/1MC=2a,

在&zlCM中，a+2a+2a=180°,

解得：a=36°,

AZ.ABC=36°：

②若点M在BC延长线上，如图，连接力M,

C-AB=ACt

:./.ABC=Z.ACB,

•••DM是48边的垂直平分线，

二/.ABC=Z.BAM,

•••CA=CM,

•••/.CAM=Z.AMC,

•••LACB=LCAM+LAMC=2NAMC,

设，48C=Z.ACB=/.BAM=a,则N4MC=

2

在A/IBM中，a+a+^=180。，

解得：a=72。，

・•・/.ABC=72°：

•••综上所述，乙4BC的度数为36。或72。.

故答案为；36。或72。.

【变式3・3】如图，4MON=32。，点A在ON上，8c垂直平分。力分别交OM、ON于点B、C.点。在射线OM

上，不与点0、8重合，当△/8。是等腰三角形时，求乙。力。的度数.

【答案】96。或90。或84。

【分析】由线段垂直平分线的性质推出08=A8,由等腰三角形的性质得NBAO=乙M0N=32。曲三角形的外

角性质得至此48。=64。，当8。=64时，得到NBAD=N4BD=64。,求出N04D=96。，当=时，得

到乙BAD=^ADB=58。,求出乙。力。=90°,当AB=AD时，得至U乙=乙ABD=64。,由三角形内角和定理

求出乙。力。=84。,即可得解.

【详解】解：•.•8。垂直平分。力，

•••OB=AB,

•••Z.BAO=乙M0N=32°,

Z.ABD=乙MON+Z-BAO=64°,

由题意知。在。8的延长线上，

当BO=04H、j,

•••/BAD=Z.ABD=64°,

:.WAD=zBAO+Z-BAD=32°+64°=96°,

当8。=43时，

:.Z.BAD=Z.ADB=3180°-64°)=58°,

:.LOAD=Z.BAO+乙BAD=32°+58°=90°

当48=A0时，

/ADB=/-ABD=64°,

•••LOAD=180°-乙MON-^ADB=180°-32°-64°=84°,

•••的度数是96。或90。或84。.

【题型4"三线合一”的应用】

【例4】如图，在△ABC中，点。、E在边BC上，BD=CE,AD=AE.求证：AB=AC.

【答案】见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作4尸_LBC于点匕由等腰三角形的性质可得=再求

出BF=C/，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键.

【详解】证明：作4F18C于点F,

DF=EF,

•••BD=CE,

:.BD+DF=CE+EF,=CF,

-AF1BC,

•••AB=AC.

【变式4・1］如图，已知：zl=Z2,DA=DB,AC=^AB.求以。。度数.

【答案】/-ACD=90°

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质.延长力C到点E,使得力E=48,

证明△ADBWAADE,得到8。=ED,推出AC=CE,再根据等腰三角形的性质求解即可.

【详解】解：延长4?到点E,使得=

A

在么408和44。七中，

(AB=AE

Z1=Z2,

(AD=AD

三△AOE(SAS),

:.BD—ED,

-AC=-AB.

2

：.AC=-AE,

2

:.AC=CE,

即点C为力E的中点，

vDA=DB»

DA=DE,

••.△ADE是等腰三角形，

•••。。是4/WE底边上的中线，

••・DC1AE,

:.Z.ACD=90°.

【变式4・2】如图，在△4BC中，AB=AC,。、E、尸分别在三边上，且BE=CD,BD=CF,G为EF的中

点.

(1)若乙A=40。，求乙1BC的度数：

(2)求证：DG垂直平分EF.

【答案】(1)70。

⑵见解析

【分析】该题主要考杳了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等

知识，熟练掌握相关知识是解题关键.

(1)根据等边对等角证明运用三角形的内角和定理即可解决问题.

(2)连接。£、DF；证明△BOE三ACFO(SAS),得到。E=OF,运用等腰三角形的性质证明DG_LEF,即可

解决问题.

【详解】(1)解：TAB=AC,

：.LABC=乙ACB,

'：LA=40°,

=^-^=70°.

