带电粒子在磁场、复合场中的运动

带电粒子在磁场、复合场中的运动

(一)如何求解带电粒子在磁场的运动

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，求解的基本思路是：“定圆心，画轨迹，

根据几何知识求解”。熟练掌握5种定圆心的方法，确定圆心以后，一定要画出轨迹

图，然后构造三角形，而构造的三角形中一定要含有轨道半径以及题目的已知条件，

当涉及求粒子在磁场区域的运动时间时，一定要求出圆心角和周期，周期公式有两个,

当B已知时，宜采用丁二烟，当B未知时，宜采用7=空。

qBv

定圆心的5种方法：

(1)已知粒子进入磁场的位置和速度方向，还有轨道半径R,则圆心在洛仑兹力方向

上且离该点的距离为R,若无其他参考数据，R任意，若有其它参考数据，贝标应和其

它数据匹配；

(2)已知粒子经过磁场中某两点的位置以及这两点的速度方向，圆心则在这两点的

洛仑兹力方向的交点上；

(3)已知粒子经过磁场中的一个点以及该点速度方向，还有另一点(速度方向未知)，

圆心则在洛仑兹力方向与这两点连线中垂线的交点上；

(4)已知粒子进入磁场的位置和速度方向和离开磁场时的速度方向(具体的位置未

知)，则圆心必在速度夹角的角平分线上与洛伦兹力方向的交点上；

(5)若为圆形区域磁场，且粒子沿半径方向射入磁场，则粒子离开磁场时速度的反

向延长线必经过圆形磁场的圆心，故圆心在两洛伦兹力方向的交点上。

【例4】【2011年广东】如图(a)所示，在以O为圆心，.内外半径分别为RI和R2的圆环区域

内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量,，R,=R0,R2=3ROC一

电荷量为+q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入，不计重力。

⑴已知粒子从外圆上以速度片射出，求粒子在A点的初速度内的大小

⑵若撤去电场，如图19(b)所示，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度唳射出，方

向可OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间。

⑶在图(b)中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为内，方向不确定，要使粒子一定能够从外

圆射出，磁感应强度应小于多少？

20.如图所示，在坐标系中，第一象限除外的其它象限都充满匀强磁场，磁感应强度都为8=

0.12T、方向垂直纸面向内.P是），轴上的一点，它到坐标原点。的距离/=0.40m.一比荷

幺=5.0xl（）7c/kg的带正电粒子从P点开始进入匀强磁场中运动，初速%uB.Oxlym/s、方向

m

与），轴正方向成夹角〃=53°并与磁场方向垂直.不计粒子的武力作用.已知sinS3°=08.

cos53°=0.6,求：y

（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R.xx、丫。5--

（2）在第一象限中与x轴平行的虚线上方的区域内充满沿k轴Kxx一上

负方向的匀强电场（如图），粒子在磁场中运动一段时间后进入第xxx

一象限，最后恰好从尸点沿初速度的方向再次射入磁场.求匀强电~一X~~xx6XX*x

场的电场强度E和电场边界（虚线）与X轴之间的距离d.xxxBXXX

【思路分析】属于第种方法定圆心。

21.在半径为〃的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为笈一质量

为必带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径/切方向经。点射入磁场（不计

重力影响）.

⑴如果粒子恰好从力点射出磁场，求入射粒子的速度.

⑵如果粒子经纸面内0点从磁场中射出，出射方向与半圆

在0点切线方向的夹角为6,如图3所示,求入射粒子的速度.

【思路】第一种情况属于第种方法定圆心；第二种情况属于第______种方法定圆心。

22.如图所示，在yVO的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面并指向纸面外，磁感应

强度为B,一带正电的粒子以速度V。从0点射入磁场，入射方向在xOy平面内，与x轴正向的夹

角为0.若粒子射出磁场的位置与。点距离为L,求该粒子的电量和质量之比q/m.

【思路分析】属于第种方法定圆心F1

O

B

23.一匀强磁场，磁场方向垂直于打平面，在灯平面上，磁场分布在以0为中心的一个圆形区域

内.一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点0开始运动，初速为片方向沿x正方向.后来,

粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°,P到。的距离为L,如图所示.不计

重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和中平面上磁场区域的半径R?

【思路分析】属于第种方法定圆心。

24.在以坐标原点。为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为反方向垂宜于纸面

向里的匀强磁场，如图11所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度r

沿一*方向射入磁场，它恰好从磁场边界的交点。处沿+y方向飞出.

（1）判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷包；

m

（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为片该粒子仍以A处相同的

速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度少多大？

此粒子在磁场中运动所用时间£是多少？

【思路分析】第一种情况属于第种方法定圆心；第二种情况

属于第种方法定圆心。

25.如图所示，一带电质点，质量为〃?，电量为g,以平行于。;粕的速度u从），轴上的。点射入图

中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Qr轴的速度v射出，可在适当的

地方加一个垂直于个平面、磁感应强度为8的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求

这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计.

