带电粒子的运动

例1、如图8—13所示，质量为m,带电量为q的粒子，以初速度v。，从A点竖直向上射入真空中的沿水平方

向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率VB=2V。，方向与电场的方向一样，那么A,B两点的电势差为：

BO=%

£立B,显C®D,应V

2qqq2qL:

画8—13

在竖直方向做匀减速直线运动：2gh=]①电场强、重力做~由,仲小则

Uq-mgh=2mv9--mvJ解方程①②，A,B两点电势差应为....-,应选C。

依据动能定理0°2°0q

*28

例2、置于真空中的两块带电的金属板，相距1cm,面积均为10cm,带电量分别为Qk2X10-匕Q2=-2X10-C,

假设在两板之间的中点放一个电量q=5Xl（T^的点电荷，求金属板对点电荷的作用力是多大？

iJQ1

4口之

ON

两个平行带电板相距很近，其间形成匀强电场，电场中的点电荷受到电场力的作用。

4兀♦kd

4X314X9X10s*X5XIO-8

-1.77X10-12（F）

两极间电势差为

E一口一1】*吗，一】.】3x

dIX10-

F=qE=5X10^X1.13X10*5=5.65X10-3144

例3、如图8—15电路中，电键K,Kz,K,均闭

合，在平行板电容器C的极板间悬浮着一带电油滴P,

（1）假设断开K,那么P将；（2）

假设断开"，那么P将；

（3）假设断开那么P将;（4）假

设断开Ko那么P将o

电容器充电完毕后，电容器所在支路的电流为零。电容器两端的电压与它所并联的两点的电压相等。此题

中四个开关都闭合时，有R“R?两端的电压为零，即R”艮两端等势（：电容器两端的电压与飞两端电压相等。（1）

假设断开K”虽然R被断开，但是R：两端电压仍为零，电容器两端电压保持不变，那么P将接着悬浮不动（2）

假设断开由于R被断开，电路再次到达稳定时，电容器两端电压将上升至路端电压电上的电压仍为零，使得

电容器两端电压上升，那么P将向上加速运动。（3）假设断开由于电源被断开，电容器两端电压存在一

个回路，电容器将放电至极板两端电压为零，P将加速下降。（4）K,断开，电容器两端断开，电量不变，电压

不变，场强不变，P将接着悬浮不动。

例4、有两个带电量相等的平行板电容器A和B,它们的止对面枳之比SA:SB=3：1,板长之比：LA：

LB=2：1,两板距离之比dA：dB=4：1,两个电子以一样的初速度沿与场强垂直的方向分别射入两电容器的匀强电

场中，并顺当穿过电场，求两电子穿越电场的偏移距离之比。

解法一：.「QA=QB，SA：SB=3：1解法二CJ,u担

.•.EA：EB=1：3dC

2

•/UA=UB,/.y=|at=^T

NZmv

yccel?,Ccc—

d,QA=QB，二刃底