N

(2)证明：如图，连接Of、DF：

在ABDE与△CFO中，

(BD=CF

NB=乙C,

(BE=CD

/.A(SAS),

：.DE=DF,

YG为的中点，

ADGIFF,

，DG垂直平分EE

【变式4・3】如图，在RtAABC中，/-CAB=90°,点。是边8c的中点，以4。为底边向上作等腰△ADH,使得

^ADH=ZC,DH交AB于点、K.

(1)若48=20。，求的度数;

(2)若HO=BC,求证：AD=2AC.

【答案】(1)40°

(2)见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质.熟练掌握等腰三角

形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)由等腰△力0H,可得4凡4。=乙ADH,由题意知，乙C=180。一乙£48一乙B=70°,则乙44D=4ADH=

ZC=70°,根据/，二180。一(ZJMO+乙40，)，计算求解即可：

(2)如图，作DE14。于E,则ED=/E=^4。，证明三△BAC(AAS),则ED=4C,进而可得力。=2AC.

【详解】(1)解：•・•以4D为底边向上作等腰

：.z.HAD=Z.ADH,

由题意知，zC=180°-Z-CAB-zfi=70°,

：.£HAD=Z.ADH=NC=70°,

:.乙H=180°-(4HAD+匕ADH)=40。，

・"H的度数为40。；

(2)证明：如图，作DE14D于E,

■:乙HED=90°=LBAC,乙EDH=乙C,HD=BC,

A4HED三△B4C(AAS),

：.ED=AC,

：.AD=2AC.

【题型5确定等腰三角形的个数】

【例5】在平面直角坐标系中，若点4(2,0),点8(0,1),在坐标轴上找一点C,使得△ABC是等腰三角形，这

样的点C可以找到的个数是()

A.3B.5C.6D.8

【答案】D

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观.根

据等腰三角形两腰相等，分别以月、3为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C,

的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足△力8C是等腰三角形.

【详解】解：如图，使得△力BC是等腰三角形，这样的点。可以找到8个.

J*

【变式5・1】如图的正方形网格中，像点4、点8这样网格线的交点称为格点.以力8为边的等腰三角形ABC的

三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（）

C.6个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分A8为底和腰两种情况蟀答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解

题的关键.

【详解】解•：如图所示，分以下情况讨论:

①当为等腰△48C底边时，符合条件的C点有6个：G、Q、。3、品、6、6；

②当为等腰△4BC其中的一条腰时・，符合条件的C点有4个：金、6、。9、Go；

・••点C的个数是6+4=10个，

故选：A.

【变式5・2】如图，直线a”相交形成的夹角中，锐角为52。，交点为0,点4在直线a上，直线b上存在点8,

使以点。,48为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点8有（）

C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰二角形的判定，根据为等腰二角形，分二种情况讨

论：①当。8=43时，②当。力=43时，③当。4=08时，分别求得符合的点3,即可得解.

【详解】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：

①当0B=4B时，作线段。4的垂直平分线，与直线方的交点为8,此时有1个；

②当。力二48时，以点4为圆心，。人为半径作圆，与直线的交点，此时有1个;

③当。力二。8时，以点。为圆心，。力为半径作圆，与直线的交点，此时有2个,

14-1+2=4,

【变式5・3］如图，已知AABC中，AB=6,AC=10,BC=14.若过△4BC的顶点的一条直线将△A8C分

割成两个三角形，使其中有一个逅长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）

A

BC

A.2条B.3条C.4条D.5条

【答案】C

【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用48为底以及为腰得出符合

题意的图形即可.

【详解】解：如图所示，当===力。时，都能得到符合题意的等腰三角形.

IC

综上，这样的直线最多可画4条.

故选：C.

【题型6尺规作等腰三角形】

【例6】如图，已知Na,线段a.用直尺和圆规按下列要求作图.(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)

(1)作出一个等腰三角形力8。使其底角=匕°,底边长=a：

(2)作出一个等腰三角形DEF,使其底角=Na,底边上的高=a.

【答案】⑴图见解析

(2)图见解析

【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底

角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高

线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高达行作图.解题的关键是利用已知条件，通

过180。-2a得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角.

(1)先作射线8N,再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧,交射线8N于点C,分别作NMBC=乙LCB=za,

CL交BM于点A,则△ABC即为所求；

(2)先作出2a的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角NPOQ的角平分线。G,根据等腰三角形“三线合一”

的性质，在角平分线上截取=访过点H作EF1DH,分别交DP、DQ于点E、点F,即得所求.

