第九章§9.1随机抽样、统计图表

第九章统计与成对数据的统计分析§9.1随机抽样、统计图表考试要求1.知道获取数据的基本途径.2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样.3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性.1.总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量.2.简单随机抽样抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.3.分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.4.统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.(2)作频率分布直方图的步骤①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关.(×)(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样.(√)(3)在按比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(×)(4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.(√)2.(多选)(2025·白城模拟)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是()A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩B.样本是指1000名学生的数学成绩C.样本量指的是1000名学生D.个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩答案ABD解析总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，A正确；样本是指1000名学生的数学成绩，B正确；样本量是1000，C错误；个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，D正确.3.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为2∶3∶4.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从各区中抽取人员进行调研.已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为()A.90 B.120 C.180 D.200答案D解析设从核心区抽取的人数为n，因为各区的人口比例为2∶3∶4，且从开发区抽取的人数为300，可得3003=n2，解得n=2004.从某校随机抽取某次数学考试100分以上(含100分，满分150分)的学生成绩，将他们的分数绘制成如图所示的频率分布直方图.若共抽取了100名学生的成绩，则分数在[120，130)内的人数为.答案30解析因为频率分布直方图中所有的小矩形面积和为1，所以(0.005+0.035+a+0.020+0.010)×10=1，解得a=0.030，所以分数在[120，130)内的人数为100×0.030×10=30.1.利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等.2.频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆.题型一抽样方法例1(1)(2025·沈阳模拟)某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600.从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是()第2行3212671231023702147231098147802513254608第3行7120345119720138471804925128023127465130A.098 B.147 C.513 D.310答案C解析由题意可知得到的编号依次为231，023，147，098，513，…，则得到的第5个编号是513.(2)为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲、乙、丙3地的空气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点.已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为20，y，z，且依次构成等差数列，而20，y-10，z成等比数列，若用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取30个观测点，则丙地应抽取观测点的个数为()A.18 B.16 C.10 D.4答案B解析依题意知，20+z=2所以丙地应抽取观测点的个数为3020+50+80×思维升华(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②等可能抽取.(2)在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比=样本容量总体容量=各层样本容量跟踪训练1(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是()A.某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训B.从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验C.从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查答案B解析A选项中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训，每个人被抽到的概率不相等，故A错误；B选项中，从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验，是简单随机抽样，故B正确；C选项中，由于被抽取的样本总体的个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故C错误；D选项中，一次性抽取前10箱，每箱被抽到的概率不相等，所以不是简单随机抽样，故D错误.(2)(多选)(2026·重庆模拟)某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据.研究学科性别数学物理化学生物合计女1510243180男45401817120合计60504248200欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么()A.若按照研究学科进行按比例分配的分层随机抽样，则数学学科科研人员一定被抽取12人B.若按照性别进行按比例分配的分层随机抽样，则男性科研人员可能被抽取20人C.若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人D.若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员答案AD解析对于A，按照研究学科按比例分配的分层随机抽样，则数学学科抽样比为60200=310，则数学学科科研人员被抽取310×40=12对于B，按照性别进行按比例分配的分层随机抽样，男性抽样比为120200=35，则男性科研人员被抽到的人数为35×40=24对于C，若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定被抽取10人，故C错误；对于D，若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学学科科研人员，故D正确.题型二统计图表例2(1)(多选)2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告，统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则()A.2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上B.近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大C.从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增D.从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增答案ABC解析对于A，根据条形图，2024年，我国数字阅读用户规模为6.7亿，网民规模为11.1亿，6.711.1×100%≈60.36%，所以数字阅读用户规模约占网民规模的60.36%，故A对于B，近五年，我国数字阅读用户规模的增长量为6.7-4.94=1.76(亿)，网民规模的增长量为11.1-9.9=1.2(亿)，数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量，故B正确；对于C，根据条形图，可以看出，从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模在逐年递增，故C正确；对于D，根据条形图，从2020年至2021年，我国网民规模的增长率为10.3−9.99.9≈0.0404从2023年至2024年，我国网民规模的增长率为11.1−10.910.9≈0.0183，增长率减小了，故D错误(2)(多选)(2025·佛山模拟)佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图(图1)、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图(图2，单位：万人)，已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则()A.2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万B.2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和C.