VE：E=S：S=1：3,同解法I可求出口％=4：3

%MJVABBA

例5、在平行板电容器之间有匀强电场，一带电粒子以速度v垂直电场线射入电场，在穿越电场的过程

中，粒子的动能由L增加到2Ek,假设这个带电粒子以速度2V垂直进入该电场，那么粒子穿出电场时的动能为多

少？

建立直角坐标系，初速度方向为x轴方向，垂直于速度方向为y轴方向。设粒子的的质量m,带电量为q,

初速度v；匀强电场为E,在y方向的位移为y。速度为2V时通过匀强电场的偏移量为4,平行板板长为L。

N方向上：L=vt

y方向上：y

由于带电粒子垂直于匀强电场射入，粒子做类似平抛运动。

两次入射带电粒子的偏移量之比为

冯化丫

y=2mkv/=4

厂"lEqfiVF

2m

Eqy=2Ek—Ek

Eqy'=E'*」m(2v)2=Ej,'-4Ek

解方程组得：E，k=4.25EV

例6、A,B两块平行带电金属板，A板带负电，B板带正电,并与大地相连接，P为两板间一点。假设将一

块玻璃板插入A,B两板间，那么P点电势将怎样变更。

依据题意作出示意图，画出电场线，图8—17所示。

我们知道电场线与等势面间的关系；“电势沿着电

场线的方向着陆”所以UMUP-UBVO,B板接地UB=O

U8P=UB-UP=O-UPUp=-Ea

Q不变、坏变‘根据c=品用酢…嚏’插入玻璃板,介电常数*增大，电场强度减小，导致耳上升。

例7、lOOOeV的电子流在两极板中心斜向上方进入匀强电场，电场方向竖直向上，它的初速度与水平方向

夹角为30。,如图8—18。为了使电子不打到上面的金属板上，应当在两金属板上加多大电压U?

图8—18

电子流在匀强电场中做类似斜抛运动，欲使电子刚好不打金属板上，那么必需使电子在d/2内竖直方向分速度

减小到零，设此时加在两板间的电压为U,在电子流由C到A途中，

电场力做功WdElU由动能定理

12

UAC'E/EJ,，-Ek-m(v0cos300)-

4n

U,■旦・照史.25O(V)在匀强电肿九4魏U=2UAC=2X250=500(V)

4e4e2

至少应加500V电压，电子才打不到上面金属板上。

例8、如图8—19,一个电子以速度v°=6.0X10、/s和仰角a=45°从带电平行板电容器的下板边缘向

上板飞行。两板间场强E=2.0Xnrv/ni,方向自下向上。假设板间距离d=2.0X10%,板长L=10cm,问此电子能

否从下板射至上板？它将击中极板的什么地方？

图8—19

应先计算y方向的实际最大位移，再与d进展比拟推断。

qE1.6XlQ-19X2X10<

==35XIO%/?)在昉向的最大高度为尸卫=2.56XIO3(m：

a=31

m9.1xio-2a

vz46X]C)i3

・-2

xv^t———sin2a——.............1rz5-sin90°-1.03X10(m)