【详解】(1)解：作法：先作射线BN,再以点8为圆心，线段。的长为半径画弧，交射线BN于点C,分别

作乙MBC=乙LCB=乙a,CL交BM于点A,则44BC即为所求;

LM

图I

（2）解：①原图中，在角a的一边上作一个与a相等的角，

②原图中，延长已知角a的另一条边，得到0,即0=180。一2a,

③作4PCQ=氏

④作乙PDQ的角平分线DG,

⑤在OG上取点H,使OH=a,

⑥过点H作EF1D",分别交。P、DQ于点、E、点F,

【变式6・1】如图，在中，4力二40。，点。在边C上.请用尺规作图法，在△48。内求作一点F,使乙CFD=

70c.（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】本题考杳了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得

^FDC=AA=40°tDF=DC,进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解.

【详解】解：如图，

B

根据作图可得乙『DC=Z.A=40。,DF=DC

工乙CFD=乙DCF=1（180°-乙FDC）=70°

【变式6・2】如图，4为直线沙卜一点，点BC在直线LL,已知乙48c为锐角.请用尺规作图法，在直线1上求

作一点D，使得=2乙4BC,（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质•作线段的垂直平分

线交直线［于点E,再连接AE,得到AE=BE,进而得至此B4E=4/18。，推出〃EC=Z.ABC+Z.BAE=2Z.ABC,

最后以力为圆心、4E的长为半径面弧，交直线，于点D,得到匕4D8=Z4EC=2Z4BC,点。即为所求.

【详解】解:如图，点。即为所求.

I

I

【变式6・3】线段。4和C、。两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段。A上作•点、B,连接BC、BD、CD,

使得△OCO是以CO为底边的等腰二角形.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】作线段CD的垂直平分线交。4于点8,连接8GBD即可.

本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握尺规作垂

线的方法是解决问题.

【详解】解：连接C。，作CD的垂直平分线交。4于点8,连接8C,BD,则△8G）就是所求的以CD为底边的

等腰三角形，如图：

【题型7等腰三角形的判定与性质】

【例7】如图，已知点4C分别是A/BE的边8/和BE延长线上的点，作心力/E的平分线5D,若FO||8C.

（1）求证：△FBE是等腰三角形；

（2）作乙尸EC的平分线交尸。于点H,若48=50。，求乙尸"E的度数.

【答案】（1）见解析

（2）65°

【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识：

（I）根据角平分线的定义得24/。=/。/^,由平行线的性质得乙4F0=乙8,乙DFE=CFEB,可得二

乙FEB,可得出△/BE是等腰三角形；

（2）由（1）知乙FE8==50。，得出乙FEC=130。，由角平分线定义得出±HEC=65。，最后根据平行线

的性质可得结论.

【详解】（1）证明：平分

：.LAFD=£.DFE.

•:FD||BC

：.z.AFD=ZF,乙DFE=LFEB.

，乙8=乙FEB.

:,FB=FE,&FBE是等腰三角形.

(2)解：•:乙B=LFEB,48=50。，

，乙FEB=CB=50°.

:.乙FEC=180°-乙FEB=130°.

•・,£”平分4FEC,

：.^HEC=\z-FEC=；x130°=65°.

■:FDIIBC,

:•乙FHE=乙HEC=65°.

【变式7・1】如图，在AABC中，力B=AC,点。为BC的中点，连接4D,的垂直平分线E尸交48于点E,

交于点O,交AC于点F,连接。8,OC.

（1）求证：4力。。为等腰三角形；

（2）若乙B4D=20°,求乙CO尸的度数.

【答案】（1）见解析

（2）LCOF=30°

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，灵

活运用中垂线的性质和等腰三角形的性质成为解题的关键.

（I）根据中垂线的性质可得。A=。8,再根据等腰三角形的性质可得4）1BC,进而说明4）是8。的中垂线

可得。8=OC,进而得到。4=。。即可证明结论；

（2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得NB4c=40。，再根据中垂线的性质以及三角形的内角和可得

^AFE=50°；再根据等腰三角形的性质可得乙。CA=Z.OAC=20°,最后根据三角形外角的性质即可解答.

