第三章-概率和理论分布(张恩盈)

生物统计学与试验设计

第三章概率和理论分布（6学时）（张恩盈编写）

导引

第一节事件与概率

一、事件和概率

二、事件的相互关系

三、计算事件概率的法则

第二节二项分布和泊松分布

一、二顶总体和二项分布

二、二项分布的概率计算

三、二项分布的平均数和标准差

四、多项式分布

五、泊松分布

第三节正态分布

一、正本分布及其性所

二、利用正态分布计算概率的方法

三、二项分布的正态近似

第三章概率和理论分布（6学时）

在自然界或人类社会中发生的各种现象通常可划分为两类：•定条件卜必然发生或必

然不发生的确定性现象（definitephenomena）；•定条件卜"能发生（结果“J能不止•个，

也可能不发生的随机性现象（randomphenomena）,随机性现象无处不在。例如，抛掷一枚硬

币，硬币下落是确定性现象，而正面朝上或反面朝上则是随机性现象：作物种子发芽，播种

粒数是确定性现象，而发芽种子粒数则是随机性现象。随机性现象虽然表现为不确定性，但

通过大量重更性试验，其结果会出现某种特定的规律，称为随机性现象的统计规律。

概率分布是描述随机性现象的统计规律。本章主要介绍：（I）事件和概率，讨论描述

随机性现象及其统计规律的相关术语及概念、随机变量及其分布，随机现象佗确定性数学表

达，相同条件、大量重且实验下随机生现象所遵循的统计规律：（2）二项分布和泊松分布，

讨论这两种重要的离散型随机变量理论分布及所遵循的统计规律：（3）正态分布，讨论这种

重要的连续型随机变量理论分布及所遵循的统计规律。

第一节事件与概率

一、事件和概率

有•些事物，在•定的条件卜\常存在几种可能出现的结果，每•种结果称为随机事

件（randomevent）,简称事件（event）•而每一个事件出现的可能性称为亥事件的概率

（probability）o例如，种子播种后可能发芽，也可能不发芽，这就是两个事件，而发芽和不

发芽的可能性就是对应于两个事件的概率。我们观察到随机试验的每一个可能的结果称为变

址，所以变量也叫做随机变量。从这方面说，统计学就是研究随机事件（随机变量）规律性

的科学。

随机事件发生的概率是通过大量扪实验观察得到的。例如，调查一批种子的发芽率，只

观察•粒种子，不是发芽就是不发芽，不能得出种了•发芽率的结论，但随着试验种子粒数的

增多，我们对这批种子发芽率的大小把握越准确。将一个调行结果列于表3.1,调查5粒时，

有4株发芽，发芽的频率为80%,调查50粒时发芽频率为86%调查100粒时受害频率为

90%。可以看出二次调查结果有差异，说明发芽频率有波动、不稳定。而当边一步扩大调查

的粒数时，发现频率比较稳定了，调查500粒到10000粒的结果是发芽率稳定在87%左右。

表3」在相同条件下种子发芽率的调查结果

调查粒数55010020050010002000500010000

发芽粒数44390179438867174343498701

发芽频率（%）80869()88.587.686.787.2586.9887.01

现以〃代表调查粒数，以〃代表发芽粒数，那么可以计算出发芽率/尸Mt。从这批种子

的发芽率情况调杳结果看，频率在“取不同的值时，频率〃却不同，只有在”很大时频率才

趋于稳定。因而，调查粒数n较多时的稳定频率才能较好地代表种子发芽率的可能性。统计

学上用”较大时稔定的〃近似代表概率。然而，正如此试验中出现的情况，尽管频率比较稳

定，但仍有较小的数值波动，说明观察的频率只是对种子发芽率这个事件的概率的估计、

一般来说，在同一组条件下，随试验或观察的次数〃无限大，则随机事件4发牛•的强

率必稳定在某一常数〃上，这个〃就称为随机事件A的概率（probabiliiy）,记作：

P{A[=lim—=p

上式〃表示事件A出现的概率。八£（0.1）,故〃的取值在0与1之间，即0WP{*

W1：必然事件一般用U表示，其概率为1,不可能事件一般用丫表示，其概率为0。

在实际试验中，获得〃值往往很困难，但是由于频率的稳定性，可用〃充分大时的频率

