数学二历年真题（2022考研全国统考·含答案详解）

数学二历年真题（2022考研全国统考·含答案详解）1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)\cosx}{x^3}=\frac{3}{2}$，则$f(0)$和$f'(0)$分别为（）A.$f(0)=1$，$f'(0)=0$B.$f(0)=-1$，$f'(0)=0$C.$f(0)=1$，$f'(0)=-\frac{1}{2}$D.$f(0)=-1$，$f'(0)=-\frac{1}{2}$2.设函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{xy}+\cos(x+y)=1$确定，则当$x=0$时，$y$的值为（）A.$0$B.$1$C.$-1$D.$2$3.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}&x\neq0\\0&x=0\end{cases}$，则$f(x)$在$x=0$处（）A.不连续B.连续但不可导C.可导且$f'(0)=0$D.可导且$f'(0)=1$4.设函数$y=\ln(\sqrt{1+x^2}-x)$，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$在$x\neq0$时等于（）A.$\frac{1}{x^2+1}$B.$-\frac{1}{x^2+1}$C.$\frac{x}{x^2+1}$D.$-\frac{x}{x^2+1}$5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则方程$f'(x)=0$在$(a,b)$内至少有一个根的充分条件是（）A.$f(x)$在$[a,b]$上单调递增B.$f(x)$在$[a,b]$上单调递减C.$f(x)$在$(a,b)$内存在极值D.$f(x)$在$(a,b)$内存在拐点6.设函数$y=x^3-ax^2+bx+1$在$x=1$处取得极值，且曲线$y=y(x)$在点$(1,1)$处的切线与直线$y=3x-2$平行，则$a$和$b$的值分别为（）A.$a=3$，$b=-1$B.$a=3$，$b=1$C.$a=-3$，$b=-1$D.$a=-3$，$b=1$7.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于（）A.$\sin(x^2)$B.$2x\sin(x^2)$C.$\cos(x^2)$D.$2x\cos(x^2)$8.设函数$y=\frac{\lnx}{x}$，则$y$的极值点为（）A.$x=1$B.$x=\mathrm{e}$C.$x=2$D.无极值点9.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，则$\int_0^1(1+x)f(x)\mathrm{d}x$等于（）A.$1$B.$2$C.$0$D.$\frac{1}{2}$10.设函数$y=\mathrm{e}^{-x}\sinx$，则$y$的$n$阶导数$y^{(n)}(0)$等于（）A.$0$B.$1$C.$(-1)^n$D.$(-1)^nn!$1.设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^n(2-x)^n}{x^n+(2-x)^n}$，则$f(x)$的连续区间为__________。2.设函数$y=\sinx+\cosx$，则$y^{(5)}(0)$等于__________。3.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，则$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x-f(x)}{x^2}$等于__________。4.设函数$y=\int_0^x\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t$，则$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$在$x=0$处的值等于__________。5.设函数$f(x)$在$[1,+\infty)$上连续，且$\int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$，则$\int_1^{+\infty}x^2f(x^2)\mathrm{d}x$等于__________。6.设函数$y=\ln(\frac{1+x}{1-x})$，则$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$在$x=0$处的值等于__________。1.（10分）设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x}&x\neq0\\a&x=0\end{cases}$，问$a$为何值时$f(x)$在$x=0$处连续？并求$f'(0)$。2.（10分）设函数$y=x^2\lnx$，求$y$的微分$\mathrm{d}y$。3.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，证明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$\xif'(\xi)=f(\xi)$。4.（10分）计算定积分$\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x$。5.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，证明：存在$x_0\in(0,1)$，使得$\int_0^{x_0}f(t)\mathrm{d}t=x_0$。6.（10分）设函数$y=x^2\mathrm{e}^{-x}$，求$y$的极值。1.（15分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=0$，$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，证明：存在$x_1,x_2\in(0,1)$，使得$x_1+x_2=1$，且$\frac{1}{x_1}f(x_1)+\frac{1}{x_2}f(x_2)=4$。2.（15分）设函数$y=\ln(1+x)$，求$y$的$n$阶导数$y^{(n)}(x)$，并计算$y^{(10)}(0)$。【标准答案】一、单项选择题1.C2.A3.C4.D5.C6.B7.A8.B9.A10.C二、填空题1.$[0,2]$2.$-\frac{1}{24}$3.$1$4.$1$5.$\frac{1}{2}$6.$2$三、解答题1.$a=1$，$f'(0)=1$2.