【详解】（I）证明：•・•£尸是48的中垂线，

：.0A=0B,

'：AB=AC,D为BC中点,

：.AD1BC（三线合一），

・•/D是BC的中垂线，

：・0B=OC,

：.0A=OC,

・・・AO4C是等腰三角形.

(2)解：*：AB=AC,D为BC中点,

:,乙DAC=/-BAD=20°(三线合一)，

：.LBAC=40°,

•・・£F是48的中垂线，

：.EFLABt

：.^-AFE=50°,

'：OA=OC,

：,z.OCA=Z.OAC=20°,

Vz/IFF=/.OCA+Z-COF,

・・・50°=20°+"OF,

:,乙COF=30°.

【变式7・2】已知如图△ABC^AC=6cm,AB=8cm,8D平分CD平分LACB,过。作直线平行于BC,

交AB,AC^rE,F.

(I)求证：ADFC是等腰三角形；

(2)求尸的周长.

【答案】(1)见解析

⑵14cm

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等.

(1)首先根据平行线的性质可得dDC=4C8,再根据角平分线的定义可得上FCD=，8CD,可得"CD=

乙FDC,据此即可证得；

(2)同理(I)可得DE=BE,根据△4EF的周长=4E+力产+DE+D9=/18+4C,求解即可.

【详解】(1)证明：VEFWDC,

•••/FDC=乙DCB,

•••CO平分Z4CB,

Z.FCD=乙DCB,

•••/FDC=Z.FCD,

:.FD=FC,

•••△DFC是等腰三角形；

(2)解：VFFHBC,

•••4EDB=Z.DBC,

•••30平分/ABC,

:.Z.EBD=Z.DBC,

:.乙EDB=乙EBD,

:.ED=EB,

AC=6cm,AB=8cm,

••・A4E/的周长为：AE+EF+AF

=AE+ED+FD+AF

=AE+EB+FC+AF

=AB+AC

=8+6

=14cm.

【变式7・3】如图，在△ABC中，AC=BC,点尸为力8的中点，边4c的垂直平分线交力C,CF,CB于点D,0,

E,连接。力、0B.

（I）求证：A08C为等腰三角形；

（2）若乙4CF=25°,求/80E的度数.

【答案】⑴见解析

⑵15。

【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质.

（1）根据线段垂直平分线的性质，先求得0C=04根据等腰三角形三线合一的性质，可求得。8=。4

（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得乙16=LBCF=\LACB=25。，根据三角形内角和定理可求

得4EC的度数，结合“。后=乙DEC-48。即可求得答案.

【详解】（1）证明：•••0E为线段4c的垂直平分线，

0C=0A.

•••4?=8C,点产为718的中点，

二。户为线段48的垂直平分线.

•••OB=0A.

:.OB=0C.

・・・么。8。为等腰三角形.

(2)解：•••AC=BC,点F为AB的中点，

CF为乙4c18的平分线.

二LACF=乙BCF=-Z-ACB=25°.

2

/.乙4cB=50°.

/.DEC=180°-乙EDC-/-ACB=180°-90°-50°=40°.

•・NOBC为等腰三角形，

AACBO=ABCF=25°.

Z.BOE=乙DEC-Z-CBO=40°-25°=15°.

【题型8等腰三角形与全等三角形的综合】

【例8】如图，△BAD和△CAE是等腰直角三角形，LBAD=Z.CAE=90°,AF1CB,垂足为£

(1)求证：Z-ABF=Z.ADC；

(2)判断力尸和CE的位置关系，并说明理由；

(3)求证：CD=2BF+DE.

【答案】(1)见解析

(2)/1产||CE,见解析

(3)见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线

段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的

关键.

(1)先根据等角的余角相等证得Z84C=皿E,再根据全等三侑形的判定证明即可得出乙1BC=4IDE,

根据邻补角的定义，即可得证；

(2)根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得==45。，再根据直角三角形的两锐角

互余求得乙&4r=45。即可得出NF4E=135°,进而证明力尸IICE,即可得出结论；

(3)延长8"到G,使得FG=FB,根据全等三角形的判定与性质证明△AFB三△AFG(SAS),△CGA

CD4(AAS)得到CG=C。即可证得结论.

