统计学原理计算题及答案

统计学原理计算题及答案某省统计局2023年对省内120家规模以上制造业企业开展了经营状况抽样调查，收集到以下数据：企业员工人数（单位：人）、月均产值（单位：万元）、资产负债率（%）。部分关键数据整理如下：一、描述统计分析1.员工人数数据（已排序）：52,58,65,73,79,84,88,92,96,101,105,110,115,120,125,130（共16家企业）。要求计算：（1）员工人数的算术平均数、中位数、众数；（2）员工人数的极差、标准差（总体标准差）、变异系数；（3）判断数据分布形态（偏态系数计算，使用皮尔逊偏态系数公式）。解答：（1）算术平均数¯x计算分子：52+58=110；65+73=138；79+84=163；88+92=180；96+101=197；105+110=215；115+120=235；125+130=255。总和=110+138=248；248+163=411；411+180=591；591+197=788；788+215=1003；1003+235=1238；1238+255=1493。故¯x中位数：n=16为偶数，中位数是第8、9个数的平均值。第8个数是92，第9个数是96，中位数=(众数：所有数据均唯一出现，无众数（或记为“无明显众数”）。（2）极差R=总体标准差σ=(52-93.3125)²=(-41.3125)²=1706.77；(58-93.3125)²=(-35.3125)²=1247.91；(65-93.3125)²=(-28.3125)²=801.61；(73-93.3125)²=(-20.3125)²=412.60；(79-93.3125)²=(-14.3125)²=204.86；(84-93.3125)²=(-9.3125)²=86.72；(88-93.3125)²=(-5.3125)²=28.22；(92-93.3125)²=(-1.3125)²=1.72；(96-93.3125)²=(2.6875)²=7.22；(101-93.3125)²=(7.6875)²=59.09；(105-93.3125)²=(11.6875)²=136.60；(110-93.3125)²=(16.6875)²=278.52；(115-93.3125)²=(21.6875)²=470.39；(120-93.3125)²=(26.6875)²=712.28；(125-93.3125)²=(31.6875)²=1004.02；(130-93.3125)²=(36.6875)²=1345.02。离差平方和=1706.77+1247.91=2954.68；+801.61=3756.29；+412.60=4168.89；+204.86=4373.75；+86.72=4460.47；+28.22=4488.69；+1.72=4490.41；+7.22=4497.63；+59.09=4556.72；+136.60=4693.32；+278.52=4971.84；+470.39=5442.23；+712.28=6154.51；+1004.02=7158.53；+1345.02=8503.55。σ=变异系数CV（3）皮尔逊偏态系数SK二、概率分布应用某电商平台统计显示，用户下单后选择“次日达”物流的概率为0.6，且各用户选择独立。随机抽取10个下单用户，求：（1）恰好5个选择“次日达”的概率；（2）至少8个选择“次日达”的概率；（3）若该平台日订单量为5000单，“次日达”订单数的均值和方差。解答：设X为选择“次日达”的用户数，X~B(n=10,p=0.6)。（1）P(=252，故P（2）至少8个即X=8,9,10：P(P(P(总概率P(（3）日订单量n=5000，X~B(n=5000,p=0.6)，均值E(X)三、参数估计某高校2024级新生共3200人，随机抽取100名学生测量身高（单位：cm），得到样本均值172.5cm，样本标准差5.8cm。（1）以95%置信水平估计全校新生平均身高的置信区间；（2）若要求估计误差不超过0.8cm（95%置信水平），至少需抽取多少名学生？（3）另随机抽取50名学生调查是否参加过体育竞赛，其中22人回答“是”，以90%置信水平估计全校新生中参加过体育竞赛的比例的置信区间。解答：（1）总体方差未知，n=100（大样本），用t分布近似（或z分布）。95%置信水平，=1.96置信区间¯x（2）估计误差E=×，要求E≤（3）样本比例p=22/置信区间p±计算根号内：0.44×0.56=故区间0.44±四、假设检验某食品厂声称其生产的饼干每袋平均重量为200g，标准差为5g（长期数据）。质检部门随机抽取25袋，测得平均重量198g。（1）以α=0.05检验“平均重量是否为200g”；（2）若实际平均重量为199g，计算该检验的功效（β错误概率的补）。解答：（1）原假设:μ=200总体方差已知，n=25，检验统计量z=α=0.05，双侧检验临界值=±（2）功效=1-β，β为当μ=199时接受H₀的概率。接受H₀的条件是样本均值落在200±×σ当实际μ=199时，样本均值的分布为N(计算P(198.04≤¯X=(198.04199查标准正态分布表：P(Z≤2.96)=0.9985，P(Z≤-0.96)=0.1685，故β=0.99850.1685=0.83，功效=1-0.83=0.17。五、相关与回归分析某城市2018-2023年社会消费品零售总额（Y，亿元）与居民人均可支配收入（X，万元）数据如下：年份201820192020202120222023X3.23.53.84.14.44.7Y8909801050112012001280（1）计算X与Y的相关系数；（2）建立Y关于X的一元线性回归方程；（3）若2024年居民人均可支配收入预计为5.0万元，预测社会消费品零售总额。解答：（1）相关系数r=计算基础数据：n=6；∑X∑Y∑X=2848+3430+3990+4592+5280+6016=26156；∑=∑=代入公式：分子=6×2615623.7×6520=156936154524=2412；分母=计算第一部分：6×95.19=571.14；23.7²=