江苏省苏州市2027届高三年级9月阳光调研数学试卷（含答案）

2027届高三年级9月阳光调研试卷

数学2026.09

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题-第11题)、填空题(第12

题~第14题)、解答题(第15题-第19题).本卷满分150分，答题时问为120分钟.答题结束

后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规

定位置.

3.请在答题卡上按服顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5

毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y²=4x),B={ly²=4x},则A∩B=

A.B.{x|x>0}C.{x|x≥0}D.R

2.复数a+bi与c-di(a,b,c,d∈R,i为虚数单位)的积为实数的充要条件为

A.ac+bd=0B.ac-bd=0C.ad+bc=0D.ad-bc=0

3.直线2x-3y+1=0的一个方向向量可以是

A.(2,3)B.(2,-3)C.(3,2)D.(3,-2)

4.在△ABC中AB=4,BC=3,AC=√13,则B=

A.45°B.60°C.120°D.135°

5.由曲线x²+y²-2|x|-2|y≤0围成的图形的面积为

A.8π+8B.4π+8C.4π+4D.3π+8

6.已知w>0,函在)单调递减，则の的取值范围是

A.B.C.D.(0,2)

7.四名同学各掷股子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判

断出一定没有出现点数6的是

A.平均数为3,中位数为2B.平均数为2,方差为2.4

C.中位数为3,众数为2D.中位数为3,方差为2.8

8.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若

AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为

A.2B.√5C.2√2D.3

高三数学第1页共4页

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.关于空间平面α、β、γ和直线1,下列命题中正确的是

A.若α⊥β,则α内一定存在直线平行于β

B.若α⊥β,则α内所有直线都垂直于β

C.若α⊥γ,β⊥γ,a∩β=1,则11γ

D.若α不垂直于β,则α内一定不存在直线垂直于β

10.当α变化时，有关x²sina+y²cosa=1表示曲线的说法正确的是

A.当α为第一象限角时，方程表示椭圆

B.当α为第二象限角时，方程表示焦点在x轴的双曲线

C.当α的终边在x轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线

D.当α为第四象限角时，方程表示焦点在y轴的双曲线

11.由数字0,1,2,4组成没有重复数字的三位数或四位数，现从中随机选取一个数，下列说法正

确的是

A.四位数18个

B.若抽到四位数，则比1204大的概率为·

C.三位偶数12个

D.若抽到三位偶数，则被3整除的概率为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.经过点P(-2,0)作直线1,若1与连接A(-1,2),B(3,1)两点的线段有公共点，则I的斜率k

的取值范围为▲

13.已知函数(e为自然对数的底数).记a=f(√2),b=f(√3),c=f(√6),则

a,b,c三者中最大的是▲_,最小的是▲.(第一空3分，第二空2分)

14.从关于变量x和y的4对随机观测数据(2,2),(3,-1),(4,-4),(5,-5)中随机取三对，则相关系

数的最小值为▲.(相关系数

高三数学第2页共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

如图是函的部分图象，f(x)的图象向右平移个

单位长度后得到的函数g(x)的图象，

(1)求y=g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)>√6+2cos2x.

16.(15分)

已知椭圆的离心率为·,短半轴长为2.

(1)求C的方程：

(2)过左焦点且斜率大于0的直线1交C于A,B两点，0为坐标原点.若△OAB的面积为

4,求I的方程.

17.(15分)

如图，ABCD是边长为5的菱形且9,取四边形ABCD各边中点E,F,G,H作

第2个四边形EFGH,然后再取四边形EFGH各边中点I,J,K,L作第3个四边形LJKL,依

此方法一直继续下去.

(1)设从菱形ABCD开始的前k个四边形面积之

和为Sk,求S4和Sk;

(2)这个作图过程一直继续下去，所有这些四边

形的面积之和将趋于一个常数T,求满足

的k的最小正整数值.

高三数学第3页共4页

18.(17分)

如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=CD=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩

形，平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.