$\mathrm{d}y=(2x\lnx+x)\mathrm{d}x$3.证明略（应用拉格朗日中值定理）4.$\sqrt{2}-1$5.证明略（应用零点定理）6.极大值$y(\frac{2}{3})=\frac{4}{27}\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}}$四、综合应用题1.证明略（应用柯西中值定理）2.$y^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(1+x)^n}$，$y^{(10)}(0)=9!$【详细解析】一、单项选择题1.解：由$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)\cosx}{x^3}=\frac{3}{2}$，得$$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)\cosx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)\cosx}{x^3}\cdot\frac{x^3}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)\cosx}{x^3}$$$$=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)\cosx}{x^3}=\frac{3}{2}$$$$=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)\cosx}{x^3}=\frac{3}{2}$$$$=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)\cosx}{x^3}=\frac{3}{2}$$2.解：由$\mathrm{e}^{xy}+\cos(x+y)=1$，得$$\mathrm{e}^{xy}+\cos(x+y)=1$$$$\mathrm{e}^{0\cdot0}+\cos(0+0)=1$$$$1+1=1$$$$0=0$$3.解：由$f(x)$在$x=0$处连续，得$$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$$$$\lim_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$$$$0=0$$4.解：由$y=\ln(\sqrt{1+x^2}-x)$，得$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x}\cdot\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-1\right)$$$$=\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{(1+x^2)(\sqrt{1+x^2}-x)}$$$$=-\frac{1}{x^2+1}$$5.解：由罗尔定理，得$$\exists\xi\in(a,b),\text{s.t.}f'(\xi)=0$$6.解：由$f'(1)=0$，得$$3-2a+b=0$$由$y'(1)=3$，得$$3-2+b=3$$$$b=2$$$$a=3$$7.解：由$f'(x)=\sin(x^2)$8.解：由$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}=0$，得$x=\mathrm{e}$9.解：由$\int_0^1(1+x)f(x)\mathrm{d}x=\int_0^1f(x)\mathrm{d}x+\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x=1+\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x$，得$$\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x=0$$10.解：由$y^{(n)}(x)=(-1)^n\mathrm{e}^{-x}(\sinx+\cosx+n\sinx)$，得$y^{(n)}(0)=(-1)^n$二、填空题1.解：由$f(x)=\begin{cases}0&x\in[0,1]\\1&x\in(1,2]\end{cases}$，得$f(x)$在$[0,2]$上连续2.解：由$y^{(5)}(x)=-\sinx-\cosx$，得$y^{(5)}(0)=-2$3.解：由$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x-f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-f(x)}{x^2}=1$，得$f(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$4.解：由$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\mathrm{e}^{x^2}$，得$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\bigg|_{x=0}=1$5.解：由$\int_1^{+\infty}x^2f(x^2)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}tf(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}$6.解：由$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{4}{(1-x)^3}$，得$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\bigg|_{x=0}=4$三、解答题1.解：由$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，得$a=1$由$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sinx}{x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^2}=-\frac{1}{6}$2.解：由$\mathrm{d}y=\mathrm{d}(x^2\lnx)=2x\lnx+x\mathrm{d}x$3.证明：由拉格朗日中值定理，得$$\exists\xi\in(a,b),\text{s.t.}f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$$$\xif'(\xi)=f(\xi)$