2026中考第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+真题演练）第8课时：一次不等式（组）及其应用（学生版+教师版合并）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第8课时分式方程及其应用一、核心知识一、核心知识（一）不等式的相关定义不等式：用____________表示不等关系的式子。一元一次不等式：只含有___________未知数，且未知数的次数是__________，不等号两边都是整式的不等式。一元一次不等式组：由几个含有_________未知数的一元一次不等式组成的不等式组。不等式（组）的解集：使不等式（组）成立的未知数的____________，解集在数轴上表示时，含等号用____________，不含等号用____________，大于向右画，小于向左画。（二）不等式的基本性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向___________。性质2：不等式两边乘（或除以）同一个__________，不等号方向不变。性质3：不等式两边乘（或除以）同一个__________，不等号方向____________（中考高频考点）。注意：性质3是易错点，乘除负数时必须记得改变不等号方向。（三）一元一次不等式的解法基本步骤（与解一元一次方程类似）：去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要___________。去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时，括号内各项要____________。移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要___________。合并同类项：将同类项合并，化为等形式。系数化为1：两边同除以未知数的系数a，若a<0，不等号方向____________。（四）一元一次不等式组的解法分别求出不等式组中____________的解集。借助数轴或口诀确定公共解集：同大取大：两个解集都是大于，取____________。同小取小：两个解集都是小于，取__________。大小小大中间找：一个大于小数、一个小于大数，解集为两数之间。大大小小找不到：一个大于大数、一个小于小数，无解。（五）一次不等式（组）的应用常见题型：方案设计问题、最值问题、行程问题、工程问题、利润问题等。核心关键词：“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不超过”（≤）、“不低于”（≥）、“大于”（>）、“小于”（<）。解题步骤：。二、核心能力二、核心能力题型1.不等式的性质应用解题思路紧扣不等式的三个性质，重点关注性质3（乘除负数变号），判断变形过程是否符合性质要求，可通过代入特殊值验证。题型2.一元一次不等式（组）的求解与解集表示解题思路严格遵循解法步骤，去分母、移项时避免漏乘、漏变号；数轴表示解集时，先定边界点类型（实心/空心），再定方向（左/右）；不等式组解集需结合数轴或口诀快速确定。题型3.含参数的不等式（组）问题解题思路先解不含参数的不等式（组），再根据题目给出的解集、整数解个数等条件，列出关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围，注意边界值的取舍（是否含等号）。题型4.实际应用问题解题思路三、易错警示抓住题目中的不等关键词，准确转化为数学不等关系；设未知数时优先设直接未知数，若涉及整数解（如人数、件数），需在解集范围内取符合实际的整数。三、易错警示去分母漏乘常数项错误：解不等式2xx−1>6（漏乘常数项-1）；提醒：去分母时，不等式两边的每一项（包括常数项）都要乘最小公倍数。系数化为1忘变号错误：解不等式−2x>4时，解得x>−2（未变号）；提醒：系数为负数时，系数化为1必须改变不等号方向，正确解为x<−2。数轴表示解集出错错误：解集x≥2用空心圆点表示，或解集x<1向右画；提醒：含等号用实心圆点，不含等号用空心圆点，大于向右、小于向左。含参数问题忽略边界值错误：不等式组x<提醒：根据“是否包含边界值”分类讨论，可代入边界值验证是否符合题意。实际应用忽略自变量取值范围错误：方案设计问题中，解得人数为小数未取整数；提醒：实际问题中，自变量常为正整数，需在解集范围内筛选符合实际的解。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·河北模拟）若不等式“x◼3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（

）A.≤ B.< C.≥ D.>2.（24-25·广西中考）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a>b，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（

）A.a+c>b+c B.a+c=b+c C.a+c<b+c D.a−c<b−c3.（24-25·广东模拟）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（

）

A.b+c>3 B.a−c<0 C.|a|>|c| D.−2a<−2b4.（24-25·河南模拟）如图,天平左盘中物体A的质量为mg,,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则m的取值范围在数轴上可表示为()

A. B.

C. D.5.（24-25·贵州模拟）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（

）A. B.