(1)求证：BC⊥平面ACFE;

(2)求二面角A-BF-C的平面角的正弦值；

(3)若点M在线段EF上运动(含端点),设平面MAB与平面

MCD所成二面角的平面角为θ,求θ余弦的取值范围.

19.(17分)

设f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称。对任意x,x₂∈[0,1]都有

f(x₁+x₂)=f(x)f(x₂),且f(1)=a>0.

(1)求

(2)证明f(x)是周期函数；

(3)当a=e时(e为自然对数的底数),记,数列{b,}的前n项和为S。,

求证：

高三数学第4页共4页

2027届高三年级9月阳光调研试卷

数学参考答案2026.09

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案CDCBBABD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

题号91011

答案ACDBCDABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.13.b,a(第一空3分，第二空2分)14.-1

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.(13分)解：

(1)由图可得A=2,

,即,解得w=2;

因为图象的最高点为),所!

,故,故解析式………………4分

向右移个单位长度得到的函数

…6分

(2)g(x)≥√6+2cos2x即s也即………………10分

,解,…12分

即不等式g(x)≥√6+2cos2x的解集为.……………13分

16.(15分)解：

(1)因为椭圆离心率为,故有,又短半轴长为2,故有b=2,结合a²=b²+c²,可以解

的a=4,c=2√3,故椭圆方程……………4分

(2)由题可设直线l的方程为x=my-2√3(m>0),则

化简得(m²+4)y²-4√3my-4=0,假设直线1与椭圆的两点交点坐标为A(x,y1),B(x₂,y₂),

则………………8分

高三数学参考答案第1页共4页

故,即,…10分

△OAB的面积…13分

解的m=√2,故直线1的方程为x-√2y+2√3=0.………………15分

17.(15分)解：

(1)设第n个四边形的面积记为Sn,E

根据菱形对角线互相垂直平分及中位线性质可知，第二个四边形是领边长为菱形对角线长一半的

矩形，

第三个四边形为与第一个菱形相似的菱形棱长为第一个菱形棱长的一半，

,依次类推，故每一次的面积组成一个数列{Sn},

它是为首项为公比的等比数列.………………3分

故连续4个四边形的面积之和

………………9分

(2)由(1)

当k无限变大时S将趋于一个常数T=25√3………………12分

解得k>10,

故满足条件的最小正整数为11.……………15分

18.(17分)解：

(1)因为梯形ABCD中，AB//CD,∠ABC=60°,所以∠BCD=∠ADC=120°,

又AD=CD=1,所以∠DCA=30°,所以∠BCA=90°,即AC⊥BC.

又因为四边形ACEF为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,

BCc平面ABCD,AC⊥BC,所以BC⊥平面ACFE;……………5分

(2)取BF中点H,连接AH、CH

由矩形ACEF得AC⊥CF,又AC⊥BC,BC∩CF=C,BC、CF≤平面BCF,

所以BC⊥平面BCF,CB=CF=1,H为BF中点，所以CH⊥BF,

所以∠CHA为二面角A-BF-C的平面角.易得AC=√3,

高三数学参考答案第2页共4页

故在Rt△ACH中，斜边

…10分

(3)由题分别以CA,CB,CF所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(√3,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),

设M(m,0,0)(0≤m≤√3)AB=(-√3,1,0),AM=(m-√3,0,1),,CM=(m,0,1),

设平面MAB和平面MCD的法向量分别为7=(x,y,z)和n2=(x₂,J₂,z₂)

则由π⊥AB,n⊥BM,解的7可取(1,√3,√3-m);

由n⊥CD,₂⊥CM得解的n2可取(1,√3,-m);

……………14分

令f(m)=m⁴-2√3m³+11m²-8√3m+28

f'(m)=4m³-6√3m²+22m-8√3=2(2m³-3√3m²+11m-4√3)

