2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第12章数列综合练习题

2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第12章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=2^n-1B.a_n=2^n-2C.a_n=2^n+1D.a_n=2^(n-1)-1解析：由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，所以a_n=2^n-1，选A。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+ln(b_n)（n∈N），则数列{b_n}的单调性为（）A.严格单调递增B.严格单调递减C.先增后减D.无法确定解析：由b_n+1-b_n=ln(b_n)可知b_n+1>b_n，故数列严格单调递增，选A。3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且c_1=1，c_n=c_(n-1)+n（n≥2），则S_5的值为（）A.15B.31C.45D.55解析：由c_n=c_(n-1)+n可得c_n-c_(n-1)=n，累加可得c_n=1+2+…+n=1/2n(n+1)，故S_5=1/2×5×6=15，选A。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n（n∈N），则数列{d_n}的前n项和S_n的表达式为（）A.S_n=2^n-1B.S_n=2^(n+1)-2C.S_n=2^n+1D.S_n=2^(n-1)-1解析：由d_n+1=2d_n可得{d_n}是首项为1、公比为2的等比数列，故d_n=2^(n-1)，S_n=2^n-1，选A。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则e_4的值为（）A.24B.30C.36D.42解析：e_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-3(n-1)^2-(n-1)=6n-2，故e_4=6×4-2=22，选B。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_(n-1)+f_(n-2)（n≥2），则f_7的值为（）A.13B.21C.34D.55解析：由f_n=f_(n-1)+f_(n-2)可得f_n是斐波那契数列，f_7=13，选A。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2-3n，则e_3的值为（）A.6B.9C.12D.15解析：e_3=S_3-S_2=2×3^2-3×3-(2×2^2-3×2)=6，选A。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n=h_(n-1)+2n（n≥2），则h_5的值为（）A.25B.30C.35D.40解析：由h_n=h_(n-1)+2n可得h_n=1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，故h_5=5×6+1=31，选B。9.已知数列{i_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则i_4的值为（）A.16B.20C.24D.28解析：i_4=S_4-S_3=4^2+4-(3^2+3)=16，选A。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n=j_(n-1)+3（n≥2），则j_6的值为（）A.15B.18C.21D.24解析：由j_n=j_(n-1)+3可得{j_n}是首项为1、公差为3的等差数列，故j_n=1+3(n-1)=3n-2，j_6=3×6-2=16，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{k_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2-3n，则k_3的值为______。解：k_3=S_3-S_2=2×3^2-3×3-(2×2^2-3×2)=6，参考答案：6。2.若数列{l_n}满足l_1=1，l_n=l_(n-1)+n（n≥2），则l_5的值为______。解：由l_n=l_(n-1)+n可得l_n=1+2+…+n=1/2n(n+1)，故l_5=1/2×5×6=15，参考答案：15。3.若数列{m_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则m_4的值为______。解：m_4=S_4-S_3=4^2+4-(3^2+3)=16，参考答案：16。4.若数列{p_n}满足p_1=1，p_n=p_(n-1)+2n（n≥2），则p_6的值为______。解：由p_n=p_(n-1)+2n可得p_n=1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，故p_6=6×7+1=43，参考答案：43。5.若数列{q_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则q_4的值为______。解：q_4=S_4-S_3=3×4^2+4-(3×3^2+3)=24，参考答案：24。6.若数列{r_n}满足r_1=1，r_n=r_(n-1)+3（n≥2），则r_7的值为______。解：由r_n=r_(n-1)+3可得{r_n}是首项为1、公差为3的等差数列，故r_n=1+3(n-1)=3n-2，r_7=3×7-2=19，参考答案：19。7.若数列{s_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2-5n，则s_3的值为______。解：s_3=S_3-S_2=2×3^2-5×3-(2×2^2-5×2)=6，参考答案：6。8.若数列{t_n}满足t_1=1，t_n=t_(n-1)+4（n≥2），则t_5的值为______。解：由t_n=t_(n-1)+4可得{t_n}是首项为1、公差为4的等差数列，故t_n=1+4(n-1)=4n-3，t_5=4×5-3=17，参考答案：17。9.若数列{u_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n+1，则u_4的值为______。解：u_4=S_4-S_3=4^2+4+1-(3^2+3+1)=16，参考答案：16。10.若数列{v_n}满足v_1=1，v_n=v_(n-1)+5（n≥2），则v_8的值为______。解：由v_n=v_(n-1)+5可得{v_n}是首项为1、公差为5的等差数列，故v_n=1+5(n-1)=5n-4，v_8=5×8-4=36，参考答案：36。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{w_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2-3n，则数列{w_n}是等差数列。（×）解析：w_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n-(2(n-1)^2-3(n-1))=4n-5，故数列{w_n}是等差数列，但题目表述错误。2.若数列{x_n}满足x_1=1，x_n=x_(n-1)+2（n≥2），则数列{x_n}是等比数列。（×）解析：x_n=1+2(n-1)=2n-1，故数列{x_n}是等差数列，不是等比数列。3.若数列{y_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则数列{y_n}是等差数列。（√）解析：y_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故数列{y_n}是等差数列。4.若数列{z_n}满足z_1=1，z_n=z_(n-1)+3（n≥2），则数列{z_n}是等比数列。（×）解析：z_n=1+3(n-1)=3n-2，故数列{z_n}是等差数列，不是等比数列。5.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2-5n，则数列{a_n}是等比数列。