C. D.6.（24-25·内蒙古中考）不等式组x−1≥0x<3 的解集在数轴上表示正确的是（

）A.B.C.D.

7.（24-25·广东模拟）若关于x,y的方程组2x+5y=3mx−3y=2+m 的解满足3x+2y>7，则mA.4 B.3 C.2 D.18.（23-24·江苏模拟）在平面直角坐标系中，点D(n, y1)，E(3, y2)在抛物线y=−xA.n>3或n<−1 B.n>3 C.n<−1 D.−1<n<39.（25-26·全国模拟）如图是某机器零件的设计图纸,在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸,正确的是(

)

A. B.

C. D.

10.（24-25·湖北模拟）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（

）

A.2<x≤4 B.2≤x<4 C.2<x<4 D.2≤x≤411.（24-25·天津模拟）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E,F分别为边AB,CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF,FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论：

①AD的长可以是10m；

②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m；

③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m．

其中，正确结论的个数是（

）

A.0 B.1 C.2 D.312.（24-25·江苏模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=3，b+c=5，则此三角形面积的最大值为（

）A.2 B.3 C.7 D.1113.（25-26·广东模拟）已知一次函数y=−x+2与y=mx+n(m,n为常数，m≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式−x+2>mx+n的解集在数轴上表示正确的是（

）

A.B.C.D.14.（24-25·浙江模拟）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（

）A.x+10%x<20 B.x+10%x≤20 C.1+10%x>20 D.15.（24-25·四川中考）若关于x的不等式组3x−12≤x+2x+1≥−x+a 至少有两个正整数解，且关于x的分式方程a−1x−1A.8 B.14 C.18 D.38（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·北京模拟）已知命题“若a>b，则ac>bc”是假命题，则c的值可以是__________________．17.（24-25·江苏模拟）已知a、b、c均为正数，且a2+b2−18.（24-25·吉林模拟）已知(m−3)x|m−2|≤5是关于x的一元一次不等式，则m19.（24-25·四川中考）若式子m−1m+2在实数范围内有意义，则m的取值范围是________．20.（23-24·江苏中考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v(kmh)的取值范围是______________．

21.（24-25·黑龙江中考）关于x的不等式组2x−3≤0x−a>0 恰有3个整数解，则a的取值范围是_____________．22.（24-25·四川中考）不等式组x−3>−1−x<−m+1 的解集是x>2，则m的取值范围是_____________．23.（25-26·甘肃模拟）如图，一次函数y=−x−2与y=kx+b的图象交于点P(n,−4)，则关于x的不等式kx+b<−x−2的解集为____________.

24.（23-24·青海模拟）如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A−12,0，B(2,0)，则不等式组kx+b<0mx+n<0 25.（24-25·河南模拟）如图，直线l1:y=x+3与直线l2:y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是

．

解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·河南模拟）解不等式：x+13−1≤2−x2，把它的解集表示在数轴上．

27.（24-25·江西模拟）解不等式组2x+1≤3①3x−1≥x−7② 

（1）解不等式①，得______；（2）解不等式②，得______；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为_____．28.（24-25·广西模拟）求不等式1+x3≥x−1的正整数解．29.（24-25·四川中考）解不等式：3x−26−x+33≤1；

(2)先化简，再求值：1−2xx+2÷30.（25-26·江苏模拟）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）．

我们规定：当n=0时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．

例如：不等式x+1<6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．

不等式组x+1>2，2x−3<7. 只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．

请根据定义完成下列问题：（1）x<12是______阶不等式；（2）若关于x的不等式组x≥1，x<a. 是4阶不等式组，求（3）关于x的不等式组x≥p，x<m. 的正整数解有a1，a2，a3，a4，…，其中a1<a2<a3<a4<31.（24-25·山东模拟）若关于x的不等式组2x+1>x+ax2+1≥52x−9 32.（24-25·辽宁模拟）桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用50m长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场MNPQ（篱笆只围PQ,PN两边），并在PQ,PN两边上各开一个1m宽的门，设PQ=xm．