令g(m)=2m³-3√3m²+11m-4√3

g(m)=2m³-3√3m²+11m-4√3,故g(m)=2m³-3√3m²+11m-4√3在[0,√3]上递增

g(0)=-4√3<0,g(√3)=2×3√3-3√3×3+11×√3-4√3=4√3>0,

故在[0,√3]上存在m。使得g(m。)=2×m³-3√3×m²+11×m。-4√3=0,解得

又f(0)=28=f(√3),

19.(17分)解：

(1)因为对x,x₂∈[0,1],都有f(x+x₂)=f(x)f(x₂),即

∴取,则

,解得……2分

高三数学参考答案第3页共4页

同理取则,解得

…4分

(2)证明：依题设y=f(x)关于直线x=1对称，

故f(1+x)=f(1-x),即f(2+x)=f(-x)=-f(x),

也即f(4+x)=f(x),x∈R…7分

这表明f(x)是R上的周期函数，且4是它的一个周期.………………8分

(3)解：由(1)∵f(x₁+x₂)=f(x₁)f(x₂)

●………………13分

∵f(x)的一个周期是4,

………………15分

当a=e²时，

Sₙ=b+b+…-

要证只需

假设F(x)=Inx-x+1,则

当x∈(0,1)时F(x)递增，当x∈(l,+0)时F(x)递减，

故F(x)有极大值F(1)=0,也即F(x)≤0,所以有Inx≤x-1(当且仅当x=1时取得),

取时，上式即,得证.…17分，

高三数学参考答案第4页共4页

苏州市2027届高三年级9月阳光调研试卷

锤子数学精彩解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y²=4x},B={yly²=4x},则A∩B=

A.B.{x|x>0}C.{x|x≥0}D.R

【答案】C

【锤子数学解析】由y²=4x,得x≥0,且每个非负实数都能作为横坐标，故

A=(0,+∞).任意y∈R均对应故B=R.A∩B=[0,+∞]={x|x≥0}.

选C.

2.复数a+bi与c-di(a,b,c,d∈R,i为虚数单位)的积为实数的充要条件为

A.ac+bd=0B.ac-bd=0C.ad+bc=0D.ad-bc=0

【答案】D

【锤子数学解析】(a+bi)(c-di)=ac+bd+(bc-ad)i.

积为实数当且仅当bc-ad=0,即ad-bc=0.选D.

3.直线2x-3y+1=0的一个方向向量可以是

A.(2,3)B.(2,-3)c.(3,2)D.(3,-2)

【答案】C

【锤子数学解析】直线的一个法向量为(2,-3).因为(2,-3)·(3,2)=0,所以(3,2)

是该直线的一个方向向量.选C.

4.在△ABC中，AB=4,BC=3,AC=√13,则B=.

A.45°B.60°C.120°D.135°

【答案】B

【锤子数学解析】

由0<B<π,得B=60°.选B.

5.由曲线x²+y²-2|x|-2|y|≤0围成的图形的面积为

A.8π+8B.4π+8C.4π+4D.3π+8

第1页，共30页

【答案】B

【锤子数学解析】图形关于两坐标轴对称.在第一象限内，不等式为

(x-1)²+(y-1)²≤2.

圆心为K(1,1),半径为√2,与正半轴交于U(0,2)、V(2,0),并经过原点0.第

一象限内的区域恰由△OUV与以UV为直径、位于直线UV上方的半圆组成.

.S=4S₁=4π+8.选B.

6.已知w>0,函数在单调递减，则@的取值范围是

A.B.D.(0,2)

【答案】A

【锤子数学解析】令一个递减区间的相位长度不超过π,所以

即0<w≤2.

第2页，共30页

相位区间必须落在某内.结合相位为正及w≤2,只能取

k=0.于.解得两端点均符合题设开区间

内的单调性.选A.

7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，

可以判断出一定没有出现点数6的是

A.平均数为3,中位数为2B.平均数为2,方差为2.4

C.中位数为3,众数为2D.中位数为3,方差为2.8

【答案】B

【锤子数学解析】对B项，五个点数的和为10.若出现6,其余四个点数至少都是

1,于是数据只能为1,1,1,1,6,其方差为

所以B项一定没有出现6.例如数据1,1,1,2,5确实满足平均数为2、方差为2.4.