五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线D.五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线答案ABD解析因为2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则2016年的高明线的参与人数是1.5万人，对于A，根据扇形图得出1.50.075=20(万)，所以2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万，A2016年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为1.5万，3万，4.5万，5万，6万，2025年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为3万，5万，10万，12万，15万，对于B，因为12>5+6=11，2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和，B正确；对于C，五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是高明线，C错误；对于D，南海线的参与人数2025年与2016年相比增长率为15−66=32，顺德线的参与人数2025年与2016年相比增长率为12−55禅城线的参与人数2025年与2016年相比增长率为10−4.54.5=119，三水线的参与人数2025年与2016年相比增长率为5−33高明线的参与人数2025年与2016年相比增长率为3−1.51.5=1，所以五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线，D正确思维升华统计图表的主要应用(1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例.(2)折线图：描述数据随时间的变化趋势.(3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.跟踪训练2(1)(多选)某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图(图1)和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图(图2)，则下列说法中一定正确的是()A.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多B.芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过从事这两个行业总人数的25%C.芯片、软件行业从业者中，“90后”占比超过50%D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少答案BC解析对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为55%×37%=20.35%，芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的40%，但不知道从事技术岗位人数的比例，故无法确定两者人数的多少，A错误；对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为55%×(37%+13%)=27.5%，超过从事这两个行业总人数的25%，B正确；对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为55%，超过50%，C正确；对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为55%×14%=7.7%，“80前”占比5%，D错误.(2)(多选)给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有()A.从折线图能看出世界人口的变化情况B.2050年非洲人口大约将达到13亿C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢答案AC解析对于A，从折线图能看出世界人口的变化情况，所以是正确的；对于B，从条形图中可得到，2050年非洲人口将达到大约18亿，所以是错误的；对于C，从扇形图中能够明显的得到结论，2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，所以是正确的；对于D，由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，所以是错误的.题型三频率分布直方图例3某中学随机抽取50名学生进行体能测试，其得分(满分100分)如下(单位：分)：4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根据上面的数据，回答下列问题：(1)这次测试成绩的最高分和最低分分别是多少？(2)将区间[30，100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生体能测试成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图和频率分布折线图.解(1)这次测试成绩的最低分是32分，最高分是97分.(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下：分组频数频率[30，40)10.02[40，50)60.12[50，60)120.24[60，70)140.28[70，80)90.18[80，90)60.12[90，100]20.04合计501.00频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.思维升华频率分布直方图的相关结论(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)频率分布直方图中纵轴表示频率组距，每组样本的频率为组距×频率组距(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.跟踪训练3某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：(1)求分数在区间[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分？解(1)设分数在[70，80)内的频率为x，根据频率分布直方图，可得(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)×10+x=1，解得x=0.25，所以分数在[70，80)内的频率为0.25，补全这个频率分布直方图，如图所示.(2)因为分数在区间[80，90)内的频率为0.25，在区间[90，100]内的频率为0.05，而0.05<10%<0.25+0.05，设排名前10%的分界点为90-a，则0.025a+0.005×10=10%，解得a=2，所以排名前10%的分界点约为88分，即获奖的学生至少需要88分.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是()A.上述调查方式属于普查B.样本量是1200C.200名学生的视力是总体的一个样本D.200名学生是总体答案C解析对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误；对于B，样本量是200，所以B错误；对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确；对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误.2.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是()A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.红星中学共有学生1600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本C.从1000名工人中抽取100人调查上班途中所用的时间D.从生产流水线上抽取样本检查产品质量答案B解析A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样.3.(2025·岳阳模拟)某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，高三年级1100人，现采取按比例分配的分层随机抽样的方法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为()A.11，14，11 B.12，12，12C.14，12，10 D.13，12，11答案D解析用按比例分配的分层随机抽样的方法在各层中的每个个体被抽到的可能性为363600=1则在高一年级抽取的人数是1300×1100=13高二年级抽取的人数是1200×1100=12高三年级抽取的人数是1100×1100=11所以高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为13，12，11.4.