第四章§4.7解三角形中的最值与范围问题

§4.7解三角形中的最值与范围问题重点解读解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立角与边的数量关系.题型一利用基本不等式求最值(范围)例1(2025·保定模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(acosB+bcosA)=c，B=π3(1)求b的值；(2)求△ABC面积的最大值；(3)求△ABC周长的取值范围.解(1)因为b(acosB+bcosA)=c，由正弦定理可得，b(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，所以bsin(A+B)=sinC，又A+B=π-C，所以bsinC=sinC，因为sinC≠0，所以b=1.(2)因为B=π3，b=1由余弦定理得1=a2+c2-ac，所以1=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤1，当且仅当a=c=1时等号成立，所以S△ABC=12acsin=34ac≤3故△ABC面积的最大值为34(3)由(2)知1=a2+c2-ac，所以1=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3a+化简得(a+c)2≤4，即a+c≤2，当且仅当a=c=1时等号成立，又a+c>b=1，所以1<a+c≤2，所以2<a+b+c≤3，故△ABC周长的取值范围是(2，3].思维升华求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系.(1)求面积最值时，S=12bcsinA，即求bc的最值，在等量关系中利用基本不等式b2+c2≥2bc，即可求得bc的最值(2)求周长a+b+c的最值时，即求b+c的最值，在等量关系中，把b2+c2换成(b+c)2-2bc，再利用基本不等式bc≤b+c22，即可求得b跟踪训练1(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3，则下列说法正确的是()A.ac的最小值是4B.ac的最大值是4C.a+3c的最小值是3+23D.a+3c的最小值是4+23答案AD解析由题意知S△ABC=S△ABD+S△BDC，由角平分线的性质以及面积公式可得12ac·sin60°=12×3c·sin30°+12×3a·sin化简得ac=a+c，∴ac=a+c≥2ac，解得ac≥4，当且仅当a=c=2时，等号成立，故A正确，B错误；∵ac=a+c，∴1=1a+1∴a+3c=(a+3c)1a+1c=4+ac+3c当且仅当ac=3ca，即a=3+1，c=3+33时等号成立，故题型二转化为三角函数求最值(范围)例2(2025·哈尔滨模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=b(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，b=3，求2a-c的取值范围.解(1)因为asinA+C2=bsinA+C=π-B，由正弦定理得sinAsinπ−B2=sinBsin故sinAcosB2=2sinB2cosB2sin在△ABC中，0<A<π，0<B<π，所以sinA>0，0<B2<π则cosB2>0可得sinB2=1所以B2=π6，所以B=(2)由正弦定理可得2R=asinA=csinC=bsinB=33所以a=2sinA，c=2sinC，因为B=π3，则A+C=2π3，C=2π3所以2a-c=4sinA-2sin2π3−A=3sinA-3cosA=23因为△ABC为锐角三角形，则0<A<π2,0<C则A-π6∈0，π3，sinA故2a-c的取值范围是(0，3).思维升华利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.跟踪训练2(2026·杭州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是△ABC外一点，若a=b，且3(acosC+ccosA)=2bsinB.(1)求角B的大小；(2)若DA=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值.解(1)由题意及正弦定理得3(sinAcosC+sinCcosA)=2sin2B，即3sin(A+C)=2sin2B，所以3sin(π-B)=3sinB=2sin2B，而sinB>0，故sinB=32又a=b⇒A=B，则0<A+B=2B<π，即0<B<π2故B=π3(2)易知△ABC为等边三角形，令∠ADC=θ，θ∈(0，π)，则由余弦定理得AC2=1+4-2×1×2×cosθ=5-4cosθ，所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×AC2×sinπ3+12×DC×DA×=34(5-4cosθ)+sin=sinθ-3cosθ+5=2sinθ−π3故当θ=5π6时，四边形ABCD的面积取得最大值2+5题型三转化为其他函数求最值(范围)例3已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinAsinB(1)若C=π2，求B(2)求a+解(1)由sinAsinBab+c=c−bb，即c2∵C=π2，∴c2=a2+b2∴b2+ab=a2+b2，则a=b，即A=B，又C=π2，∴B=π(2)由(1)知，c2=b2+ab，∴a=c2−b2b由三角形三边关系可得a代入化简可得b<c<2b，∴a+cb=c2−b令x=cb，则x∈(1，2令f(x)=x2+x-1，1<x<2，∴f(x)=x+122-54∈∴c2b2+cb-1∈(∴a+cb的取值范围是(1，思维升华解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.跟踪训练3(2025·葫芦岛模拟)在△ABC中，若C=2A，则sinB+sinA的最大值是.

