学年新教材高中数学第章直线与方程

课后素养落实(七)平面上两点间的距离(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知线段AB的中点坐标是(－2,3),点A的坐标是(2,－1),则点B的坐标是()A.(－6,7)B.(6,7)C.(6,－7)D.(－6,－7)A[设点B的坐标是(x,y),则

解得

]2．已知点M

,N

,且

＝2

,则实数m等于()A.1B.3C.1或3D.－1或3C[因为|MN|＝

＝

,所以

＝2

,即m2－4m＋3＝0,解得m＝1或m＝3,故选C.]3．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(－1,0),C(2,0),则△ABC的周长是()A.2

B.3＋2

C.6＋3

D.6＋

C[由题意知|AB|＝

＝3

,|AC|＝

＝3,|BC|＝

＝3,故△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3

.]4．以A(－1,1),B(2,－1),C(1,4)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A点为直角顶点的直角三角形D.以B点为直角顶点的直角三角形C[

＝

＝

,

＝

＝

,

＝

＝

,故

2＝

2＋

2,所以△ABC为直角三角形且以A为直角顶点.]5.(多选题)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于

的点的坐标是()A.(－4,5)B.(－3,4)C.(－1,2)D.(0,1)BC[设所求点的坐标为(x0,y0),有x0＋y0－1＝0,且

＝

,两式联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝2.))]二、填空题6.已知A,B两点都在直线y＝2x－1上,且A,B两点的横坐标之差的绝对值为

,则A,B两点间的距离为________.

[设点A(a,2a－1),点B(b,2b－1),∵|a－b|＝

,∴AB＝

＝

|a－b|＝

.]7.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且PA＝PB,若直线PA的方程为x－y＋1＝0,则直线PB的方程为________.x＋y－5＝0[由已知,得A(－1,0),P(2,3),由PA＝PB,得B(5,0),由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0.]8.已知A(1,2),B(－1,1),C(0,－1),D(2,0),则四边形ABCD的形状为________.正方形[由kAB＝

,kCD＝

,kBC＝－2,kAD＝－2得AB∥CD,BC∥AD,AB⊥BC,ABCD为矩形,又AB＝

＝

.BC＝

＝

,所以AB＝BC,故ABCD为正方形.]三、解答题9.求证:梯形中位线平行于上底和下底且等于上底与下底和的一半.[证明]如图为梯形ABCD,以线段BC的中点为原点,直线BC为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,分别取AB,CD,AC的中点E,F,G,连接EG,GF.设A(a,b),C(c,0),则B(－c,0).AB的中点E的坐标是

,AC的中点G的坐标是

.EG＝

＝|c|;BC＝2|c|,所以EG＝

BC.又E,G的纵坐标相同,所以EG∥BC.同理可证,FG＝

AD,FG∥AD.于是可得EF∥AD∥BC,EF＝EG＋FG＝

(BC＋AD)．而EF即为梯形的中位线.故梯形中位线平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半.10．已知三角形的顶点为A

,B

,C

．(1)求直线AC的方程;(2)从①②这两个问题中选择一个作答.①求点B关于直线AC的对称点D的坐标.②若直线l过点B且与直线AC交于点E,

＝3,求直线l的方程.[解](1)因为直线AC的斜率为kAC＝

,所以直线AC的方程为:y－3＝

(x－2),即直线AC的方程为：x－2y＋4＝0.(2)选问题①:设D的坐标为(m,n),则

解得:

点D的坐标是

.选问题②:设E的坐标为

,∵

＝3,∴

＝3,解得:t＝0或t＝－

,∴E的坐标为(0,2)或

,∴直线l的方程为x＝0或3x＋4y＋4＝0.11．已知A(5,2a－1),B(a＋1,a－4),当AB取最小值时,实数a的值是()A.－

B.－

C.

D.

C[AB＝

＝

,∴当a＝

时,AB取得最小值.]12.已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于

,则实数m的取值范围是________.

∪(2,＋∞)[由PQ＝

>

,解得m<－

或m>2.]13.已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A,函数y＝lgx的图象与x轴交于点B,点P在直线AB上移动,点Q(0,－2),则PQ的最小值为________.

[易知A(0,1),B(1,0),所以直线AB：y＝1－x.设P(x0,y0),又y0＝1－x0,所以PQ＝

＝

＝

,当x0＝

时,PQ取得最小值

.所以PQ的最小值为

.]14.直线l过点P(1,4),且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点.(1)当

＋

最小时,l的方程为________;(2)若

·

最小,求l的方程为________.(1)2x＋y－6＝0(2)x＋y－5＝0[(1)依题意,l的斜率存在,且斜率为负,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y－4＝k

.令y＝0,可得A

;令x＝0,可得B

．

＋

＝

＋(4－k)＝5－

＝5＋

≥5＋4＝9.∴当且仅当－k＝

且k<0,即k＝－2时,

＋

取最小值,这时l的方程为2x＋y－6＝0.(2)

·

＝

·

＝4

≥8

,当且仅当

＝－k且k<0,即k＝－1时,

·

取最小值,这时l的方程为x＋y－5＝0.]15.有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且AB＝AC＝13km,BC＝10km,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处.(建立坐标系如图)(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小,点P应位于何处?(2)若希望点P到三镇的最远距离最小,点P应位于何处?[解](1)设P的坐标为(0,y),则P至三镇距离的平方和为f(y)＝2(25＋y2)＋(12－y)2＝3(y－4)2＋146,所以,当y＝4时,函数f(y)取得最小值,点P的坐标是(0,4)．(2)设P至三镇的最远距离为g(y)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(25＋y2)，\r(25＋y2)≥|12－y|，,|12－y|，\r(25＋y2)＜|12－y|.))由

≥|12－y|计算得出y≥

,