由于y.vd,所以电子不能射至上板。ma3.5XIO

例9、一个质量为m,带有电荷-q的小物块，可在水平轨道Ox上运动，。端有一与轨道垂直的固定墙，轨

道处于匀强电场中，场强大小为E,方向沿Ox轴正方向，如图8—20所示，小物体以初速V。从X。沿Ox轨道运动,

运动时受到大小不变的摩擦力f作用，且fVqE。设小物体与墙碰撞时不损失机械能且电量保持不变。求它在停

顿运动前所通过的总路程So

图S—20

立小物块从开场运动到停顿在0处的往复运动过程中位移为X0,来回路程为So依据动能定理有

qLEx。一f-s-O——1mv2

解得s=2q肥丁2

例10、如图8—21所示，长为L的绝缘细线，一端悬于0点，另一端连接一质量为m的带负电小球，置

于水平向右的匀强电场中，在。点正下方钉一个钉子。,，己知小球受到的电场力是重力的卡’现将细线向右水平拉

直后从静止释放，细线遇到钉子后要使小球刚好饶钉子0'在竖直平面内作圆周运动，求00'长度。

JE

图8—21

此题是一个摆在重力场和电场的叠加场中的运动问题，由于重力场和电场力做功都与路径无关，因此可以把两个场叠加起来看

成一个等效力场来处理，如图8—23所示，

amg

tge=产一、万

Eq

・•・0=60-«开场时，摆球在合力F的作用下沿力的方向作匀加速直线运动，从A点运动到B点,

Fl=­

由图8—23可知，AAOB为等边三角形，那么摆球从A到B,在等效力场中，由能量守恒定律得：23

在B点处，由于在极短的时间内细线被拉紧，摆球受到细线拉力的冲量作用，法向重量V2变为零，切向重量

v

V)=VBCOS30°=~y-B②

接着摆球以“为初速度沿圆弧BC做变速圆周运动，遇到钉子0,后，在竖直平面内做圆周运动，在等效力场中，过点0'做合

F=m*③

力F的平行线与圆的交点为Q,即为摆球绕0’点做圆周运动的“最高点”，在Q点应满意

回旋周期丁=答，T仅由磁感应强度B及粒子的荷质比决定，与粒

Bq子速度v,回旋半径R无关。因

此上、下两半圆弧粒子通过所需时间相等。动能的损耗导致粒子的速度的减小，结果使得回旋半径按比例减小，

周期并不变更。

例14、一个负离子的质量为m,电量大小为q,以速度VQ垂直于屏S经过小孔0射入存在着匀强磁场的真

空室中，如图10-15所示。磁感应强度B方向与离子的初速度方向垂直，并垂直于纸面对里。假如离子进入磁场

后经过时间t到这位置p,证明：直线OP与离子入射方向之间的夹角。跟t的关系是e=舞’。

如图10—16,当离子到达位置P时圆心角为△v2vsin8v2sin8

A△t2r0/vrd

OPvtvtBq

QJ=1

OPvt2d

Rrmv/Bqm其口支=2”—■一

v

而2d

a=由牛顿第二定律

8=乎~t,得证。--v2$in£sind

2mF=ma=m-r——f-----

向0

【小结】c.-sin82musin8

所C以nBqv-=-------

假如想用平均力的牛顿其次定律求解，那么要先求urt

平均加速度

0=t,得证。

2m

例15、如图10-17所示。在x轴上有垂直于xy平面对•里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y

铀负方向的匀强电场，场强为E。一页最为m,电荷星为q的粒子从坐标原点。沿着y轴正方向射出。射出之后，

第3次到达X轴时，它与点O的距离为L,求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s,（重力不计）。

x+XX

XXBXX

XXXX

XX

图10-17

粒子在磁场中的运动为匀速圆周运动，在电场中的运动为匀变速自线运动。画出粒子运动的过程草图10-19。依

据这张图可知粒子在磁场中运动半个周期后第•次通过x轴进入电场，做匀减速运动至速度为零，再反方向做匀

加速直线运动，以原来的速度大小反方向进入磁场。这就是其次次进入磁场，接着粒子在磁场中做圆周运动，半

个周期后第三次通过x轴。

L_BqR_BqL

由图10-19可知R=-"=工7=百

4

在电场中：粒子在电场中每一次的位移是1

在磁场中：7=%

Bqv=mv2/R

第3次到达x轴时，粒子运动的总路程为一个圆周

根据动能定理Eql=^mv2

和两个位移的长度之和。

乙

mv2m(BqL/4m)2冗LqB2I?

1=-----=------s--=---2--TC-R---+--21---+---------

2Eq2Eq216mE

例16、摆长为L的单摆在匀强磁场中摇摆，摇摆平面与磁场方向垂直，如图10-20所示。摇摆中摆线始终

绷紧，假设摆球带正电，电量为q,质量为m,磁感应强度为B,当球从最高处摆到最低处时，摆线上的拉力T

多大？

C点时的速度大小一样，方向相反。

球从左右两方经过最低点，因速度方向不同，引起

(a)(b)

f洛不同，受力分析如图10-21所示。曰于摇摆时f洛和F

校都不做功，机械能守恒，小球无论向左、向右摇摆过图10-21

12,------------------

mgL(l-cosCl)=—mv,v=J2gL(l-cosQ)

摆球从最高点到达最低点C的过程满意机械能守恒:乙

当摆球在C的速度向右，依据左手定那么，亮竖直向上，依据牛顿其次定律那么有

其次定律那么有

T+f/—mg=ma向=—

2

2v

T--mg=ma向=m—

T=m++mg-f泠=2mg(l-cosCL)+mg-BqvL

2

V

=3mg-2mgcosa-Bqj2gL(l-cosa)T=m—+mg+f达=2mg(l一cosa)+mg+Bqv

L福

=3mg-2mgcosQ+Bqj2gL(]-cosa)