（1）若养殖场的面积为Sm2，求：S关于（2）若在直角墙角内点A处有一水池，且与墙MQ,MN的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为352m2？若能，求出33.（24-25·山东模拟）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？34.（24-25·福建模拟）如图，已知函数y1=−12x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线AB

:y2（2）当y1>y2时，x的取值为___（3）设点M是x轴负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．若△PQB的面积为2，求点Q的坐标．35.（24-25·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象相交于点A和B(−4,−3)，点A的横坐标为2（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当y1≤y（3）点C为x轴上一动点，连接AC,BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标．

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第8课时不等式（组）及其应用一、核心知识一、核心知识（一）不等式的相关定义不等式：用______不等号（>、<、≥、≤、≠）______表示不等关系的式子。一元一次不等式：只含有______一个______未知数，且未知数的次数是______1______，不等号两边都是整式的不等式。一元一次不等式组：由几个含有______同一个______未知数的一元一次不等式组成的不等式组。不等式（组）的解集：使不等式（组）成立的未知数的______所有取值______，解集在数轴上表示时，含等号用______实心圆点______，不含等号用______空心圆点______，大于向右画，小于向左画。（二）不等式的基本性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向______不变______。性质2：不等式两边乘（或除以）同一个______正数______，不等号方向不变。性质3：不等式两边乘（或除以）同一个______负数______，不等号方向______改变______（中考高频考点）。注意：性质3是易错点，乘除负数时必须记得改变不等号方向。（三）一元一次不等式的解法基本步骤（与解一元一次方程类似）：去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要______乘最小公倍数______。去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时，括号内各项要______变号______。移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要______变号______。合并同类项：将同类项合并，化为“ax>b”“ax<b”等形式。系数化为1：两边同除以未知数的系数a，若a<0，不等号方向______改变______。（四）一元一次不等式组的解法分别求出不等式组中______每个不等式______的解集。借助数轴或口诀确定公共解集：同大取大：两个解集都是大于，取______较大的数______。同小取小：两个解集都是小于，取______较小的数______。大小小大中间找：一个大于小数、一个小于大数，解集为两数之间。大大小小找不到：一个大于大数、一个小于小数，无解。（五）一次不等式（组）的应用常见题型：方案设计问题、最值问题、行程问题、工程问题、利润问题等。核心关键词：“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不超过”（≤）、“不低于”（≥）、“大于”（>）、“小于”（<）。解题步骤：审（题意，找不等关系）→设（未知数）→列（不等式或不等式组）→解（不等式或不等式组）→检（解集的实际意义）→答（规范表述）。二、核心能力二、核心能力题型1.不等式的性质应用解题思路紧扣不等式的三个性质，重点关注性质3（乘除负数变号），判断变形过程是否符合性质要求，可通过代入特殊值验证。题型2.一元一次不等式（组）的求解与解集表示解题思路严格遵循解法步骤，去分母、移项时避免漏乘、漏变号；数轴表示解集时，先定边界点类型（实心/空心），再定方向（左/右）；不等式组解集需结合数轴或口诀快速确定。题型3.含参数的不等式（组）问题解题思路先解不含参数的不等式（组），再根据题目给出的解集、整数解个数等条件，列出关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围，注意边界值的取舍（是否含等号）。题型4.实际应用问题解题思路三、易错警示抓住题目中的不等关键词，准确转化为数学不等关系；设未知数时优先设直接未知数，若涉及整数解（如人数、件数），需在解集范围内取符合实际的整数。三、易错警示去分母漏乘常数项错误：解不等式2xx−1>6（漏乘常数项-1）；提醒：去分母时，不等式两边的每一项（包括常数项）都要乘最小公倍数。系数化为1忘变号错误：解不等式−2x>4时，解得x>−2（未变号）；提醒：系数为负数时，系数化为1必须改变不等号方向，正确解为x<−2。数轴表示解集出错错误：解集x≥2用空心圆点表示，或解集x<1向右画；提醒：含等号用实心圆点，不含等号用空心圆点，大于向右、小于向左。含参数问题忽略边界值错误：不等式组x<提醒：根据“是否包含边界值”分类讨论，可代入边界值验证是否符合题意。实际应用忽略自变量取值范围错误：方案设计问题中，解得人数为小数未取整数；提醒：实际问题中，自变量常为正整数，需在解集范围内筛选符合实际的解。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·河北模拟）若不等式“x◼3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（

