-学年北师大版选择性必修第二册-13-导数的计算-作业

课后素养落实(十三)导数的计算(建议用时:40分钟)一、选择题1.假设函数f(x)＝cosx,那么

＝()A.0B.1C.－1D.以上均不正确A[注意此题中是先求函数值再求导,所以导数是0,应选A.]2．假设指数函数f(x)＝ax(a>0,a≠1)满足f′(1)＝ln27,那么f′(－1)＝()A.2B.ln3C.

D.－ln3C[f′(x)＝axlna,由f′(1)＝alna＝ln27,解得a＝3,那么f′(x)＝3xln3,故f′(－1)＝

.]3．直线y＝x＋a与曲线y＝lnx相切,那么a的值为()A.1B.2C.－1D.－2C[设切点为P(x0,y0),那么

解得a＝－1.]4．设曲线y＝ax2在点(1,a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行,那么a＝()A.1B.

C.－

D.－1A[因为y′＝2ax,所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.又由题设条件知切线的斜率为2,那么2a＝2,即a＝1,应选A.]5．(2021·全国Ⅲ卷)假设直线l与曲线y＝

和圆x2＋y2＝

都相切,那么l的方程为()A.y＝2x＋1B.y＝2x＋

C.y＝

x＋1D.y＝

x＋

D[易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y＝kx＋b,那么

＝

①,设直线l与曲线y＝

的切点坐标为(x0,

)(x0＞0),那么y′|

＝

x0

＝k②,

＝kx0＋b③,由②③可得b＝

,将b＝

,k＝

x0

代入①得x0＝1或x0＝－

(舍去),所以k＝b＝

,故直线l的方程为y＝

x＋

．]二、填空题6.假设f(x)＝x2,g(x)＝x3,那么满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________.1或－

[由导数的公式知,f′(x)＝2x,g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x),所以2x＋1＝3x2,即3x2－2x－1＝0,解得x＝1或x＝－

．]7.正弦曲线y＝sinx(x∈(0,2π))上切线斜率等于

的点为________.

或

[y′＝(sinx)′＝cosx＝

,∵x∈(0,2π),∴x＝

或

.]8.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak,a

)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1,其中k∈N＋.假设a1＝16,那么a1＋a3＋a5的值是________.21[∵y＝x2,∴y′＝2x,∴函数y＝x2(x>0)在点(ak,a

)处的切线方程为y－a

＝2ak(x－ak),令y＝0得ak＋1＝

ak．∴数列{an}是等比数列.又∵a1＝16,∴a3＝

a1＝4,a5＝

a3＝1,∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.]三、解答题9.求以下函数的导数:(1)y＝log2x2－log2x;(2)y＝2sin

.[解](1)∵y＝log2x2－log2x＝log2x,∴y′＝(log2x)′＝

.(2)∵y＝2sin

＝2sin

cos

＝sinx,∴y′＝cosx.10．经过点(3,0)斜率存在的直线l与抛物线y＝x2相交于A,B两点,且过两个交点的抛物线的切线相互垂直,求直线l的斜率k的值．[解]设l:y＝k(x－3).由

消去y,得x2－kx＋3k＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1x2＝3k.∵y′＝(x2)′＝2x,∴4x1x2＝－1,∴12k＝－1,∴k＝－

.11．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,那么x1·x2·…·xn的值为()A.

B.

C.

D.1B[对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1,得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1,∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1).令y＝0,得xn＝

,∴x1·x2·…·xn＝

×

×

×…×

×

＝

,应选B.]12.正弦曲线y＝sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,那么直线l的倾斜角的范围是()A．

∪

B．[0,π)C.

D.

∪

A[y′＝cosx,其值域为以点P为切点的切线的斜率的取值范围,为[－1,1],结合正切函数图象及直线倾斜角取值范围[0,π),可知此题答案为

∪

.]13．(多项选择题)以下各式中,正确的选项是()A.(ex)′＝exB.(lnx)′＝

C.(e2x)′＝2e2xD.(ln

)′＝

ABCD[根据求导公式可知AB正确,(e2x)′＝[(e2)x]′＝(e2)xlne2＝2e2x,(lneq\r(x))′＝(loge2x)′＝eq\f(1,xlne2)＝eq\f(1,2x)故CD正确.]14.[一题两空]曲线y＝

与y＝x2的交点坐标为________,它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________.(1,1)

[由

联立得交点为(1,1),而

＝－

,(x2)′＝2x,∴斜率分别为－1和2,∴切线方程为y－1＝－(x－1),及y－1＝2(x－1).令y＝0得与x