，而作为p的近似值，这样就能对任何随机事件出现的概率作出估计。

二、事件的相互关系

事件间不是孤立的，而是有•定关系的。例如，在种子发芽试验中，显然“发芽”和

“不发芽”之间是有一定关系的。为了描述类似上述事件之间的联系，下面说明事件之间的

几种常见关系。

（一）和事件

事件Ai和人至少有一个发生而构成的新事件称为事件A,和4的和事件，记为4+4,

读作“或A发生，或4发生二例如，有一批种子，若4为“取到能发芽种子”，4为“取

到不能发芽种子”，则4+A]这一新事坤为“或取到能发芽种子或取到不能发芽种子

事件间的和事件可以推广到多个事件：事件4、①、…、人至少布•一发生而构成的新

事件称为事件A、A?、…、人的和事件，记为4+A2+…+4=力4,。

（二）积事件

事件4和4同时发牛.所构成的新事件，称为事件4和4的积事件，记作44,读作

“4和A2同时发生或相继发生”。

事件间的积事件也可以推广到多个事件：事件4、4、…、4同时发生所构成的新事

件称为这n个事件的积事件，记作4也…4=口A•

r=l

（三）互斥事件

事件4和4不可能同时发生,即44为不可能事件（记作44=V）,称事件4和4

互斥。例如，有一批种子,若记4为“取到能发芽种子”,人为“取到不能发芽种子”,显

然4和小不可能同时发生，即一粒种子不可能既发芽乂不发芽，说明事件4和4互斥。

这一定义也可以推广到A、A,、…、A,个事件。

（四）对立事件

事件4和此不可能同时发生，但必发生其一，即A+A2为必然事件（记为AI+A2=U3

4A2为不可能事件（记为4A*V）,则徐事件4为事件4的对立事件，并记&=A。

（五）完全事件系

若事件4、A?、…、4两两互斥，且每次试验结果必发生其一，则称4、小、…、4„

为完全事件系。例如有三种花色：黄色、白色和红色，取一朵花，“取到黄色”、“取到白色”

和“取到红色”3个事件就构成完全事件系。

（六）事件的独立性

若事件4发生与否不影响事件小的发生.反之亦然,则称事件4和事件/相互独十.

或互为独立事件。例如，事件4为“花的颜色为黄色”,事件4为“产量高;显然如果花

的颜色与产量无关,则事件4与事件八2相互独立。

三、计算事件概率的法则

（一）加法定理

事件力和事件42的和事件，等于事件小的概率加事件八2的概率，然后减去事件4

和事件A2的概率之积，如图3.1。即：

P{A+A}=/'{A}+/'{4}-/'{A4}(3.1)

1AA

图3.1加法法则的图示

若事件4和A2为互斥事件，则P{AA}=0,从而有互斥事件4和4的和事件的概

率，等于事件4和事件4的概率之和，即：

P{4+A2}=片初+八制(3.2)

例如，一束花中红、黄、紫花的概率分别为0.4、0.3、0.3,那么我们葩机抽取一朵非紫

色花的概率为0.5(=0.2+0.3),这是由加法定理得到的两个互斥事件概率之和。

加法定理有两个推理

推理1：完全事件系的和事件概率等于1，即批注仲年全篇是否改为定理？

P{AJ+A2+…-A”}=P{4}+P{A2}+…+P{4}=1(3.3)

推理2：对立事件,的概率为：

P{同=I_P{A}(3.4)

因为P{4+Z}=P{4}+P{邓=1。

(二)乘法定理

事件4和事件4同时出现的概率，等于事件4的概率乘以在4发生下事件4的概

率，或事件4的概率乘以在A2发生下事件4的概率，即：

P{AA}=P{A}P{4IA}=P{4}P{4I4}(3§

上式的P{A}和P{AJ分别是事件A和&的发生概率，与其他事件无关，故又称为

边缘概率(marginalprobability).P{A/M2}为事件4发生下事件。发生的概率,尸质加”为

事件4发生下事件4发生的概率，故称为条件概率(conditionalprobabiHty)。

［例3.1］在数字0、I、2、3、4、5,6、7、8、9中，试求抽得一个既是偶数又能被4整

除的数的概率。

因为在A(偶数)发生下8(被3整除)发生的条件概率为P{8|A}=l/5,在8发生下A

发生的条件概率为以川8)=1/3,故偶数与被3整除同时发生的概率为:

P{AB}=P{A}P{fi|A}=5/10x1/5=0.1

或P{人8}=P{B}P{A|B}=3/10x1/3=0.1

如果在人发生卜F发生的概率等于R的概率，即4阳川-P1研，或巴川研-4川，则

称事件A和事件B是彼此独立.的。

推理I：若事件A和事件8彼此独立，则A和B同时发生的概率为A和B的各自概率

之积，即

P{AB]=P{A}/i{B}（3.6）

例如，现有4粒玉米种子，其中3粒为硬粒型、1粒为马齿型，采用宏苴抽样。成求

卜,列两事件的概率：（A）第•次抽到硬粒型、第二次抽到马齿型；（8）两次都抽到硬粒型。

由于采用复置抽样（即每一次抽出观察结果后又放回再进行下一次抽样），所以第一次和

第二次的抽样结果间是相互独立的。采用概率的古典定义，可以求出抽到硬料型种子的概率

为0.75,抽到马齿型种子的概率为0.25。

因此，P{4}=P（第一次抽到硬粒型种子）*P（第二次抽到马齿型种

子）=0.25x0.75=0.1875,P{B}=P（第一次硬粒型种子）*P（第二次硬粒型种

7）-0.75x0.75=0.5625,

推理2：若事件A、&、…、儿皆彼此独立，则：

P{A4…4}=尸{A}尸{A?}…尸{4}（3.7）

第二节二项分布和泊松分布

一、二项总体和二项分布

试验或调查中常见的•类随机变数是根据某种性状的出现与否而分为非此即彼的两种

结果，“此”和“彼”构成对立事件。例如：种子发芽和不发芽，抛硬币后出现正面向上和

向下，日光灯管的亮和不亮等等。有时，虽然在实际上并不只是“此”和“彼”两种事件。

例如，在作物育种的分离世代中，一类是我们欲予选择的目标植株，另一类是多种多样的需

予淘汰的非目标植株：就目标植株和非口标植株而言，这个育种群体可看做是由非此即彼的批注[w2]:作

对立事件构成的总体。这种由非此即的彼事件构成的总体，叫做二项总体（binomial

population）.

为便于研究，通常将二项总体中的“此”事件以变豉“1”表示，具概率尸；将“彼”事

件以变量“0”表示，具概率/因而二项总体乂称为0、I总体，其概率则显然有：p+v=l批注lw3]:(M

或

二项分布实质上是从二项总体中拍样总和数的分布。如果我们每次独立抽取0、1总体批注[w4]:Ol

中的〃个个体并将之求和，记〃个个体之和为新变量y,则y将有o,i,…，”共〃+i种可能取

值。这”+i种变量各有其概率，因而由变量及其概率就构成了一个分布，这个分布称做二批注[w5]:作

项概率分布,简称二项分布(binomialdistribution)。例如观察5粒种子的发芽情况,记"发

芽”为1，“不发芽”为0.观察结果可能是：5粒发芽⑷粒不发芽)、4粒发芽(1粒不发

芽)、3粒发芽(2粒不发芽)、2粒发芽(3粒不发芽)、1粒发芽(4粒不发芽)、0粒发芽(5

粒全不发芽)，共6种事件，这6种事件构成了一个完全事件系，但6个事件的概率不同。

由这6种变贷及相应概率组成的分布，就称为二项分布。

二项分布是间断性变数的一种最里要的理论分布，它的应用范也1是相当广泛的。

二、二项分布的概率计算

二项分布的概率计算以实例说明如下：

己知玉米籽粒糊粉层颜色受一对等位基因C-c控制，根据孟德尔的遗传学原理，玉米

籽粒有色纯合基因型和无色纯合基因型杂交后，在F?代有色籽粒的出现概率〃=0.75,无色

籽粒的出现概率4=0.25。若每次4粒和子，问得布•色籽粒为4粒、3粒、2粒、1粒和。粒

的概率？

这里记有色籽粒是事件I.无色籽粒是事件山根抿概率的乘法定理,有色籽粒为4柏

(即事件1.1.1.1)的概率为：

p//=4}=p：＜/?xpxp==0.754=0.3164

有色籽粒为3粒(无色籽粒1粒i由互斥事件(1.1.1.0).(1.1.0.1).(1.0.1,1)和

(0J.1,D组成,每一事件的概率皆为p%,故得3粒非糯籽粒的概率为:

尸{y=3}=4〃)=4x0.753x0.25=0.4219

有色籽粒为2粒(无色籽粒2粒j由互斥事件(1,1,0,0)s(1,0,1,0)x(1,0,01)、

(0,1,1.0).(0,1.0,1)和(o,0.M)组成，每一事件的概率皆•为p%,，故：

尸{y=2}==6x0.752x0.252=0.2109

有色籽粒为1粒(无色籽粒3粒i由互斥事件(1.0.0.0).(0.1.0.0).(0.0.1,0)和

(0.0,0.1)组成，年一事件的概率皆为〃夕*故:

p{y=1}=4/W=4x0.75x0.25=0.0469

有色籽粒为。粒(无色籽粒4粒)仅有事件(0.0.0.0),故：

P{K=0)=(/x(/x(/x(/=q=0.25"=0.0039

上述概率也正好是伊+g『在〃=0.75、(7=0.25时展开后的各项：

(〃+4)'=〃"+4〃％+6/)，2+4pq'+q4

=0.3164+0.4219+0.2109+0.0469+0.0039

因此，我们得到计算二项分布中任何一项概率的通式为：

P\Y=k}=C\pkqnk(3.8)

其中：

C：=/d39)

显然，二项分布具有〃和〃两个参数，故通常记为8(〃.〃)。

而整个二项概率分布则由(p+q)”或(什p)”展开后给出。由于•变量丫=0』.…"为完全事件

系，故这个分布的概率之和显然为：

£c；pUp+q)"=l

4=0

这一分布律也称贝努里(Bernoulli)分布,并有力P(y)=1批注体6］：与第4景Pio“伯努利”的不同,要统一

起来

［例3.2］己知高秆香稻和矮秆非香稻杂交后，在F?代出现矮秆香稻的概率〃=0.0625,出现批注|w7］:大写Y

非矮秆香稻的概率g=0.9375,试求：①若眄代种植30株，则至少获得I株矮秆香稻的概

率是多少？②如希望有0.95的概率获得至少1株矮秆香稻，则F?应种植多少株？

①根据(3.10),得。株矮秆杳稻佗概率为：

叩=0}=C,V0=/'=0.937530=0.1443

由于y=o和y=l,2,3,…,30是互斥事件，且构成完全事件系，因此至少获得I株矮秆香

稻的概率为；

P{y>l}=l-P{r=0)=1-0.1443=0.8557

②F2应种植的株数〃需满足尸{丫=0}=1-0.95=0.05,即满足g"=0.05。所以:

lg0.05-1.3010

fl—=46.5«47(株)

Igq-0.0280

这就是说，如希望有95%的把握至少来得1株矮秆香稻，F2需种植47株。

三、二项分布的平均数和标准差

(一)二项总体的平均数和标准差

二项总体以概率分布表示如表3-2。显然二项总体具有平均数和标准差:

^=E(Y)=^YP(Y)=()xq+\xp=p(3.10)

。=jE(y2)_[E(y)f=希xq+Cxp-pi=(3.11)

表3.2二项总体的概率分布表示

变量Y概率尸(丫)

0q

1p

总1

(二)二项分布的平均数和标准差

在二项分布中，变量丫=0,1,…，〃出现的概率由W+p)"展开，其结果见表3.3列(I)

和列(2)。将列(1)和列(2)对应值各相乘,得KP｛匕｝于列⑶。将列⑶的匕口⑴各乘以(匕一

1).得巾匕-1)P｛Y,｝=K2P｛匕｝一匕p｛用于列(4)。

山表3.3列(3)和(4)的总和项可得:

｛小=叨(q+p)"1=〃p

i0

ZZ化｝-Zb化｝=〃(〃T)p2£c3p[“2=〃("Tp2(q+p)i=〃(，—)/

//0

并有ZX'P化｝=〃5-1)〃2+“

故二项分布的平均数为：

〃=ZYP｛Z｝=〃P：3.12)