【思路分析】属于第一种方法定圆心

b

26.如图甲所示，在空间存在垂直纸面向里的场强为B的匀强磁场，其边界AB、CD相距为d,在左

边界的Q点处有一个质量为m、带电量大小为q的负电粒子，沿着与左边界成30°的方向射入磁场,

粒子重力不计，求；

（1）带电粒子能从AB边界飞出的所满足的速度条件；

（2）若带电粒子能垂直于CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且

不碰到负极板，则极板间电压以及整个过程中粒子在磁场中运动的时间为多少？

（3）若带电粒子的速度为（2）中速度的6倍，并可以从Q点沿纸面各个方向射入磁场，则粒子

能打到CD边界的长度为多少？

【思路分析】第一种情况属于第种方法定圆心;

第二种情况属于第种方法定圆心。

（二）如何求解带电粒子在E、B复合场中的运动

带电粒子如果是在E、B的垂直正交场中，粒子会做匀速直线运动，即qvB=qE,如

速度选择器，磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应等；带电粒子在E、B的有界组

合场中，粒子在E中要么做直线运动，首选动能定理，涉及到时间应根据牛顿第二定

律和运动学公式来求解，或者用动量定理求解，要么做类平抛运动，类平抛运动首选

运动的分解，也可以巧用结论，或者根据动能定理求解，粒子在B中一定会做匀速回

周运动，求解方法参照如何求解带电粒子的圆周运动，当然，求解时一定要画粒子的

运动轨迹图。

27.（18分）质谱仪的原理图如图甲所示。带负电粒子从静止开始经过电势差为U的电场加速后，

从G点垂直于MN进入偏转磁场，该偏转磁场是一个以直线MN为上边界方向垂直于纸面向里的匀

强磁场，磁场的磁感应强度为8,带电粒子经偏转磁场后，最终到达照片底片上的H点，测得G、

H间的距离为d,粒子的重力可忽略不计。

（1）设粒子的电荷量为q,质量为"7,试证明该粒子的比荷为：，=含7；

（2）若偏转磁场的区域为圆形，且与MN相切于G点，如图乙所示，其它条件不变，要保证上述

粒子从G点垂直于MN进入偏转磁场后不能打到MN边界上（MN足够长），求磁场区域的半径应满

足的条件。+一

HUJ加速电场

例文"-K-X贯9・M

x'Xxxx/xxx

XXP好场

XXXXXXXXX

甲

28.（18分）如图所示，.人N是平行金属板，板长为乙两板间距离为《，〃。板带正电，腑板带

负电,在国板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场.一个电荷量为。、质量为m的带负电粒子以速度

ro从MV板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从。板左边缘飞进磁场，然后又恰

好从⑶板的右边缘飞进电场.不计粒子重力.求：

（1）两金属板间所加电场的场强大小XXXXXXX

（2）匀强磁场的磁感应强度4的大小.XXXX*XX

B

XXXXXXX

29.如图所示,my为空间直角坐标系，PQ与），轴正方向成/30°角。在笫四象限和第一象限的MQ

区域存在磁感应强度为B的匀强磁场，在Pc”区域存在足够大的匀强电场，电场方向与PQ平行，

一个带电荷量为+夕，质量为，〃的带电粒子从-），轴上的AQ-L）点，平行于x轴方向射入匀强磁场，

离开磁场时速度方向恰与PQ垂直，粒子在匀强电场中经时间i后再次经过大轴，粒子重力忽略不

计。求：

（1）从粒子开始进入磁场到刚送入电场的时间「；

（2）匀强电场的电场强度E的大小。

/P

30.如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度8=0.40%

方向垂直纸面向里，电场强度后2.0Xl（）5v/m,国为板间中线.紧靠平行板右侧边缘x处坐标系

的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为氏的匀强磁场，磁场边界月。和y轴的

夹角/力花45°。一束带电量严>0><10-汽,质量炉8.0X1026kg的正离子从尸点射入平行板间,

沿中线”做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为（0,0.2n）的。点垂直y轴射入磁场区.

（正离子重力不计）

（1）离子运动的速度为多大？

（2）要使离子都不能打到x轴上，力令区域内磁感应强度大小〃应满足什么条件？

（3）若/勿区域内磁感应强度大小笈介于0.25T到0.5T之间，试求正离子经过才轴时的区域范

31.（18分）如图，带电量为+q、质量为m的粒子（不计重力）由静止开始经A、B间电场加速

后，沿中心线匀速射入带电金属板C、D间，后粒子由小孔M沿径向射入一半径为R的绝缘筒，

已知C、D间电压为U。，板间距离为d,C、D间与绝缘筒内均有垂直于纸面向里的匀强磁场，破

感应强度分别为B。、B.

（1）求粒子在C、D间穿过时的速度也；

（2）求A、B间的加速电压U；

（3）粒子与绝缘筒壁碰撞，速率、电荷量都不变，为使粒子在筒内能与筒壁碰撞4次（不含从

M孔出来的一次）后又从M孔飞出，求筒内磁感应强度B（用三角函数表示）.

（三）带电粒子在E、B、g复合场中的运动

（1）无约束的情形

所谓无约束，是指带电体只受到电场力、洛仑兹力和重力，不再受其它力，带电

体在只受这三个力时，其运动形式有两种：一种是匀速直线运动，带电体做匀速直线

运动时，电场力、洛仑兹力、重力三力平衡，另一种是匀速圆周运动，带电体做匀速

圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛仑兹力提供向心力.

32.如图所示，在足够大的空间范国内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀

强磁场，磁感应强度8=1.577.小球1带正电，其电量与质量之比幺=4C/kg,所受重力与电场力

町

的大小相等；小球2不带电，静止放置于固定和水平悬空支架上,小球1向右以vo=23.59m/s的水

平速度与小球2正碰，碰后经0.75s再次相碰.设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，旦始终保

持在同一竖直平面内.（取g=10m/s2）问:

（1）电场强度E的大小是多少？

（2）两小球的质量之比是多少？

（2）有约束的情形

所谓有约束的情形是指带电体被约束在某一范围内运动，如带电体在绝缘斜面上

滑动，带电体套在绝缘杆上在杆上滑动等.此时，带电体除了受到电场力、洛仑兹力

和重力以外，还会受到其它力，如弹力、摩擦力等，解决有约束的问题，关键在于正

确的受力分析，然后根据牛顿第二定律分析清楚物体的运动过程