第四章§4.8解三角形应用举例

§4.8解三角形应用举例考试要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i=hl=tan1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)西南方向与南偏西45°方向相同.(√)(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.(×(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的夹角.(√)(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α+β=180°.(×)2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B()A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向答案D解析由题可知，∠CAB=∠CBA=40°，又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，所以∠DBA=10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC=BC=1km，且C=120°，则A，B两点间的距离为km.

答案3解析在△ABC中，易得A=30°，由正弦定理ABsinC=得AB=BCsinCsinA=2×1×32=4.某校高一年级的学生参加了实践活动，为了测量某一雕像的高度，在B，C处测得雕像最高点的仰角分别为π3和π6，且A=π2，BC=3m，则该雕像的高度AD为答案3解析∵A=π2，∠ABD=π3，C=∴∠BDC=π6，∴△BCD为等腰三角形，BC=BD=3，在Rt△ABDAD=BDsinπ3=3×32=3321.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.2.谨防两个易误点(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.题型一测量距离问题例1(1)(2025·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A.102海里 B.103海里C.202海里 D.203海里答案A解析依题意，如图，在△ABC中，∠BAC=70°-40°=30°，∠ABC=40°+65°=105°，则∠ACB=45°，AB=40×3060=20由正弦定理得BCsin∠BAC=即BCsin30°=20因此BC=20×12所以B，C两点间的距离是102海里.(2)(2026·六安模拟)如图，为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAC=105°，∠BAD=60°，∠ABC=45°，∠ABD=60°，则C，D间的距离为()A.2km B.3kmC.2km D.22km答案C解析在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=即BCsin105°=2sin(180°−105°−45°)，得BC=4sin105°=4sin在△ABD中，∠ABD=∠BAD=60°，△ABD是等边三角形，BD=AB=2，在△BCD中，∠DBC=15°，由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠DBC=16sin275°+4-2×4sin75°×2×cos15°=16sin275°+4-16sin275°=4，所以CD=2km.思维升华距离问题的解题策略选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.跟踪训练1如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB=5km，AD=7km，∠ABD=60°，∠CBD=23°，∠BCD=117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为km.(精确到0.1km，参考数据：sin40°≈0.643，sin117°≈0.891)

答案5.8解析在△ABD中，有AB=5，AD=7，∠ABD=60°，由余弦定理可得，AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD，即49=25+BD2-2×5×BD×12整理可得BD2-5BD-24=0，解得BD=8或BD=-3(舍去).在△BCD中，有BD=8，∠CBD=23°，∠BCD=117°，所以∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=40°.由正弦定理BDsin∠BCD=BC=BDsin∠BDCsin∠BCD=8sin40°sin117°≈8题型二测量高度问题例2(1)(2025·昆明模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB=60°，则塔高AB约为(2≈1.414)()A.30.42米 B.42.42米C.50.42米 D.60.42米答案B解析由题意，在△BCD中，∠CBD=180°-75°-45°=60°，由正弦定理可知30sin60°=BC即3032=BC22，得在△ABC中，易知AB⊥BC，∠ACB=60°，所以AB=BC·tan60°=106×3=302≈42.42(米).(2)(2026·重庆模拟)某同学为测量某塔的高度AB(塔底视为点B，塔顶视为点A)，在山脚下选取了两点C，D(其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内)，在点C处测得点A的仰角为30°，在点D处测得点A，B的仰角分别为60°，15°，测得CD=36(3+1)m，则按此法测得的该塔塔高为()A.68m B.70m C.72m D.74m答案C解析设直线CD，AB的延长线交于点E，则AE⊥CE.依题意，在Rt△AEC中，CE=AEtan30°=3AE在Rt△AED中，DE=AEtan60°=33而CD=36(3+1)，所以CE-DE=233AE=36(3得AE=18(3+3)，所以DE=33AE=18(3+1在Rt△BED中，BE=DEtan15°=DEtan(60°-45°)=DE·3−11+3=18(所以AB=AE-BE=72(m).思维升华高度问题的易错点(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.跟踪训练2(2025·楚雄模拟)某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处(B，C，N在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为()A.(15+452)m B.(45+152)mC.(15+453)m D.(45+153)m答案D解析sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=6−在Rt△ABC中，AC=ABsin∠ACB=在△ACM中，∠ACM=180°-60°-15°=105°，∠MAC=30°+15°=45°，则∠AMC=180°-∠ACM-∠MAC=30°，由正弦定理，得MCsin∠MAC=所以MC=ACsin∠MACsin∠AMC=30+303，在Rt△MNC中，MN=MCsin∠MCN=(30+303)×sin60°=45+153(m).题型三测量角度问题例3如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(303-30)海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.解(1)在△ABC中，AB=60，BC=303-30，∠ABC=180°-75°+15°=120°，根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(303-30)2-2×60×(303-30)cos120°=5400，所以AC=306.所以小岛A到小岛C的距离是306海里.(2)根据正弦定理得ACsin∠ABC=所以306sin120°=解得sin∠ACB=22在△ABC中，因为AB<AC，所以∠ACB为锐角，所以∠ACB=45°，所以∠CAB=180°-120°-45°=15°.由75°-15°=60°，得游船应该沿北偏东60°的方向航行.思维升华角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.跟踪训练3甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ=.