标准差为：

o=化-〃)6化｝=Jz甲p｛z｝-[zb化｝]

="〃(〃_1)〃2+叩-(np)2=J，w(l-〃)

=Vw(3.13)

表3.3二项分布的平均数和标准差的计算

(1)(2)(3)(4)

X桃｝疗闻Z(Z-i)P{y}

0

0。曾0

„„(w-l)!.

n!4tl

1','QP叩0!(〃-1)产0

/、(〃一2)!2

w!2(«-!)!g

y"s吗!(一2)/F

2!(/»-2)r-

2

(〃-1)!…

'f，i!(n-3)!

3!(n-3)!VF啊!(〃-3)yP

3

叩,1"、(2(〃n-2丁)!评«,

n\1

n-l产叩(“-2)!1产

〃(,一"("一？尸

n川

而p(n-l)!0!

”(，一)题c3V

总和

00(1

从(3.12)和(3.13)可进而推得二项成数(百分数)分布的平均数和标准差。由于二项分布

的变量丫若除以样木容量〃就得到成数P，因此，二项成数的平均数和标准差为：

Y=P(3.14)

。，哼书⑶⑹

四、多项式分布批注[w8]:"式”去掉?

二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p,重复扔n次硬币，k次为正面的

概率即为一个二项分布概率。把二项分布公式再推广，就得到了多项分布，比如扔骰子，不

同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不同的点数，这样单次每个点数朝上的概率都是1/6（对

应〜仅，它们的值不一定都是1/6,只要和为I且互斥即可，比如一个形状不规则的骰子），

重发扔n次，如果问有x次都是点数6朝上的概率，这就是•个多项式分布问题。

设总体中共包含彳jk项事件，它们的概率分别为p/、p2、P，、…、。，显然P/+P吐出+…+次=1。

若从这种总体随机抽取n个个体，那么可能得到个数分别为丫72、力、一小，显然八+丫2+》”一

+yk=n0那么得到这样一个事件的概率为：

〃I批注[w9]:Yk!

-ym，％||\--.Px'PiPi…用（3.16）

川，2!%!••・，%!

这是多项式展开式中任意项（k项）的概率第数，这一概率分布称为多项式分布。

〔例3.3：调查市场某种保健药的药效，彳j效的概率1/2,无数的概率1/3,布.副作用的概

率1/6,若随机调查用过该药的2人，那么调查结果的概率是多少？（有些药虽然有效，但是

有副作用。若出现这种情况，这个实例就不是很好。）

调查的结果包括6种可能事件：2个人有副作用：I个人有副作用、1个人无效：2个人

无效：1个有效，I个有副作用：1个有效，1个无效；2个有效。

每个事件的概率计算如下表：

表工4多项式概率的计算

变量<yn丫2、y3）概率p<yryz、y?)

(0.0.2)O!O!2!(2)(3)Q)36

(

(0,1,1)O!1M!2]Q)(c,9

(0.2.0)。⑵。IK[Q)Q)9

(i.0.1)l!O!l!(2)QI(6>6

(1.1.0)Q)Q)-3

(2,0,0)2!O!O!(2)(3)Q)4

五、泊松（Poisson）分布

应用二项分布时，往往遇到一个概率〃或夕是很小值的事件，例如小于0.1,另一方面

〃又相当大，这样二项分布必将为另一种分布所接近，或者为一种极限分布。这一种分布称

泊松概率分布，简称泊松分布（Poissondistribution）。

即当二项分布而pf0时，可导得二个分布为:批注210J:推导得到

(3.⑺称为泊松分布.其中〃尸〃〃，"2.71828…：其在丫=k时的概率为：批注［wH］:都J

p{Y=k}=em^-(A=0,1,2,…)(3.18)

泊松分布仅具参数〃尸，W。因其是二项分布在〃->8而〃->()时的一个极限分布，故根批注［wl2［:(3.18)称为泊松分布

据二项分布总体平均数和标准差的计更公式，可以导得泊松分布的平均数和标准差为：批注［W13］:可汨到

7/=m(3.19)

a=>/m(3.20)