A项可取1,1,2,5,6;C项可取2,2,3,4,6;D项可取1,2,3,3,6,其方差为

这些数据均含6,分别满足对应统计结果.选B.

8.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆

上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为

A.2B.√5C.2√2D.3

【答案】D

【锤子数学解析】方法一：坐标与线性式的最值

以A为原点，AB、AD所在直线分别为两坐标轴，则B(1,0),D(0,2),

C(1,2).直线BD的方程为2x+y-2=0,圆的半径为

设P(x,y),由向量等式得x=λ,y=2μ,i

第3页，共30页

所以λ+μ≤3.取,有Q在圆上，且等号成立.因此最

大值为3.选D.

2x+y=2

圆的两条平行切线与直径TQ

方法二：平行切线与中心对称

将AB、AD作为平面向量的一组基底，记L(P)=λ+μ.由于L(B)=L(D)=1,

等值线L(P)=1就是直线BD;其他等值线均与BD平行.又AC=AB+AD,所以

L(C)=2.

圆与BD相切于T,并完全位于L(P)≥1的一侧.取T关于圆心C的对称点Q,由

AQ=2AC-AT得L(Q)=2L(C)-L(T)=4-1=3.

经过Q且平行于BD的直线也是圆的切线.整个圆位于两条平行切线之间，故

1≤L(P)≤3,且在Q处取到最大值3.选D.

锤子拓展与深挖

1.命题背景：求的是一族平行线的最远位置

目标式λ+μ并不是点P到某个顶点的距离，它确定的是平行线族的位置.对角线

BD恰对应λ+μ=1,对角顶点C恰对应λ+μ=2.相切条件把圆在这个方向上的

半径确定下来，因此另一侧的极值只能为2+(2-1)=3.

边长1、2决定圆半径和取等点的具体坐标，却不决定这个最大值.另外，原题只

要求P在圆上，并没有要求P在矩形内；最大值点Q实际在矩形外.

第4页，共30页

2.一般化结论：任意平行四边形仍得到同一区间

设ABCD为任意非退化平行四边形，以C为圆心作与直线BD相切的圆.对圆上任

意点P,定义AP=λAB+μAD.则1≤λ+μ≤3.

证明：因为两条邻边向量线性无关，坐标系数唯一.线性式L(P)=λ+μ的等值线

平行，且L(B)=L(D)=1,L(C)=2.圆位于L≥1的半平面，与L=1相切；关

于C对称后，另一条切线为L=3.两端均在切点处达到，圆的连续性保证中间各

值均可达到.原题是这一命题的矩形特例.

进一步，若矩形两邻边长为a,b>0,圆仍与BD相切，对实数p,q,则加权目标满

在直角坐标系中，圆心为(a,b),半径为,而目标为.其相对

圆心的最大偏移为

当(p,q)≠(0,0)时，在圆心沿方向的两个半径端点取等；当p=q=0时，目

标恒为零.代入a=1、b=2、p=q=1,重新得到[1,3].

3.更高级的方法：支撑函数揭示哪些形状可以替换圆

设K是以原点为对称中心的非空紧凸集，定义它在方向向量n上的支撑函数为

h(n)=maxzkn·え。

中心对称性说明该数量积的最小值为-h(n).若以C为中心的图形为C+K,则线

性式L(P)的值域关于L(C)=2对称.一条支撑线为L=1时，另一条必为L=3.

因此，把圆替换成任何以C为中心、与BD相切且整体位于其一侧的非退化椭圆，

结论仍为[1,3].这里要求BD是支撑线；仅仅与曲线相交不能代替相切.这一视角

解释了结论依赖的是中心对称与支撑位置，而不是圆的方程形式.

4.锤子改编

锤子改编一：在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点P在以C为圆心且与BD相

切的圆上，且AP=λAB+μAD.求λ+2μ的最大值.

