-学年北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练试题含答案解析

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1.本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3.答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、如图,将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则∠A的正切值是(）A. B. C.2 D.2.如图,某建筑物AB在一个坡度为i＝1:0.75的山坡BC上,建筑物底部点B到山脚点C的距离BC＝20米,在距山脚点C右侧同一水平面上的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是42°,在另一坡度为i＝1:2.4的山坡DE上的点E处测得建筑物顶部点A的仰角是24°,点E到山脚点D的距离DE＝26米,若建筑物AB和山坡BC.DE的剖面在同一平面内,则建筑物AB的高度约为()(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45,sin42°≈0.67.cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)A.36.7米 B.26.3米 C.15.4米 D.25.6米3.如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点C,与反比例函数在第一象限内的图象交于点B,连接BO,若,,则的值是()A.(20 B.20 C.－5 D.54.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,则tanB的值为()A. B.1 C. D.25.如图,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则cos∠ACB的值为()A. B. C. D.6、如图,若要测量小河两岸相对的两点A,B的距离,可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C,测得BC＝50米,∠ACB＝46°,则小河宽AB为多少米()A.50sin46° B.50cos46° C.50tan46° D.50tan44°7、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)()A.3.2米 B.3.9米 C.4.7米 D.5.4米8、如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为1:2的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的垂面距离为()A.4m B.8m C.2m D.1m9、的倒数是()A. B. C.2 D.10、如图,在正方形中、是的中点,是上的一点,,则下列结论:(1);(2);(3);(4).其中结论正确的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷(非选择题70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、如图,点A、B、C都在格点上,则∠CAB的正切值为______.2.如图,等边的边长为2,点O是的中心,,绕点O旋转,分别交线段于D,E两点,连接,给出下列四个结论:①;②四边形的面积始终等于;③;④周长的最小值为3.其中正确的结论是________(填序号).3.已知斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为,则斜坡AB的长为________;坡角为________.4.如图,小明沿着坡度的坡面由到直行走了13米时,他上升的高度_______米.5.△ABC中,∠B为锐角,cosB＝,AB＝,AC＝2,则∠ACB的度数为________.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1.6tan230°﹣sin60°﹣2tan45°2.如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截.红方行驶1000米到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方.求红蓝双方最初相距多远(结果不取近似值).3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,过点C作CE∥AB,过点A作AE∥CD,两线相交于点E,连接DE.(1)求证:四边形AECD是矩形;(2)若,求DE的长.4.如图,小明想知道湖中两个小亭A.B之间的距离,他在与小亭A.B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处,测得亭A在点M的北偏东60°,亭B在点M的北偏东30°,当小明由点M沿小道l向东走60米时,到达点N处,此时测得亭A恰好位于点N的正北方向,继续向东走30米时到达点Q处,此时亭B恰好位于点Q的正北方向.根据以上数据,请你帮助小明在图中画出求湖中两个小亭A.B之间距离的示意图,标出相关条件和求解过程中相关线段的长度,并直接写出两个小亭A.B之间距离.5.如图,等腰Rt△ABC中,AB＝AC,D为线段BC上的一个动点,E为线段AB上的一个动点,使得CDBE.连接DE,以D点为中心,将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF,连接线段EF,过点D作射线DR⊥BC交射线BA于点R,连接DR,RF.(1)依题意补全图形;(2)求证:△BDE≌△RDF;（3）若AB＝AC＝2,P为射线BA上一点,连接PF,请写出一个BP的值,使得对于任意的点D,总有∠BPF为定值,并证明.-参考答案-一、单选题1.D【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形,然后利用正切的定义即可求解.【详解】解:连接BD,则BD＝,AD＝2,则tanA＝＝＝.故选D.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边,构造直角三角形是本题的关键.2.D【分析】如图所示,过E点做CD平行线交AB线段为点H,标AB线段和CD线段相交点为G和H由坡度为i＝1:0.75,BC＝20可得BG=16,GC=12,由坡度为i＝1:2.4,DE＝26可得DF=24,EF=10,分别在在中满足,在中满足化简联立得AB=25.6.【详解】如图所示,过E点做CD平行线交AB线段为点H,标AB线段和CD线段相交点为G和H∵在中BC＝20,坡度为i＝1:0.75,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴.在中DE＝26,坡度为i＝1:2.4,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴在中满足,在中满足,即,其中BG=16、BG=12.BH=BG-EF=6、DF=24,代入化简得,令2-有∴,∴AB=25.6.故选:D.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度,再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组,正确的列方程求解是解题的关键.3.D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标,然后根据△BOC的面积求得BD的长,然后利用正切函数的定义求得OD的长,从而求得点B的坐标,利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论.【详解】解:∵直线y=k1x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,4),∴OC=4,过B作BD⊥y轴于D,∵S△OBC=2,∴,∴BD=1,∵tan∠BOC=,∴,∴OD=5,∴点B的坐标为(1,5),∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B,∴k2=1×5=5.故选:D.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标,锐角三角函数,三角形面积,待定系数法求分别列函数解析式,解题的关键是作辅助线构造直角三角形.4.A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得,根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C=90°,∠A=60°,∴又故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余,求特殊角的三角函数值,理解特殊角的三角函数值是解题的关键.5.D【分析】根据图形得出AD的长,进而利用三角函数解答即可.【详解】解:过A作AD⊥BC于D,∴DC=1,AD=3,∴AC=,∴cos∠ACB=,故选:D.【点睛】本题主要考查了解直角三角形,解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义.6、C【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】解:在中,,,米,故选:C,【点睛】此题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是掌握三角函数的定义.7、C【分析】过点O作OE⊥AC于点F,延长BD交OE于点F,设DF＝x,根据锐角三角函数的定义表示OF的长度,然后列出方程求出x的值即可求出答案.【详解】解:过点O作OE⊥AC于点F,延长BD交OE于点F,设DF＝x,∵tan65°＝,∴OF＝xtan65°,∴BF＝3+x,∵tan35°＝,∴OF＝(3+x)tan35°,∴2.1x＝0.7(3+x),∴x＝1.5,∴OF＝1.5×2.1＝3.15,∴OE＝3.15+1.5＝4.65,故选:C.【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用,根据题意构建直角三角形是解本题的关键.8、C【分析】根据坡度的概念求出AC,得到答案.【详解】解:如图,∵AB的坡度为1:2,/