答案8解析因为C=2A，所以0<A+C=3A<π，即0<A<π3所以sinB+sinA=sin3A+sinA=sinAcos2A+cosAsin2A+sinA=sinA(1-2sin2A)+2cos2AsinA+sinA=sinA-2sin3A+2(1-sin2A)sinA+sinA=-4sin3A+4sinA，令t=sinA∈0，32，则f(t)=-4t3+4所以f'(t)=-12t2+4=-12t2−1当t∈0，33时，f'(t)则f(t)在0，3当t∈33，32时，f'(则f(t)在33所以f(t)max=-4×333+4×33即sinB+sinA的最大值是83课时精练[分值：60分]一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，则A的最大值为()A.2π3 B.π6 C.π2答案D解析依题意b+c=2a.则cosA=b2+=3(b2+c2当且仅当b=c时，等号成立，又A∈(0，π)，所以A的最大值为π32.(2026·秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=22，B=π4的三角形有两个，则bA.(0，22) B.(22，4)C.(2，4) D.(2，22)答案D解析在△ABC中，a=22，B=π4，由△ABC有两解，得即b<22,0<22所以b的取值范围为(2，22).3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=π3，则bA.(0，23) B.(3，23)C.(3，3) D.(6，3)答案B解析由正弦定理得asinA=即b=asinBsinA=3sinBsin又△ABC为锐角三角形，C=π-A-B=2π3-B又0<B<π2，0<C<π则0<2π3-B<π解得π6<B<π2，而当π6<x<π2时，y故sinB∈12所以b=23sinB∈(3，23).4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sinA.1 B.23C.42-5 D.22-2答案C解析因为cosA1+sinA则sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=sinC−所以C=π2+B，即有A=π2-2所以B∈0，π由正弦定理得a2+=co=(2co=4cos2B+2cos2B-5≥2当且仅当cos2B=22所以a2+b2二、多项选择题(共6分)5.(2025·济宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，且2c-b=2acosB，则下列结论正确的是()A.A=πB.△ABC外接圆的面积为πC.△ABC面积的最大值为3D.△ABC周长的最大值为33答案BCD解析对于选项A，因为2c-b=2acosB，由余弦定理得2c-b=2a×a2+c2−b22ac=a2+c则cosA=b2+c2−又A∈(0，π)，所以A=π3，故A对于选项B，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R=a2sinA=3所以△ABC外接圆的面积为πR2=π，故B正确；对于选项C，由b2+c2-a2=bc可得b2+c2=a2+bc=3+bc，且b2+c2≥2bc，即3+bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b=c=3时，等号成立，所以△ABC面积的最大值为12×3×32=33对于选项D，由b2+c2=3+bc可得(b+c)2=3+3bc，即bc=(b又bc≤(b+c)2解得(b+c)2≤12，即b+c≤23，当且仅当b=c=3时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为23+3=33，故D正确.三、填空题(共5分)6.(2025·成都模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1，b=2，则B+C的取值范围是.

答案5π解析根据三角形三边关系可得|a-b|<c<a+b，即1<c<3，又cosA=b2+c2−因为函数y=x+3x在(1，3)上单调递减，在(3，3所以c+3cmin=3+又1+31=4，3+33所以23≤c+3c<4，所以32≤cosA又A为三角形的内角，所以0<A≤π6，所以5π6≤B+四、解答题(共29分)7.(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB-bcosA-a+c=0.(1)求B的值；(6分)(2)若M为AC的中点，且a+c=4，求BM的最小值.(8分)解(1)由正弦定理及acosB-bcosA-a+c=0，得sinAcosB-sinBcosA-sinA+sinC=0，又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB-sinA=0，又A∈(0，π)，∴sinA>0，∴2cosB-1=0，即cosB=12又B∈(0，π)，∴B=π3(2)由M为AC的中点，得BM=12BA+而a+c=4，∴BM2==14BA2+14=14c2+14a2+12ac=14[(a+c)2-ac=14(16-ac)=4-14ac≥4-1当且仅当a即a=c=2时等号成立，∴BM的最小值为3.8.(15分)(2025·深圳模拟)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinB=atan(1)求B；(6分)(2)若b=2，求△ABC面积的取值范围.(9分)解(1)因为csinB=atan由正弦定理可得sinCsinB=sin=sinAsinC因为C∈0，π2，则sinC所以sinBcosC+sinBsinC=sinA，又因为sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，所以sinBsinC=cosBsinC，则sinB=cosB，因为B∈0，π2，则sinB=cosB即tanB=1，所以B=π4(2)因为C是锐角△ABC的内角，B=π4所以0<C<π2,0<A由正弦定理得cs