这一分布包括一个参数m,由m的大小决定其分布形状如图3.2。当m值,小时分布呈

很偏斜形状，m增大后则逐渐对称，趋近于正态分布,下节即将介绍。

图3.2不同m值的泊松分布(网络版本可以用彩图，但是纸质版，这个图不能区分)

泊松分布主要有两方面用途：一是在农业上有好多小概率事件，其发生概率/)往往

<0.1,甚至<0.01°对于这些小概率事件，往往都可用泊松分布描述其概率分诈，从而作

出需要的频率预期。二是由于泊松分布是描述小概率事件，因而二项分布当p<0.l和批注忤风：“且J或者“或”？

叩<5时，可用泊松分布近似。

［例3.4］资料矮杆香稻的出现概率“=0.0625,可看成是小概率事件。试以泊松分布解决例

3.2所提的两个问题。

①求得利=叩=30x0.0625=1.875,故根据(3.17)可：批注［W15J:<3,18)

p{y=0}=e_,87S=0.1534

所以，P{r>l}=l-0.1534=0.8466.

②&种植的株数”应满足：

P（y=0）=e-M=「=0.05

故:

-Igoos,1.3010

〃_1一=47.9=48（株）

plge0.0625x0.43429

上述结果和例3.2结果很相近。

第三节正态分布

正态分布(normaldisiribuiicn)也称高斯(Gauss)分布，是连续性变数佗理i仑分小i。客

观世界有许多现象的数据是服从或近似服从正态分布的，如玉米产量、小麦千粒重、水稻分

孽数等。许多统计分析方法都是以正态分布为基础，此外，还有许多随机变员的概率分布在

一定条件下以正态分布为其极限分布，因此，正态分布在理论和实践上都具有非常重要意义。

一、正态分布及其性质

(-)正态分布的定义

设有〃个独立的随机因素，每个因索都可能使观察值y产生一个偏离总体平均数〃的

微小误差，这个误差可正可负，且取上取负的概率相等。这样，浜差弓=(匕一〃)的分布

就相当于〃=4=0.5时的(4+〃)”展开。如果"T8,则可导得一个表示各匕出现的概率

密度的方程为：

f(Y)=—j=e2"(3.21)

上式是二项分布的极限，叫做正态误差曲线方程，或简称正态分布(normaldistribution)方

程，见图3.3。式中的/(丫)为正态分布下工的概率密度函数(probabilitydcnsityfunction),

即分布的高度：^=3.14159...：e=271828…：4和"分别为正态分布的总体平均数和

总体方差，其定义为:

V(ywy

〃=「：(3.22)

/=J：(y-〃)2/(y)dy[3.23)

图3.3〃=2,。2=2的正态分布

显然，正态分布的形状取决于〃和er?两个参数，故常将(3.21)描述的正态分布记为

N(〃,b,)，读作"具平均数为〃、方差为。2的正态分布”。

(-)正态分布的性质

1.正态分布曲线是以为对称轴，向左右两侧呈对称分布的一个单峰曲线。

2.概率分布密度函数/(y)在广H取最大值，正态分布曲线的算术平均数、中数和众数是相

等的，三者均合一位于N点上。

a正态分布曲线有两个参数M和e.尸魂定它在横轴上的位置,而c确定它的变异度,以参

数N和。的不同而表现为一系列曲线°所以任何一个特定正态曲线必须在其N和。确定后

才能确定如图3.4和图3.5。

图3.4平均数相同标准差不同的正态分布图3.5标准差相同平均数不同的正态分布

4•正态分布概率密度函数/（力是正函数，以x轴为渐近线，变量丫取值［-8,+8）。

5.正态分布密度曲线在），-〃=±1。处有"拐点”。

6.正态分布密度曲线与横轴之间的面积等于1.所以，曲线卜.x轴的任何两个定值

例如从丫=m到丫=”之间的面积，等于介于这两个定值间面积占总面积的成数，或者说等于

y落于这个区间内的概率。下面为几对常见的区间与其相对应的面积或概率值：

区间〃±1（7面积或概率=0.6827

〃±2。=0.9545

N±3。=0.9973

〃±L960a=0.9500

〃士2.576a=0.9900

（三）标准正态分布

正态分布曲线中，当两个参数〃=C,，1时的分布称为标准正态分布（standardnormal

distribution）o记作M。，1）«

为简化计算，对任何•个服从正态分布b?）的随机变量丫，都可以进行标准化转换，

转换成标准正态分布，即以一个新变数“替代y变数，取.V离其平均数的差数除以。进行转

换，则得

“=（3.24）

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将随机变量Y转换为服从标准止态分布的随机变量…称为标准正态离差