∴,即,

解得,AC=2,

故选:C.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.9、C【分析】根据cos60°＝进行结合倒数回答即可.【详解】解:由特殊角的三角函数值可知,cos60°＝,的倒数是,故:的倒数是2.故选C.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值和倒数,熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此类问题的关键.10、B【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得:△BAE∽△CEF,则可证得②正确,①③错误,利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF,即可求得答案.【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B＝∠C＝90°,AB＝BC＝CD,∵AE⊥EF,∴∠AEF＝∠B＝90°,∴∠BAE＋∠AEB＝90°,∠AEB＋FEC＝90°,∴∠BAE＝∠CEF,∴△BAE∽△CEF,∴,∵BE＝CE,∴BE2＝AB•CF.∵AB＝2CE,∴CF＝CE＝CD,∴CD=4CF,故②正确,③错误,∴tan∠BAE＝BE:AB＝,∴∠BAE≠30°,故①错误;设CF＝a,则BE＝CE＝2a,AB＝CD＝AD＝4a,DF＝3a,∴AE＝2a,EF＝a,AF＝5a,∴,.∴,∵∠ABE＝∠AEF＝90°,∴△ABE∽△AEF,故④正确.故选:B.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质以及正方形的性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.二、填空题1.【分析】过作垂直于的延长线于点,则为直角三角形,解直角三角形即可求解.【详解】如图:过作垂直于的延长线于点,为直角三角形在中故答案为:【点睛】本题考查的是解直角三角形,解题关键是结合网格的特点构造直角三角形,利用锐角三角形函数解答.2.①③④【分析】如图:连接OB.OC,利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°,再证明∠BOD=∠COE,可证△BOD≌△COE,即BD=CE、OD=OE,则可对①进行判断;利用得到四边形ODBE的面积,则可对③进行判断;再作OH⊥DE,则DH=EH,计算出S△DOE利用S△DOE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断;由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE,根据垂线段最短,当OE⊥BC时,OE最小,△BDE的周长最小,计算出此时OE的长则可对④进行判断.【详解】解:连接OB.OC,如图,