）A.≤ B.< C.≥ D.>【答案】A【解析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案．【解答】解：不等式“x◼3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：≤，

故选：A2.（24-25·广西中考）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a>b，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（

）A.a+c>b+c B.a+c=b+c C.a+c<b+c D.a−c<b−c【答案】A【解析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数c，不等式方向不变，即可求解．【解答】解：∵初始时，两杯水的质量分别为a克和b克，

∴加入c克水后，两杯水的质量变为(a+c)克和(b+c)克，

∵a>b，

∴a+c>b+c，

故选：A

3.（24-25·广东模拟）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（

）

A.b+c>3 B.a−c<0 C.|a|>|c| D.−2a<−2b【答案】B【解析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a，b，c的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判a，b，c的正负．【解答】由数轴可得，−3<a<−2，−2<b<−1，3<c<4，

A、b+c<3，原选项判断错误，不符合题意，

B、a−c<0，原选项判断正确，符合题意，

C、根据数轴可知：|a|<|c|，原选项判断错误，不符合题意，

D、根据数轴可知：a<b，则−2a>−2b，原选项判断错误，不符合题意，

故选：B．

4.（24-25·河南模拟）如图,天平左盘中物体A的质量为mg,,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则m的取值范围在数轴上可表示为()

A. B.

C. D.【答案】D【解析】根据天平列出不等式组，确定出解集即可．【解答】解：根据题意得：{m>1m<2，

解得：1<m<2，

故选D．5.（24-25·贵州模拟）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（

）A. B.

C. D.【答案】A【解析】此题暂无解析【解答】解：∵x+1≥2

∴x≥1

故选A．6.（24-25·内蒙古中考）不等式组x−1≥0x<3 A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可．【解答】解：x−1≥0x<3 ，

解不等式x−1≥0，得x≥1，

∴不等式组的解集为1≤x<3，

∴不等式组x−1≥0x<3 的解集在数轴上表示是：

故选：C

7.（24-25·广东模拟）若关于x,y的方程组2x+5y=3mx−3y=2+m 的解满足3x+2y>7，则mA.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．根据题意将方程组相减得3x+2y=4m+2，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解．【解答】解：2x+5y=3m①x−3y=2+m② ，

①+②得：3x+2y=4m+2，

∵3x+2y>7

∴4m+2>7

解得：m>54，

∴m的最小整数解为2，

故选：C．

8.（23-24·江苏模拟）在平面直角坐标系中，点D(n, y1)，E(3, y2)在抛物线y=−A.n>3或n<−1 B.n>3 C.n<−1 D.−1<n<3【答案】D【解析】首先把二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，可得a=−1<0，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，求出点E到对称轴的距离|3−1|=2，根据y1>y2，列出不等式【解答】解：抛物线y=−x2+2x=−(x−1)2+1，

∵a=−1<0，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，

抛物线的对称轴为x=1，

∵E(3, y2)，|3−1|=2，y1>y2，

∴|n−1|<2，9.（25-26·全国模拟）如图是某机器零件的设计图纸,在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸,正确的是(

)

A. B.

C. D.

【答案】C【解析】此题暂无解析【解答】分析：L=10±0.1表示的意思是零件的长度与标准值10的差距在0.1或以内都是合格的．

详解：L=10±0.1表示长度大于10−0.1=9.9，并且小于10+0.1=10.1的范围内的零件都是合格的．故选C．

点睛：本题考查一元一次不等式组的应用，读懂数轴即可求解．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．10.（24-25·湖北模拟）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（

）

A.2<x≤4 B.2≤x<4 C.2<x<4 D.2≤x≤4【答案】A【解析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：{3(3x−2)−2≤283[3(3x−2)−2]−2>28，解之即可得出x的取值范围．【解答】解：依题意，得：