【详解】(1)证明：・・284Z)=/G4E=90°,

：.LBAC+“AD=90。，/.CAD+/.DAE=90°,

：.z.BAC=LDAE,

在和△D4E中,

(AB=AD

*：UBAC=LDAE，

(AC=AE

•••ABAC三△DAE(SAS)；

，乙4BC=〃DE,

：.LABF=/.ADC；

(2)解：AF||CE,理由如下，

\^CAE=90°,AC=AE,

:.4E=45°,

由(1)知△3)C三△D4E,

・・・48。4=2£=45。，

*：AF1BC,

：.LCFA=90°,

：.2.CAF=45。，

：.LFAE=乙FAC+Z.CAE=45°+90°=135°：

又=45。，

：.LFAE+ZE=180°,

：.AF||CE,

(3)证明:延长BF到G,使得FG=FB,

,：AF1BG,

：.^AFG=Z-AFB=90°,

在△4F8*口Zk/IFG中，

(BF=GF

，［4力"8=Z.AFG,

(AF=AF

：,LAFB=A/1FG(SAS),

:.AB=AG>乙ABF=乙G,

*：LBAC=aDAE,

.'.AB=AD,Z-CBA=/.EDA,CB=ED,

•\AG=AD,乙ABF=^CDA,

：^CGA=LCDA,

'：LGCA=Z.DCA=45°,

・•・在△CG4和aCO4中，

乙GCA=Z.DCA

Z.CGA=Z.CDA,

AG=AD

：.LCGA三△CO4(AAS),

：.CG=CD,

・"G=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

:.CD=2BF+DE.

【变式8-1】如图I,△WB。和aOCE均为等腰直角三角形，^ACB=ADCE=90°,点A、。、E在同一直线

上，连接8E.

(1)①求证：AD=BE；

②求41E8的度数；

(2)如图2,若CM为ADCE中DE边上的高，BE=4,CM=3,请直接写出四边形A8EC的面积.

【答案】(1)①证明见解析；②90°

⑵35

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三用形的性质，利用手拉手模型证明三角形全

等是解题的关键.

(I)①利用SAS证明△4CD三△8CE,即可证明结论；②由全等三角形的性质得到乙1DC=NBEC,由等腰直

角三角形的性质得到ZCDE=乙CED=45°,则由平角的定义得到/4DC=乙BEC=135°,利用角的和差求

出答案；

(2)由4ACD=△BCE得出40=BE,然后判定出OM=CM,再得出4E=AD+DE=BE+2cM=10,再

根据四边形力BEC的面积=△4CE的面积+△的面积，通过计算即可解答.

【详解】(1)①证明：•••△A8C和△/)(?£*均为等腰直角三角形，

：,CA=CB,CD=CE,

,：LACB=/-DCE=90°,

：.LACB-乙BCD=乙DCE-乙BCD,

：,LACD=乙BCE,

在ZMCD和中，

AC=BC

Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

：,LACD^△BCE(SAS),

.\AD=BE；

②解：VAACDKBCE,

：.LADC=乙BEC,

•・NDCE均为等腰直角三角形，

LCDE=乙CED=45°,

•・•点A,D,E在同一直线上，

：.LADC=180°-45°=135°,

工人BEC=135°,

：.LAEB=乙BEC-乙CED=135°-45°=90°；

(2)VA/ICD=△BCE

AD=BE,

•••CD=CE,CM1DE,

在RtZkDCE中，CM1DE,乙COM=45。，

:.Z.DCM=Z.CDM=45°,

DM=ME=CM,

力E=AO+DE=8E+2cM,

・1BE=4,CM=3,

.*./IE=10；

由(1)得4=90°,

；・四边形48EC的面积=△ACE的面积+△/BE的面积

11

=-AExCM+-AExBE

22

11

=-xl0x3+-xl0x4

=35.

【变式8・2】【常见类型】

(1)如图1,已知：BC=AD,B.Z.ABC=/-BAD.求证：AC=BD.

【变式拓展】

(2)某同学改变(1)中的条件和图形，提出下面的问题，请你舲答.

如图2,△ABC是等腰直角三角形,4。=BC,乙4cB=90。，。为BC中点，BD14。交4。延长线于点D,CE1

A。于点£

求证：①CE=BD；@AE=2BD.

C

cD

D

A

图1图2

【答案】(1)详见解析

(2)①详见解析：②详见解析

【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三

角形是解本题的关键.