把过期的药品随意丢弃，会对土壤和水体造成污染，危害人们的健康.如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图所示，其中对过期药品处理不正确的家庭有()A.79% B.80%C.18% D.82%答案D解析把过期药品扔到垃圾箱、拆开冲进下水道会污染土壤和水体，卖给不法收购者再制成药品也会危害人的健康，故处理不正确的家庭有79%+2%+1%=82%.5.为了解某校今年报考飞行员的学生的体重情况.将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为4，则某校报考飞行员的学生总人数是()A.40 B.32 C.28 D.24答案B解析由图可知后两个组频率为(0.0125+0.0375)×5=0.25，又因为从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第1小组的频率为(1-0.25)×11+2+3=0.125，又因为第1小组的频数为4，所以报考飞行员的学生人数是4÷6.(2025·成都模拟)居民消费价格指数(ConsumerPriceIndex，简称CPI)，是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.如图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况(同比=本期数−去年同期数去年同期数×100%，环比=本期数−上期数上期数A.2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格B.2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格C.2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格D.2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格答案C解析对于A，由图可知，2024年10月份食品烟酒类价格同比涨幅为2.0%，所以2024年10月份食品烟酒类价格高于2023年10月份食品烟酒类价格，故A错误；对于B，由图可知，2024年10月份教育文化娱乐类价格环比涨幅为0.2%，所以2024年10月份教育文化娱乐类价格高于2024年9月份教育文化娱乐类价格，故B错误；对于C，2024年10月份医疗保健类价格环比涨幅为0.0%，即2024年10月份医疗保健类价格等于2024年9月份医疗保健类价格，又2024年10月份医疗保健类价格同比涨幅为1.1%，所以2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格，故C正确；对于D，2024年10月份居住类价格环比涨幅为0.0%，即2024年10月份居住类价格等于2024年9月份居住类价格，又2024年10月份居住类价格同比涨幅为-0.1%，所以2024年9月份居住类价格低于2023年10月份居住类价格，故D错误.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.某大型企业对改善员工福利的A，B，C三种方案进行了问卷调查，调查结果如表所示(单位：人).支持A方案支持B方案支持C方案35岁以下20040080035岁及以上100100400则下列说法正确的是()A.所有参与调查的有2000人B.按照年龄进行按比例分配的分层随机抽样，则抽取35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为7∶4C.从所有参与调查的人中，按照支持方案用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，则n=40D.从支持B方案的人中，按照年龄用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是4答案AC解析由题意得，所有参与调查的人数为200+400+800+100+100+400=2000，A正确；35岁以下的人数为200+400+800=1400，35岁及以上的人数为100+100+400=600，所以按照年龄进行按比例分配的分层随机抽样，抽取35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为1400∶600=7∶3，B错误；从所有参与调查的人中，按照支持方案用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，则6100+200=n2000，解得n=40，从支持B方案的人中，按照年龄用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，年龄在35岁及以上的人数为5500×100=1，D错误8.(2025·本溪模拟)如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量(单位：千台)及其同比(与上一年同期相比)增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法正确的是()A.折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台B.折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台C.与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7%D.2024年前3个季度折叠屏手机出货量的同比增长率均为正数答案ABD解析折叠屏手机季度出货量的极差为2771-1857=914(千台)，即91.4万台，故A正确；将各季度折叠屏手机出货量(千台)从小到大排列为1857，2233，2505，2571，2771，故中位数为2505千台，即250.5万台，故B正确；同比是指与上一年同期相比，由题意知折叠屏手机2024年第二季度的出货量比2023年第二季度的出货量增加104.6%，设2023年第二季度的出货量为x千台，则2571−xx=1.046，解得x≈1256.598，又2233−1256.5981256.598×100%≈77.7%，故与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加77.7%由图可知，2024年前3个季度折叠屏手机出货量的同比增长率均为正数，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.一个总体的60个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从下面给出的随机数表的第1行第10列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的第五个样本的号码是.95339522001874720018387958693281768026928280842539答案17解析依题意，抽取的前5个样本的号码依次是01，47，20，28，17，所以抽取的第五个样本的号码是17.10.在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师根据数学内容所占课时比例，绘制如图所示的统计图表(图1~图3)，请根据图表提供的信息，回答下列问题：(1)图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为度；(2)图2，3中的a=，b=.答案(1)36(2)6014解析(1)由扇形图可知“统计与概率”所在扇形的圆心角为(1-45%-5%-40%)×360°=36°.(2)由图1和图2可知a=380×45%-67-44=60，由图3知b=60-18-13-12-3=14.四、解答题(共27分)11.(13分)(2025·西安模拟)为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程.为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图(部分信息未给出).根据统计图中的信息，解答下列问题.(1)求本次被调查的学生人数；(4分)(2)将条形统计图补充完整；(5分)(3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数.(4分)解(1)由条形统计图和扇形统计图可知，选择劳技的人数为60人，占比是30%，则被调查的学生人数为60÷30%=200.(2)选择文学的人数占比是15%，由(1)知被调查学生的人数为200，则选择文学的学生人数为200×15%=30，选择体育的学生人数为200-24-60-30-16=70，完成的条形统计图如图.(3)选择体育的人数占比为70200所以估计全校选择体育类的学生有1600×70200=560(人)12.(14分)(2023·新高考全国Ⅱ)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(6分)(2)设函数f(c)=p(c)+q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值.(8分)解(1)依题可知，患病者该指标的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5×0.002=0.01=1%>0.5%，所以95<c<100，所以(c-95)×0.002=0.5%，解得c=97.5，q(c)=0.01×(100-97.5)+5×0.002=0.035=3.5%.(2)当c∈[95，100)时，f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0