（×）解析：a_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-5n-(2(n-1)^2-5(n-1))=4n-7，故数列{a_n}是等差数列，不是等比数列。6.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_(n-1)+b_(n-2)（n≥2），则数列{b_n}是等差数列。（×）解析：数列{b_n}是斐波那契数列，既不是等差数列也不是等比数列。7.若数列{c_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则数列{c_n}是等比数列。（×）解析：c_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故数列{c_n}是等差数列，不是等比数列。8.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n=2d_(n-1)（n≥2），则数列{d_n}是等差数列。（×）解析：d_n=1×2^(n-1)，故数列{d_n}是等比数列，不是等差数列。9.若数列{e_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则数列{e_n}是等比数列。（×）解析：e_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2，故数列{e_n}是等差数列，不是等比数列。10.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_(n-1)+f_(n-2)（n≥2），则数列{f_n}是等差数列。（×）解析：数列{f_n}是斐波那契数列，既不是等差数列也不是等比数列。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{g_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2-3n，求证数列{g_n}是等差数列。证明：由S_n=2n^2-3n可得g_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n-(2(n-1)^2-3(n-1))=4n-5，故g_n=4n-5，即数列{g_n}是等差数列。2.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n=h_(n-1)+2n（n≥2），求证数列{h_n}是等差数列。证明：由h_n=h_(n-1)+2n可得h_n=1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，故h_n=n^2+n+1，即数列{h_n}是等差数列。3.若数列{i_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，求证数列{i_n}是等差数列。证明：由S_n=n^2+n可得i_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故数列{i_n}是等差数列。4.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n=j_(n-1)+3（n≥2），求证数列{j_n}是等差数列。证明：由j_n=j_(n-1)+3可得{j_n}是首项为1、公差为3的等差数列，即j_n=1+3(n-1)=3n-2，故数列{j_n}是等差数列。5.若数列{k_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，求证数列{k_n}是等差数列。证明：由S_n=3n^2+n可得k_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2，故数列{k_n}是等差数列。6.若数列{l_n}满足l_1=1，l_n=l_(n-1)+n（n≥2），求证数列{l_n}是等差数列。证明：由l_n=l_(n-1)+n可得l_n=1+2+…+n=1/2n(n+1)，故数列{l_n}是等差数列。7.若数列{m_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2-5n，求证数列{m_n}是等差数列。证明：由S_n=2n^2-5n可得m_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-5n-(2(n-1)^2-5(n-1))=4n-7，故数列{m_n}是等差数列。8.若数列{p_n}满足p_1=1，p_n=p_(n-1)+4（n≥2），求证数列{p_n}是等差数列。证明：由p_n=p_(n-1)+4可得{p_n}是首项为1、公差为4的等差数列，即p_n=1+4(n-1)=4n-3，故数列{p_n}是等差数列。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1万件，以后每年的产量比前一年增加2万件，求第5年的产量。解：设第n年的产量为a_n万件，则a_n=1+2(n-1)=2n-1，故第5年的产量为2×5-1=9万件。2.某城市人口增长速度为每年增加5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设2025年人口为P万，则P=100×(1+5%)^5=127.63万。3.某人存款计划每年存入银行1万元，银行年利率为4%，求第3年末的本息和。解：设第3年末本息和为S万元，则S=1×(1+4%)^3+1×(1+4%)^2+1×(1+4%)=3.1216万元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年的种植数量比前一年增加10棵，求第4年的种植数量。解：设第n年的种植数量为b_n棵，则b_n=100+10(n-1)=10n+90，故第4年的种植数量为10×4+90=130棵。5.某公司员工工资每年上涨10%，若2020年工资为5000元，求2024年的工资。解：设2024年工资为W元，则W=5000×(1+10%)^4=7024.64元。6.某产品成本第一年为10万元，以后每年的成本比前一年增加1万元，求第6年的成本。解：设第n年的成本为c_n万元，则c_n=10+(n-1)=n+9，故第6年的成本为6+9=15万元。7.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年的产量比前一年增加100件，求第5年的产量。解：设第n年的产量为d_n件，则d_n=1000+100(n-1)=100n+900，故第5年的产量为100×5+900=1900件。8.某城市道路建设，第一年修建5公里，以后每年的修建长度比前一年增加1公里，求第7年的修建长度。解：设第n年的修建长度为e_n公里，则e_n=5+(n-1)=n+4，故第7年的修建长度为7+4=11公里。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.B6.A7.A8.B9.A10.B二、填空题1.62.153.164.435.246.197.68.179.1610.36三、判断题1.×2.×3.√4.×5.×6.×7.×8.×9.×10.×四、简答题1.证明：由S_n=2n^2-3n可得g_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n-(2(n-1)^2-3(n-1))=4n-5，故g_n=4n-5，即数列{g_n}是等差数列。2.证明：由h_n=h_(n-1)+2n可得h_n=1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，故h_n=n^2+n+1，即数列{h_n}是等差数列。3.证明：由S_n=n^2+n可得i_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故数列{i_n}是等差数列。4.证明：由j_n=j_(n-1)+3可得{j_n}是首项为1、公差为3的等差数列，即j_n=1+3(n-1)=3n-2，故数列{j_n}是等差数列。5.证明：由S_n=3n^2+n可得k_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-(3(n-1