2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第10章数列综合练习题

2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第10章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=2^n-1B.a_n=2^n-2C.a_n=2^(n-1)D.a_n=2^(n+1)-1解析：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2(a_n+1)，即b_n=2b_n，其中b_n=a_n+1。因为a_1=1，所以b_1=a_1+1=2，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n。因此a_n=b_n-1=2^n-1，选A。2.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2（n∈N），则数列{a_n}的第5项为（）A.48B.54C.64D.72解析：由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-2=3(a_n-2)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-2。因为a_1=2，所以b_1=a_1-2=0，故{b_n}是首项为0，公比为3的等比数列，即b_n=0。因此a_n=b_n+2=2，第5项为2，选B。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2+n，则数列{a_n}的第3项为（）A.7B.9C.11D.13解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1，第3项为11，选C。4.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/(S_n-1)，则数列{a_n}一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.递增数列解析：由a_n=S_n/(S_n-1)，得S_n-a_n=S_n-1，即a_n=S_n-a_n，故2a_n=S_n。当n=1时，a_1=S_1=2a_1，矛盾。因此数列{a_n}不存在，选B。5.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），则数列{a_n}的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.2^n+1C.2^(n-1)-1D.2^(n+1)-1解析：由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_n=2^n-1，选A。6.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n+1)，则数列{a_n}一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.递减数列解析：由a_n=S_n/(n+1)，得S_n-a_n=S_n/(n+1)，即(n+1)a_n=S_n。当n=1时，a_1=S_1=2a_1，矛盾。因此数列{a_n}不存在，选B。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+n，则数列{a_n}的第4项为（）A.24B.27C.30D.33解析：由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第4项为20，选C。8.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/(n+1)，则数列{a_n}一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.递增数列解析：由a_n=S_n/(n+1)，得S_n-a_n=S_n/(n+1)，即(n+1)a_n=S_n。当n=1时，a_1=S_1=2a_1，矛盾。因此数列{a_n}不存在，选B。9.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n（n∈N），则数列{a_n}的前n项和S_n等于（）A.3^n-1B.3^n+1C.3^(n-1)-1D.3^(n+1)-1解析：由a_n+1=3a_n，得{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即a_n=3^(n-1)。因此S_n=(3^n-1)/2，选A。10.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n+1)，则数列{a_n}一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.递减数列解析：由a_n=S_n/(n+1)，得S_n-a_n=S_n/(n+1)，即(n+1)a_n=S_n。当n=1时，a_1=S_1=2a_1，矛盾。因此数列{a_n}不存在，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n+1)，则数列{a_n}的通项公式为________。参考答案：a_n=n/(n+1)解析：由a_n=S_n/(n+1)，得S_n-a_n=S_n/(n+1)，即(n+1)a_n=S_n。当n=1时，a_1=S_1=2a_1，矛盾。因此数列{a_n}不存在。2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的前5项和为________。参考答案：31解析：由a_n+1=2a_n+1，得a_n=2^(n-1)-1。因此S_5=1+1+3+7+15=31。3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{a_n}的第4项为________。参考答案：9解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1，第4项为9。4.已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2（n∈N），则数列{a_n}的通项公式为________。参考答案：a_n=3^(n-1)+1解析：由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1。5.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n+1)，则数列{a_n}的通项公式为________。参考答案：a_n=n/(n+1)解析：由a_n=S_n/(n+1)，得S_n-a_n=S_n/(n+1)，即(n+1)a_n=S_n。当n=1时，a_1=S_1=2a_1，矛盾。因此数列{a_n}不存在。6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+n，则数列{a_n}的第3项为________。参考答案：11解析：由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第3项为11。7.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），则数列{a_n}的前4项和为________。参考答案：15解析：由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_4=1+2+4+8=15。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{a_n}的第2项为________。参考答案：7解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1，第2项为7。9.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2（n∈N），则数列{a_n}的通项公式为________。参考答案：a_n=3^(n-1)+1解析：由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1。10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+n，则数列{a_n}的第5项为________。参考答案：23解析：由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第5项为23。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{a_n}是等差数列。（×）解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。因此a_n=4n-1，是等差数列。2.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），则数列{a_n}是等比数列。（√）解析：由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列。3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n+1)，则数列{a_n}是等差数列。（×）解析：由a_n=S_n/(n+1)，得S_n-a_n=S_n/(n+1)，即(n+1)a_n=S_n。当n=1时，a_1=S_1=2a_1，矛盾。因此数列{a_n}不存在。4.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则数列{a_n}是等比数列。（×）解析：由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。因此a_n=6n-2，是等差数列。5.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2（n∈N），则数列{a_n}是等比数列。（√）解析：由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列。6.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{a_n}是等差数列。（√）解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。因此a_n=4n-1，是等差数列。7.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），则数列{a_n}是等差数列。（×）解析：由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列。8.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则数列{a_n}是等比数列。（×）解析：由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。因此a_n=6n-2，是等差数列。9.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2（n∈N），则数列{a_n}是等差数列。（×）解析：由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列。10.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{a_n}是等比数列。（×）解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。因此a_n=4n-1，是等差数列。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2+n，求数列{a_n}的通项公式。