3(3x−2)−2≤28①3[3(3x−2)−2]−2>28②，

由①得：9x≤36

∴x≤4，

由②得：3(9x−8)>30，

∴9x−8>10,

∴x>2，

所以不等式组的解集为：2<x≤4．

故选：A11.（24-25·天津模拟）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E,F分别为边AB,CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF,FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论：

①AD的长可以是10m；

②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m；

③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m．

其中，正确结论的个数是（

）

A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得AD=EF=BC，AB=CD，即得3AD+CD=45，可得3AD≥45−21，得到AD≥8，即可判断①；设AD=BC=EF=xm，则CD=AB=43−3x+2=45−3x，可得S矩形ABCD=AD⋅CD=x(45−3x)，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解．【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，E,F分别为边AB,CD的中点，

∴AD=EF=BC，AB=CD，

∵篱笆的长度是43m，

∴AD+BC+EF+CD−2=43，

∴3AD+CD=45，

∵AB的长不超过21m，

∴3AD≥45−21，

∴AD≥8，

∴AD的长可以是10m，故①正确；

②设AD=BC=EF=xm，则CD=AB=43−3x+2=45−3x，

∴S矩形ABCD=AD⋅CD=x(45−3x)，

当x(45−3x)=150时，解得x1=5，x2=10，

∵AD≥8，

∴x=10，

∴BC的长为10m，故②错误；

③∵S矩形ABCD=x(45−3x)=45x−3x2=−3x−1522+6754，

∴二次函数S矩形ABCD=−3x−1522+

12.（24-25·江苏模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=3，b+c=5，则此三角形面积的最大值为（

）A.2 B.3 C.7 D.11【答案】B【解析】由题意得，计算p的值，代入S2中，利用不等式求出它的最大值．【解答】∵a=3，b+c=5，

∴p=12(a+b+c)=12(3+5)=4；

S2=4×(4−3)×(4−b)×(4−c)=4bc−4(b+c)+16=4(bc−4)≤4×(b+c2)2−4=4×94=9，

当且仅当13.（24-25·广东模拟）已知一次函数y=−x+2与y=mx+n(m,n为常数，m≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式−x+2>mx+n的解集在数轴上表示正确的是（

）

A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象得到当x<−1时，函数y=mx+n的图象都在y=−x+2的图象下方，所以不等式−x+2>mx+n的解集为，然后x<−1根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．【解答】解：根据函数图象可知，当x<−1时，−x+2>mx+n，

即不等式−x+2>mx+n的解集为x<−1，

故选：C．14.（24-25·浙江模拟）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（

）A.x+10%x<20 B.x+10%x≤20 C.1+10%x>20 D.【答案】C【解析】本题考查列一元一次不等式，根据做成清明粿质量超过20斤，列出不等式即可．【解答】解：由题意，可列出不等式为：1+10%x>20；

故选C．15.（24-25·四川中考）若关于x的不等式组3x−12≤x+2x+1≥−x+a 至少有两个正整数解，且关于x的分式方程a−1A.8 B.14 C.18 D.38【答案】B【解析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．【解答】解：3x−12≤x+2①x+1≥−x+a② 

解①得：x≤5

解②得：x≥a−12，

∵关于x的不等式组3x−12≤x+2x+1≥−x+a 至少有两个正整数解

∴不等式组的解集为a−12≤x≤5．

∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．

当a−12≤4时，解集包含x=4,5，

此时a≤9．

分式方程a−1x−1=2−31−x化简为：a−1x−1=2x+1x−1，

解得x=a−22．

要求解为正整数且x≠1，则a−22为大于等于2的整数，

即a为大于等于6的偶数．

∵a≤9，

∴a=6或8，

当（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·北京模拟）已知命题“若a>b，则ac>bc”是假命题，则c的值可以是_____0（答案不唯一）_____________．【答案】0（答案不唯一）【解析】本题主要考查了不等式的性质，真假命题，根据题意可得当a>b时，ac≤bc，则由不等式的性质可得c≤0，据此可得答案．【解答】解：∵命题“若a>b，则ac>bc”是假命题，