答案30°解析如图，设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC=180°-60°=120°，且ACBC=3由正弦定理得ACBC=sin120°sin∠BAC=3，所以sin∠BAC又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC=30°，所以θ=60°-30°=30°.课时精练[分值：70分]一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A点在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点间的距离为()A.502m B.503mC.252m D.2522答案A解析因为∠ACB=45°，∠CAB=105°，所以∠ABC=180°-45°-105°=30°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB=即ABsin45°=50sin30°，解得AB=50所以A，B两点间的距离为502m.2.(2025·河南省创新发展联盟联考)如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向.在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，A在B的南偏西30°方向，若A地地动仪正东方位的龙珠落下，B地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离B地()A.506km B.1006kmC.100(3+1)km D.120(3+1)km答案B解析如图，设震中位置为C地，由题意知在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=180°-60°-(30°+45°)=45°，AB=200.由正弦定理可得ABsin45°=BCsin60°，则BC=ABsin60°sin45°=故震中位置距离B地1006km.3.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A.30° B.45° C.60° D.75°答案B解析依题意可得AD=2010m，AC=305m，又CD=50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD=A=(30=600060002=又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD=45°，所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为45°.4.(2025·湖州模拟)为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为60°，若∠AOB=60°(A，O，B在同一水平面上)，则铁塔OT的高度为()A.107米 B.1021米C.307米 D.3021米答案B解析设铁塔OT的高度为h，依题意，OA=htan30°=3h，OB=htan60°=3在△AOB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB，即702=3h2+13h2-2·3h·33h·解得h=1021，所以铁塔OT的高度为1021米.二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2025·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有()A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β答案BCD解析对于A，当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；对于B，如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=h+ADsinβ，故B正确；对于C，如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC=ACtanα，故C正确；对于D，如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=ADsinα，故D正确.6.在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50°+θ方向与A舰艇对接并进行横向液货补给.若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则()A.B舰艇所需的时间为1小时B.B舰艇所需的时间为2小时C.sinθ=3D.sinθ=5答案AD解析如图，设B舰艇经过x(x>0)小时后在M处与A舰艇汇合，则MQ=50x，MP=70x，∠PQM=50°+70°=120°.根据余弦定理得(70x)2=302+(50x)2-3000xcos120°，解得x=1或x=-38即B舰艇所需的时间为1小时，A正确，B错误；故MQ=50，MP=70.由正弦定理得MQsinθ=解得sinθ=50sin120°70=5314，D正确，三、填空题(每小题5分，共10分)7.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD=60m，则河流的宽度BC=m.

答案120(3-1)解析在Rt△ABD中，AD=60，∠ABD=75°，则AB=60sin75°在△ABC中，∠BAC=75°-30°=45°，∠ACB=30°，则ABsin30°=BC所以BC=ABsin45°sin30°=120(3-1)(m).8.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50m，且山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ=.

答案3-1解析因为∠CBD=45°，所以∠ACB=45°-15°=30°，sin15°=sin(45°-30°)=6−在△ABC中，由正弦定理可得BCsin15°=100解得BC=50(6-2)，在△BCD中，由正弦定理可得50(6−2)sin∠BDC=50sin45°，解得即sin(θ+90°)=3-1，所以cosθ=3-1.四、解答题(共28分)9.(13分)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得∠GPM=75°，∠GPN=30°，在点G测得∠PGM=45°，∠MGN=75°，测得PG=6km.(1)求点P和点M之间的距离；(6分)(2)求两山顶M，N之间的距离.(7分)解(1)依题意可知PG=6km，∠GPM=75°，∠PGM=45°，所以∠PMG=60°，在△PMG中，根据正弦定理得PGsin∠PMG=所以6sin60°=PMsin45°，则PM=2(2)由题设知，在△PNG中，