（standardnormaldeviate）,由之可将（3.21）式标准化为：

图3.6标准正态分布曲线（两个纵坐标，不妥）

（平均数〃为0,标准差a为1）

(四)标准正态分布的累积函数

为了便于计算概率，需要引出“分布的累积函数(cumulativefunction)F(“)。其定义

为随机变小于或小于等于某一定值处的概率，即对(3.25)计算从-8到〃，的定积分，

表示为：

F(M;)=P(u<M；)=J(3.26)

F(〃)也称为“的概率分布函数，其函数分布图如图3.7。前人已算好各个FQ)值，见附

表2。

图3.7〃分布的累积函数分布

横坐标为止您标准肉差“.双坐标为尸(z。

二、利用正态分布计算概率的方法

设标准正态离差%和%为两个实数，且/<小，计算〃在q到与区间内的出现概

率？由于和/是互斥事件，故有:

P(ll<U2)=P(U<M,)+P(M1<U<U2)

因此，

P(“i<//<//,)=P[u<w,)-P(u<%)=F(U2)-?'(«1)(3.27)

结合(3.24)可得•般正态分布概率低计算方法：若丫~、(〃,。2),要计算丫在匕到X区

间内的概率，等价于计算〃在相应的看到%区间内的概率，即

P(xW)oP(〃1<u<u2)

其中

ll\--U2-

CT<7

因此凡要计算任何一个正态分布的概率只须将y转换为〃值，然后查附表2便可以计

算y落于某一给定区间的概率。下面举出几例说明计算方法。

［例3.5］假定)，是一随机变数具有正态分布，平均数N=20,标准差。=4,试计算小于16,批注［wl6］:大写Y

小于28的概率，介于16和28区间的概率以及大于28的概率。

①首先将丫转换为“值。

y-/z16-20,

u=-―—=-------=-1

tr4

查附表2,当《=-1时，尸(-1)=0.1587,即)《16概率为0.1587。

②计算：

y-f.i28-20

查附表2,当《=2时,F(2)=09773,即yW28概率为0.9773。

③由①和②计算结果：P(16<><28)=0.9773-0.1587=0.8166

④由②计算结果，P(y>28)=l-P(y<28)=1-0.9773=0.0227

［例3.6］计算变量“:①同K1.96；②冷2.58；③“W1.65；④“42.33的概率。批注［W17J:标号放前面

①台附表2得”(—1.96)=0.025,户(1.96)=0.975由于“分布左右对称，故:

P(|«|<1.96)=P(uW1.96)—P(uW—1.96)=F(1.96)-F(-1.96)=0.95

②查得「(一2.58)=0.00494=0.005,F(2.58)=0.995,故：

P(|w|<2.58)=P(u<2.58)-P(u<-2.58)=尸(2.58)-尸(-2.58)=0.99

③查得广(1.65)=0.9505,0.95,故：

P(u41.65)=尸(1.65)=0.95

④查得尸(2.33)=0.9901=0.99，故：

P(u42.33)="2.33)=0.99

计算的几何意义见图3.8

图3.8〃分布的概论计算图示(这几个图可以去纵坐标)

由(3.24)可知y=;/+〃。，所以也可以说，虽然y的取值区间可为(TO,y)，但实

际上，在|y—“|sl.96cr和,一〃匕2.5&7(V-uS1.65b和V-uW2.3&T)范国内的概率已

分别达95%和99%：卜-〃|〉1.96<7和|丫一”>2.5&7(y-u>1.65(r和Fu>2.33<r)的概率

是很小的(分别为5%和1%).1.96和2.58(1.65和2.33)分别称为“分布的两尾和一尾临

界值，并记作〃蟠=1.96、〃咧=2.581.64和5训=2.33°该值与后面的假设测验

有关,更能记住。

三、二项分布的正态近