∴当a>b时，ac≤bc，

∴c≤0，

∴c的值可以为0，

故答案为：0（答案不唯一）．17.（24-25·江苏模拟）已知a、b、c均为正数，且a2+b2−c【答案】22/【解析】本题主要考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，算术平方根应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的基本性质．先根据a2+b2−c2=0得出a2+b2=c2【解答】解：∵a2+b2−c2=0，

∴a2+b2=c2，

∵(a−b)2≥0，

∴a2−2ab+b2≥0，

∴a2+b2≥2ab，

∴a2+b2+a2+18.（24-25·吉林模拟）已知(m−3)x|m−2|≤5是关于x的一元一次不等式，则m的值为________【答案】1【解析】本题考查了一元一次不等式的定义及计算，掌握一元一次不等式的定义列式求解是关键．

根据一元一次不等式得到|m−2|=1,m−3≠0，由此即可求解．【解答】解：已知(m−3)x|m−2|≤5是关于x的一元一次不等式，

∴|m−2|=1,m−3≠0，

∴m−2=1或m−2=−1，且m≠3，

∴m=3或m=1，且m≠3，

∴m=1，

故答案为：1．19.（24-25·四川中考）若式子m−1m+2在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____m≥1______．【答案】m≥1【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键．

根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到m−1≥0m+2≠0 ，再求解即可．【解答】解：∵式子m−1m+2在实数范围内有意义，

∴m−1≥0m+2≠0 ，

解得：m≥1，

∴m的取值范围是m≥1，

故答案为：m≥1．20.（23-24·江苏中考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v(kmh)的取值范围是_____54≤v≤72_________．

【答案】54≤v≤72【解析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

利用路程=速度×时间，结合小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出车速v(km/h)的取值范围．【解答】解：vkm/h=v3.6m/s．

根据题意得：v≥4032×v3.6≥48044×v3.6≤880(44+60)×v3.6≥880 ，

解得：54≤v≤72，21.（24-25·黑龙江中考）关于x的不等式组2x−3≤0x−a>0 恰有3个整数解，则a的取值范围是____−2≤a<−1【答案】−2≤a<−1【解析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键．【解答】解：解不等式2x−3≤0得：x≤32，

解不等式x−a>0得：x>a，

∵不等式组恰有3个整数解，

∴−2≤a<−1，

故答案为：−2≤a<−1．

22.（24-25·四川中考）不等式组x−3>−1−x<−m+1 的解集是x>2，则m的取值范围是_____m≤3【答案】m≤3【解析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键．

先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可．【解答】解：x−3>−1−x<−m+1 

解不等式x−3>−1得：x>2，

解不等式−x<−m+1得：x>m−1，

∵不等式组的解集是x>2，

∴m−1≤2，

∴m≤3．

故答案为：m≤323.（25-26·甘肃模拟）如图，一次函数y=−x−2与y=kx+b的图象交于点P(n,−4)，则关于x的不等式kx+b<−x−2的解集为_____x<2_______.

【答案】x<2【解析】先把P(n,−4)代入y=−x−2求出n的值，然后根据图像解答即可.【解答】把P(n,−4)代入y=−x−2，得

−n−2=−4，

∴n=2，

∴当x<2时，kx+b<−x−2.

故答案为：x<2.

24.（23-24·青海模拟）如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A−12,0，B(2,0)，则不等式组kx+b<0mx+n<0 的解集是____【答案】−12【解析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式组的解集．数形结合是解题的关键．

根据kx+b<0mx+n<0 的解集为直线y=kx+b和y=mx+n在x轴下方图象对应的x的取值范围，结合图象作答即可．【解答】解：由题意知，kx+b<0mx+n<0 的解集为直线y=kx+b和y=mx+n在x轴下方图象对应的x的取值范围，

由图象可得，−12<x<2，

故答案为：−125.（24-25·河南模拟）如图，直线l1:y=x+3与直线l2:y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是

x≤1

【答案】x≤1【解析】首先求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．【解答】解：把A(m,4)代入y=x+3得：4=m+3，解得：m=1，

则A(1,4)，

根据图象可得不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，

故此题答案为：x≤1．

解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·河南模拟）解不等式：x+13−1≤2−x2，把它的解集表示在数轴上．【答案】x≤2，见解析【解析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可.【解答】解：x+13−1≤2−x2，