(I)根据SAS证明△力8c三即可得证;

(2)①根据AAS证明△BOD讣COE,即可得证;

②连接CD，过点。作CFICO交40于点心证明△4C尸三△BCD,可得力F=BD,CF=CD,再根据等腰三角

形的性质可得CE=EF,再根据线段的数量关系即可得证.

【详解】＜1)证明：在和△S/1O中,

BC=AD

Z.ABC=Z.BAD,

AB=BA

:心ABC三△BAD(SAS),

AC=BD：

(2)证明：①；8D14。交力。延长线于点。石140于点£,

••2BD0=Z.CE0=90°,

••0为BC中点,

*.0C=B0,

•,Z.B0D=乙C0E,

•△B0D三△COE(AAS),

•.BD=CEx

②如图，连接CD,过点C作CF1CD交力。于点心

=90。，48。0=Z.AOC,

•••Z.CBD=Z.CAO,

vCF1CD,

"CD=90°,

•LACB=90°,

:•乙

FCD=Z.ACBt

Z.ACB-Z.FCB=Z.FCD-乙FCB,

Z.ACF=乙BCD,

-AC=BC,

.'.^ACF=△8co(ASA),

:.AF=BD,CF=CD,

••.△FCO是等腰直角三角形，

Z.CFE=45。，

vZ.CEF=90°,

•••LFCE=45°,

CE=EF,

vCE=BD,

---BD-EF,

vAF=BD,

二AF=EF=BD,

AE=AF+EF,

•••AE=2BD.

【变式8・3】在等腰直角△/IBC中，48力。=90。，点。在边BC上，过点4作射线力0的垂线，垂足为点£

△ABE=△CAF；

(2)在射线EB上取点G,使EG=/.E,连接力G,CG,CG与交于点”.如图2,若乙4GC=90。，AE=4,

求线段BG的长.

【答案】(1)见解析

(2)8

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键;

(1)由余角的性质可得-18E=4L4F,再加上力8=4。以及直角即可证明4力8£三2\二4产；

(2)过点C作射线/D的垂线，垂足为点F,由(1)可得△ABE讣CAF,即可得到EG=AE=CF,BE=AF,

进一步可证明aEHGWAFHC,得至ljEH=FH；由4AGC=90。可得/EGH=45。，得到EH=FH=EG=

AE=CF,得到BE=3AE,BG=2AE,即可求得答案.

【详解】(1)证明：•・•等腰直角△ABC中，LBAC=90°,

：.AB=AC,

9：CFLADfBELAD,

：.z.BAC=ZF=Z.AEB=90°,

••・/.ABE+LBAE=90°,Z.BAE+Z.CAF=90°,

：.Z.ABE=Z.CAF,

在ZMBE和中，

(LAEB=Z.F

l^ABE=^CAF,

(AB=AC

：,LABEC/1F(AAS);

(2)过点C作射线4。的垂线，垂足为点凡由(1)可得

：.AE=CF,BE=AF,

'：EG=AE,

：.EG=AE=CF,LBEF=LF=90°,乙EHG=乙FHC,

：.LEHG三△FHC(AAS),

:.EH=FH；

'：EG=AE,BELAD,

*：LAGE=45°,

：.LEGH=45°,

：,EH=EG,

:・EH=FH=EG=CF=AE=CF,

：.BE=3AE,BG=2AE,

9：AE=4,

:・BG=8.

8串知识识框架

等腰三角性质③―；等腰三角形的两个底角相等（简写成"等边对等角”）：

形的性质1性质②|—:藕三鬲射而瀛松透一欣迸前短「氤工福箱后蚕37函:藐‘三茯二二'T"；

等腰三角：1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；

形的判定:2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成"等角对等边“）.

作一个等

腰三角形

1尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a,底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形.

:作法：如图（2）

：①!乍线段AB=a;②作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D;③在MN上取一点C,使DC=h;

；④连接AC,BC,贝必ABC就是所求作的等腰三角形.

8过关测稳提升

1.等腰三角形的一个外角是70。，则它的顶角的度数为（）

A.70°B.70°或40。C.110°D.110°或40°

【答案】C

【分析】题FI给出了一个外角等于70。，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论.

【详解】解：①当70。角为顶角的外角时，顶角为180。-