第5页，共30页

【答案】

【锤子数学解析】以A为原点，邻边为坐标轴，则圆心为(3,4),半径为,且

P=(3λ,4μ).因

取时等号成立.本题改变了目标的权重，极值方向不再垂

直于原来的对角线.

锤子改编二：保留原题的矩形及圆，另要求P同时位于矩形内部或边界上.求

λ+μ的取值范围.

【答案】

【锤子数学解析】以A为原点，令s=1-x,t=2-y.圆在矩形内的部分满足

s,t≥0,且此时自动有0≤x≤1、0≤y≤2.

右端等号在时成立，对应原圆切点T;左端等号在时

成立，对应BC上的点H.圆弧连续，故所求范围为

x

粗线为圆上允许的轨迹，端点为G,H

第6页，共30页

本题改变的是运动范围，原题的圆外侧最大值点不再允许，不能直接沿用整圆的最

大值.

锤子点评：先认出λ+μ=1对应哪条线，再决定是否计算坐标.坐标法能准确找到

取等点，平行切线法则解释了边长变化后答案为什么不变.容易失分的地方是把动

点默认放在矩形内，或者只求出上界却没有验证取等.以后看到向量系数的线性组

合，可以先把它理解成一族平行线的位置.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.关于空间平面α、β、γ和直线1,下列命题中正确的是

A.若α⊥β,则α内一定存在直线平行于β

B.若α⊥β,则α内所有直线都垂直于β

C.若α⊥γ,β⊥γ,anβ=1,则1⊥γ

D.若α不垂直于β,则α内一定不存在直线垂直于β

【答案】ACD

【锤子数学解析】

A项，设anβ=m,在α内取与m平行且不重合的直线n,则nlβ,故A正确.

B项，交线m在β内，不可能垂直于β,故B错误.

C项，在1上任取点P.过P垂直于γ的直线，由面面垂直的性质，既在α内，又

在β内，故就是交线1.所以1⊥γ,C正确.

D项，若α内存在直线垂直于β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,与前提矛盾，

故D正确.故选ACD.

10.当α变化时，有关x²sina+y²cosa=1表示曲线的说法正确的是

A.当α为第一象限角时，方程表示椭圆

B.当α为第二象限角时，方程表示焦点在x轴的双曲线

C.当α的终边在x轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线

D.当α为第四象限角时，方程表示焦点在y轴的双曲线

【答案】BCD

第7页，共30页

【锤子数学解析】A项，取方程为x²+y²=√2,表示圆.在本题所采用的

高中圆与椭圆分别讨论的语境下，不能断言总是椭圆，故A错误.当sina≠cosa时

才是通常定义的椭圆.

B项，sina>0、cosa<0,方程可化为焦点在x轴，故B正确.

C项，sina=0、cosa=1,得y²=1,即两条平行直线y=1与y=-1,故C正确.

D项，sina<0、cosa>0,方程可化为焦点在y轴，故D正

确.故选BCD.

10.由数字0,1,2,4组成没有重复数字的三位数或四位数，现从中随机选取一个数，下

列说法正确的是

A.四位数18个

B.若抽到四位数，则比1204大的概率为

C.三位偶数12个

D.若抽到三位偶数，则被3整除的概率为

【答案】ABD

【锤子数学解析】方法一：按末位分类，分别建立条件样本空间

A项，千位有3种选法，其余三个数位全排列，故四位数有3×3!=18个，A正确.

B项，在四位数中，千位为2或4的有2×3!=12个；千位为1时，比1204大的为

1240,1402,1420,共3个.所以概率为B正确.

C项，末位为0时有3×2=6个；末位为2或4时，各有2×2=4个.因此三位偶数共

有6+4+4=14个，C错误.

D项，三位数能被3整除，当且仅当其数字集合为{0,1,2}或{0,2,4}.前一组的偶数

为102,120,210,后一组为204,240,402,420,共7个.条件样本空间为全部14个三

位偶数，故概率为,D正确.故选ABD.