当搜球在C的速度向左，f洛竖直向下，依据牛顿

所以摆到最低处时，摆线上的拉力T=3mg-2mgcosQ±Bqj2gL(l-cos。)

例17、设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面对里的匀强磁场，如图10-22所示，一离子在电场力和洛

仑兹力的作用下，从静止开场自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，忽视重力,

以卜说法正确的选项是:

A.这离子必带止电荷

B.A点和B点位于同一高度

C.离子在C点时速度最大

图10-22D.离子到达B点时，将沿原曲线返回A点

(1)平行板间电场方向向下,离子由A点静止释放后在电场力的作用下是向下运动，可见电场力肯定向下，所

以离子必带正电荷，选A。(2)离子具有速度后，它就在向下的电场力F及总与速度心垂直并不断变更方向的

洛仑兹力f作用下沿ACB曲线运动，因洛仑兹力不做功，电场力做功等于动能的变更，而离子到达B点时的速度

为零，所以从A到B电场力所做正功与负功加起来为零。这说明离子在电场中的B点与A点的电势能相等，即B

点与A点位于同一高度，选B。(3)因C点为轨道最低点，离子从A运动到C电场力做功最多，C点具有

的动能最多，所以离子在C点速度最大，选C。(4)只要将离子在B点的状态与A点进展比拟，就可以发

觉它们的状态(速度为零，电势能相等)•样，假如右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，离子就将在B之右

侧重现前面的曲线运动，因此，离子是不行能沿原曲线返回A点的。应选A,B,C为正确答案。

例18、如图10-24所示，空中有水平向右的匀强电场和垂直于纸面对外的匀强磁场，质量为m,带电量为

+q的滑块沿水平向右做匀速直线运动，滑块和水平面间的动摩擦因数为U，滑块与墙碰撞后速度为原来的一半。

滑块返回时，去掉了电场，恰好也做匀速直线运动，求原来电场强度的大小。

图10-24

碰撞前，粒子做匀速运动，Eq=U（mg+Bqv）.返回时无电场力作用仍做匀速运动，水平方向无外力，摩擦

Bqv/2=mg,解彳导E=3-"二区。

力f=0,所以N=0竖直方向上有q

例19、图10—25为方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场区域。电场强度为E,磁感强度为B,复合场的水平

宽度为d,竖直方向足够长。现有一束电量为+q、质量为m初速度各不一样的粒子沿电场方向进入场区，求能逸

出场区的粒子的动能增量A

由于带电粒子在磁场中受到洛仑兹力是与粒子运

动方向星直的。它只能使速度方向发生变。粒子速度越

大，方向变更越快。因此当一束初速度不同、电量为

+q、质最为m的带电粒子射入电场中，将发生不同程

度的偏转。有些粒子虽发生偏转，但仍能从入射界面的

对面逸巴场区（同错解答案）；有些粒子将留在场区内

运动；有些粒子将折回入射面并从入射面逸出场区。由

于洛仑兹力不会使粒子速度大小发生变更，故逸出场区

的粒子的动能增量等于电场力功。对于那些折回入射面

的粒子电场力功为零，其动能不变，均能增量AEk=0。

®10-25

例20、初速度为零的离子经过电势差为U的电场加速后，从离子枪T中水平射出，与离子枪相距d处有两

平行金属板MN和PQ,整个空间存在一磁感强度为B的匀强磁场如图10—26所示。不考虑重力的作用，荷质比

q/m（q，m分别为离子的带电量与质量），应在。么范围内，离子才能打到金属板，？

XX

TCZZXh->

XX

图10-26

径;茜》关系R2=d?+（R2

设离子带负电，假设离子正好打到金属板的近侧边缘M,那么其偏转半।1"'「2''

即得Ri=>①

R/=(2d)2+(R「；d)2,

假设离子正好打到金属板的远侧边缘N,那么其偏转半径满意关系

17

即得&=彳d②mRB

由洛仑