参考答案：a_n=4n-1解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1。2.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），求数列{a_n}的前4项和。参考答案：15解析：由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_4=1+2+4+8=15。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+n，求数列{a_n}的第3项。参考答案：11解析：由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第3项为11。4.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2（n∈N），求数列{a_n}的通项公式。参考答案：a_n=3^(n-1)+1解析：由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2+n，求数列{a_n}的前5项和。参考答案：31解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1。因此S_5=1+1+3+7+15=31。6.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），求数列{a_n}的通项公式。参考答案：a_n=2^(n-1)解析：由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+n，求数列{a_n}的前4项和。参考答案：22解析：由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2。因此S_4=4+10+16+22=22。8.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2（n∈N），求数列{a_n}的前3项和。参考答案：8解析：由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1。因此S_3=2+4+8=14。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2+n，求数列{a_n}的第5项。参考答案：23解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第5项为23。2.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），求数列{a_n}的前6项和。参考答案：63解析：由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_6=1+2+4+8+16+32=63。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+n，求数列{a_n}的第4项。参考答案：14解析：由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第4项为14。4.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2（n∈N），求数列{a_n}的前7项和。参考答案：127解析：由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1。因此S_7=2+4+8+16+32+64+128=127。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2n^2+n，求数列{a_n}的第3项。参考答案：11解析：由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第3项为11。6.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），求数列{a_n}的前5项和。参考答案：31解析：由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_5=1+2+4+8+16=31。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+n，求数列{a_n}的第2项。参考答案：7解析：由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第2项为7。8.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2（n∈N），求数列{a_n}的前4项和。参考答案：14解析：由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1。因此S_4=2+4+8+16=30。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.B5.A6.B7.C8.B9.A10.B二、填空题1.a_n=n/(n+1)2.313.94.a_n=3^(n-1)+15.a_n=n/(n+1)6.117.a_n=3^(n-1)+18.79.a_n=3^(n-1)+110.23三、判断题1.×2.√3.×4.×5.√6.√7.×8.×9.×10.×四、简答题1.a_n=4n-12.153.114.a_n=3^(n-1)+15.316.a_n=2^(n-1)7.228.14五、应用题1.232.633.144.1275.116.317.78.30【解析】一、单项选择题1.由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2(a_n+1)，即b_n=2b_n，其中b_n=a_n+1。因为a_1=1，所以b_1=a_1+1=2，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n。因此a_n=b_n-1=2^n-1，选A。2.由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-2=3(a_n-2)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-2。因为a_1=2，所以b_1=a_1-2=0，故{b_n}是首项为0，公比为3的等比数列，即b_n=0。因此a_n=b_n+2=2，选B。3.由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1，第4项为15，选C。4.由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_4=1+2+4+8=15，选A。5.由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第5项为23，选D。6.由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1，选B。7.由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1，第4项为15，选C。8.由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_4=1+2+4+8=15，选A。9.由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第5项为23，选D。10.由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1，选B。二、填空题1.由a_n=S_n/(n+1)，得S_n-a_n=S_n/(n+1)，即(n+1)a_n=S_n。当n=1时，a_1=S_1=2a_1，矛盾。因此数列{a_n}不存在。2.由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2(a_n+1)，即b_n=2b_n，其中b_n=a_n+1。因为a_1=1，所以b_1=a_1+1=2，故{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n=2^n。因此a_n=b_n-1=2^n-1。因此S_5=1+1+3+7+15=31。3.由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1，第4项为15。4.由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1。5.由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。验证n=1时成立，故a_n=4n-1。因此S_5=1+1+3+7+15=31。6.由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_5=1+2+4+8+16=31。7.由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第4项为14。8.由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1。因此S_4=2+4+8+16=30。三、判断题1.由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。因此a_n=4n-1，是等差数列。2.由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列。3.由a_n=S_n/(n+1)，得S_n-a_n=S_n/(n+1)，即(n+1)a_n=S_n。当n=1时，a_1=S_1=2a_1，矛盾。因此数列{a_n}不存在。4.由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。因此a_n=6n-2，是等差数列。5.由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列。6.由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。因此a_n=4n-1，是等差数列。7.由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列。8.由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。因此a_n=6n-2，是等差数列。9.由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列。10.由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1。因此a_n=4n-1，是等差数列。四、简答题1.由S_n=2n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第5项为23。2.由a_n+1=2a_n，得{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a_n=2^(n-1)。因此S_6=1+2+4+8+16+32=63。3.由S_n=3n^2+n，得a_1=S_1=4。当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-2。验证n=1时成立，故a_n=6n-2，第4项为14。4.由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-3=3(a_n-1)，即b_n=3b_n，其中b_n=a_n-1。因为a_1=2，所以b_1=a_1-1=1，故{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即b_n=3^