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方法二：补集计数与遗漏数字分类

A项，四个数字的全排列共有4!=24个，首位为0的有3!=6个.四位数共有

24-6=18个，A正确.

B项，不大于1204的四位数恰为1024,1042,1204,共3个，所以所求条件概率为

B正确.

三位数相当于从四个数字中遗漏一个.按遗漏数字分类如下：

遗漏数字保留数字三位数个数三位偶数个数数字和

0{1,2,4}647

1{0,2,4}446

2{0,1,4}435

4{0,1,2}433

表中：不含0时六种排列均为三位数；含0时扣去首位为0的两种排列.对偶数列，

再把末位固定为保留数字中的偶数即可.

C项，三位偶数共有4+4+3+3=14个，并非12个，C错误.

D项，只有数字和为6或3的两行能被3整除，对应偶数共4+3=7个，故条件概率

为D正确.故选ABD.

锤子拓展与深挖

1.命题背景：首位限制与条件概率要分两层处理

末位判断奇偶，数字和判断能否被3整除，首位不为零则改变每一类的权重.因此，

选择数字集合后，各类合法三位数的个数并不相同，不能把四种遗漏数字看成等可

能的四个基本事件.

本题两个条件概率的分母也不同：B项的分母是四位数的个数18,D项的分母是三

位偶数的个数14.只要分母对应错了样本空间，即使分子统计正确，概率仍会错误.

2.一般化结论：不重复数字组成偶数的统一计数

设可用数字由0与m个互异非零数字组成，其中有e个非零偶数，1≤m≤9.对

2≤k≤m+1,用这些数字组成无重复的k位数.记正体A,为从n个不同元素中取

出r个的排列数，并约定A⁰=1.

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全部合法k位数的个数为N=mA-1.偶数的个数为N=A-¹+e(m-1)A"-2.

第一项对应末位为零；第二项中，末位有e种选法，首位从剩余非零数字中选，有

m-1种，再排列中间k-2位.

因为,所以在全部合法k位数中等可能抽取一个，得到偶数的概率为

这个概率与位数k无关.原题m=3、e=2,故三位数、四位数中偶数比例均为

各有个偶数.

边界需要单独说明：结论要求至少两位数.如果只从这些非零数字中抽一位数，偶

数概率为一般不等于上式；零的首位限制不能被省略.

3.更高级的方法：数位长度与奇偶事件的独立性

设随机变量L表示抽到的数的位数，事件E表示抽到偶数.只要每个给定位数层内

等可能抽取合法数字，上面的结论说明P(E|L=k)为同一个常数p.因此

P(E∩{L=k})=P(E|L=k)P(L=k)=pP(L=k).

对所有位数求和得P(E)=p,从而奇偶事件E与位数L独立.这一结论甚至不要

求各种位数先被等概率选择.

回到本题，从全部三位数与四位数中等可能抽取时，两层各有18个数，所以

.但被3整除与位数并不独立：所有四位数数字和都是7,没有一

个能被3整除.记事件D为被3整除，则从全部偶数中抽取时的条件概率为

这一条件概率不同于原题D项已限定为三位偶数的条件概率；条件的改变必须落实

到事件与分母上.

4.锤子改编

锤子改编一：由数字0,1,2,3,4组成无重复的四位数.求四位偶数的个数；若从这些

四位偶数中等可能抽取一个，求它能被3整除的概率.

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【答案】60;

【锤子数学解析】末位为零有A³=24个；末位为2或4,各有3A²=18个，因此四

位偶数共有24+18+18=60个.

五个数字之和为10.选取四个数字时，只有遗漏1或4才使数字和为3的倍数.保

留{0,2,3,4}时，偶数有3!+2×2×2!=14个；保留{0,1,2,3}时，偶数有

3!+2×2!=10个.故概率为

本题增加了可选数字，需要同时调整首位计数与数字和的分类，不能只按偶数数字

的比例判断.

锤子改编二：仍由数字0,1,2,4组成无重复的三位数或四位数，现从所有这些偶数中

等可能抽取一个.求抽到的数能被3整除的概率.