∵等边∴∠ABC=∠ACB=60°,∵点O是△ABC的中心,∴OB=OC,OB.OC分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°∵∠BOC=120°,即∠BOE+∠COE=120°,而∠DOE=120°,即∠BOE+∠BOD=120°,∴∠BOD=∠COE,在△BOD和△COE中∴△BOD≌△COE,∴BD=CE,OD=OE,所以①正确;∴∴四边形ODBE的面积=,故②正确;如图:作OH⊥DE,则DH=EH,∵∠DOE=120°,∴∠ODE=_OEH=30°,,HE即S△DOE随OE的变化而变化,而四边形ODBE的面积为定值,所以③错误;∵BD=CE,∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=2+DE=2+OE当OE⊥BC时,OE最小,△BDE的周长最小,此时∴△BDE周长的最小值=2+1=3,所以④止确.故填①③④.【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点,灵活应用相关知识成为解答本题的关键3.30°度【分析】如图,由题意得:再利用坡度的含义求解再利用的余弦函数值求解即可.【详解】解:如图,由题意得:又∵而故答案为:【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用,坡度,坡角的含义,由坡度求解出坡角为是解本题的关键.4.【分析】根据坡度的定义求得,即可求得的长【详解】解:∵∴设,则根据勾股定理可得故答案为:5【点睛】考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题和勾股定理,熟悉且会灵活应用公式:坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键。5.60°或120°【分析】根据题意,由于的长没有确定,故分类讨论,分是锐角和钝角两种情况画出图形,解直角三角形即可【详解】解:①如图,当是锐角时,过点作于点,cosB＝,AB＝,AC＝2,①如图,当是钝角时,过点作的延长线于点,cosB＝,AB＝,AC＝2,故答案为:或【点睛】本题考查了解斜三角形,构造直角三角形并分类讨论是解题的关键.三、解答题1.【分析】将,,代入式子计算即可.【详解】解:,,,∴原式,.【点睛】题目主要考查特殊角三角函数的混合运算,熟记特殊角的三角函数值是解题关键.2.红蓝双方最初相距()米.【分析】过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,红蓝双方相距AB=DF+CE.在Rt△BCE中,根据锐角三角函数的定义求出CE的长,同理,求出DF的长,进而可得出结论.【详解】解:过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,红蓝双方相距AB=DF+CE.在Rt△BCE中,∵BC=1000米,∠EBC=60°,∴CE=BC•sin60°=1000×=500米.在Rt△CDF中,∵∠F=90°,CD=1000米,∠DCF=45°,∴DF=CD•sin45°=1000×=500米,∴AB=DF+CE=(500+500)米.答:红蓝双方最初相距()米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,锐角三角函数的定义,正确理解方向角的定义,进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.3.(1)见解析;(2)DE=5.【分析】(1)先证明四边形AECD是平行四边形,再根据CD⊥AB于D,即可证明;(2)根据矩形的性质,得出∠BCD=∠ACE,再根据,得出,得出,在中即可得出.【详解】证明:(1)CE∥AB,AE∥CD,四边形AECD是平行四边形,CD⊥AB于D,∠CDA=90°,四边形AECD是矩形;(2)四边形AECD是矩形,∠DCE=∠AEC=90°,AC=DE,∠ACB=90°,∠DCB+∠ACD=90°,∠ACE+∠ACD=90°,∠BCD=∠ACE,,,,,,,,在中,,,.【点睛】本题考查了矩形的证明,锐角三角形的求解问题,解题的关键是根据正弦值求线段的长.4.米【分析】根据