2(x+1)−6≤3(2−x)，

2x+2−6≤6−3x，

2x+3x≤6+6−2，

5x≤10，

x≤2，

其解集在数轴上表示如下：

27.（24-25·江西模拟）解不等式组2x+1≤3①3x−1≥x−7② 

（1）解不等式①，得___x≤1___；（2）解不等式②，得__x≥−3____；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为__−3≤x≤1____．【答案】x≤1x≥−3见解答−3≤x≤1【解析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集；（4）根据数轴上的解集取公共部分即可．【解答】（1）解：解不等式①得x≤1，

故答案为：x≤1；（2）解：解不等式②得x≥−3，

故答案为：x≥−3；（3）解：在数轴上表示如下：

（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为−3≤x≤1，

故答案为：−3≤x≤1．28.（24-25·广西模拟）求不等式1+x3≥x−1【答案】1，2．【解析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键．【解答】解：去分母得，1+x≥3(x−1)，

去括号得，1+x≥3x−3，

移项得，x−3x≥−3−1，

合并同类项得，−2x≥−4，

系数化为1得，x≤2，

∴不等式的正整数解为1，2．29.（24-25·四川中考）解不等式：3x−26−x+33≤1；

(2)先化简，再求值：1−2xx+2÷【答案】x≤14；(2)−4x−2；当x=−1时，值为43；当x=1时，值为【解析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

(1)先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解；

(2)先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到x≠2,0,−2，再选择合适的整数代入求值即可．【解答】解：3x−26−x+33≤1，

3x−2−2(x+3)≤6，

3x−2−2x−6≤6，

解得：x≤14，

∴原不等式的解集为：x≤14；

(2)解：1−2xx+2÷2x2−4xx2+4x+4

=1−2xx+2×(x+2)22x(x−2)

=1−x+2x−2

=x−2x−2−x+2x−2

=x−2−x−2x−230.（25-26·江苏模拟）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）．

我们规定：当n=0时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．

例如：不等式x+1<6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．

不等式组x+1>2，2x−3<7. 只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．

（1）x<12是___0____阶不等式；x>1，x−3<0.（2）若关于x的不等式组x≥1，x<a. 是4阶不等式组，求（3）关于x的不等式组x≥p，x<m. 的正整数解有a1，a2，a3，a4，…，其中a1<a2<a3<a4<【答案】0、14<a≤5m=10；2<p≤3【解析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答；（2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解并用数轴表示出来，然后可得a的取值范围；（3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到p的取值范围．【解答】（1）∵x<12没有正整数解，

∴x<12是0阶不等式，

解x>1，x−3<0. 可得1<x<3，

∴x>1，x−3<0. 有一个正整数解2，

∴x>1，x−3<0.（2）如图，

由题意可得x≥1，x<a. 有4个正整数解：1、2、3、4；

∴a的取值范围是4<a≤5（3）∵2x−m=0，

∴x=m2，a3=m2，

∴m为偶数，且am−3=m−1，

∴m2+m−6=m−1，

∴m=10，

∴可得图如下所示：31.（24-25·山东模拟）若关于x的不等式组2x+1>x+ax2+1≥52x−9【答案】a=2或a=−1．【解析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．

根据题意可求不等式组的解集为a−1<x≤5，再分情况判断出a的取值范围，即可求解．【解答】2x+1>x+a①x2+1≥52x−9② ，

解不等式①得：x>a−1

解不等式②得：x≤5

∴a−1<x≤5

∵所有整数解的和为14，

∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，−1，

∴1≤a−1<2或−2≤a−1<−1，

∴2≤a<3或−1≤a<0，

∵a为整数，

∴a=2或32.（24-25·辽宁模拟）桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用50m长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场MNPQ（篱笆只围PQ,PN两边），并在PQ,PN两边上各开一个1m宽的门，设PQ=xm．

（1）若养殖场的面积为Sm2，求：S关于（2）若在直角墙角内点A处有一水池，且与墙MQ,MN的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为352m2？若能，求出【答案】S=−x2x=8【解析】（1）先