【答案】

【锤子数学解析】三位偶数有6+4+4=14个，四位偶数按末位为0,2,4分类也有

6+4+4=14个.三位偶数中能被3整除的为102,120,210,204,240,402,420,共7个；

四位数的数字和为7,均不能被3整除.故概率为

与原题相比，这里删除了三位数这一条件，分子不变，分母却扩大了一倍.

锤子点评：先把末位单独固定，再处理首位不能为零.方法一适合直接计数，方法

二的遗漏数字表更容易检查数字和是否被3整除.大家尤其要注意：不同数字集合

的合法排列数未必相等，条件概率也不能沿用上一项的分母.值得带走的结论是，

在固定可用数字且不重复的规则下，至少两位数时的偶数比例与位数无关，但这并

不意味着所有整除事件都与位数独立.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.经过点P(-2,0)作直线1,若1与连接A(-1,2)、B(3,1)两点的线段有公共点，则

l的斜率k的取值范围为

【答案】

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【锤子数学解析】线段AB上的点可表示为Q(-1+4t,2-t),其中0≤t≤1.因

xo+2=1+4t>0,不存在竖直直线与该线段相交的遗漏情形.

端点Q=B时端点Q=A时k=2;表达式连续，故范围为

13.已知函数(e为自然对数的底数).记a=f(√2),b=f(√3),

c=f(√6),则a,b,c三者中最大的是,最小的是.(第一空3分

第二空2分)

【答案】b;a

【锤子数学解析】f(x)=e¹-(x-2)².

函数值随着|x-2|的增大而减小.由(√2+√6)²=8+4√3<16

(√3+√6)²=9+6√2>16得√2+√6<4<√3+√6,

于是0<2-√3<√6-2<2-√2.所以b>c>a,两空依次为b、a.

14.从关于变量x和y的4对随机观测数据(2,2),(3,-1),(4,-4),(5,-5)中随机取三对，

则相关系数的最小值为__.

(相关系数公式为)

【答案】-1

【锤子数学解析】方法一：先看相关系数的下界，再验证取等

所取三对数据的横、纵坐标均不全相等.由柯西不等式，相关系数一定满足r≥-1.

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取(2,2),(3,-1),(4,-4),这三点均在直线y=-3x+8上，且斜率为负.直接计算，

x=3,y=-1,从

下界可以达到，故最小值为-1.

方法二：按遗漏观测值枚举，用原始和计算

依次记四组观测为P,P₂,P₃,P₄.对任意选取的三组，定义Q=3∑x²-(∑x;)²

Q,=3∑y²-(∑y)²,Q=3∑x,y;-(∑x,)(Zv;).

将均值展开后，相关系数为.四种取法全部列于下表.

选取观测QQ,Qr

P,P₂,P₃654-18-1

P,P₂,P₄1474-32

P,P₃,P₄1486-34

P₂,P₃,P₄626-12

由于16²=256<259,17²=289<301,6²=36<39,后三个负数均大于-1.因此

最小值为-1.

锤子拓展与深挖

1.命题背景：完全负相关由共线性控制

相关系数是去均值后两组数据之间的标准化关系，不是直线斜率.本题前三个点满

足y=-3x+8,去均值后便有y,-y=-3(x,-x),这正是r=-1的取等结构.

第四个点在横坐标为5时的纵坐标是-5,而该直线上的纵坐标应为-7,所以四个

点并不全部共线.题目允许从四组中选择三组，恰好使偏离直线的观测可以被排除.

2.一般化结论：选点达到最小值的充要条件

对两组均不为常量的数据，令

S=∑(x,-x)²>0,S=∑(y,-D)²>0,S,=∑(x,-x)(y;-步).

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由,得-1≤r≤1;其中r=-1当且仅当存在常数a<0,b,使每一对观

测均满足y,=ax+b.

证明：柯西不等式的等号条件为去均值后的两组数据成比例；由于相关系数为负，

比例系数为负.恢复均值便得到b=y-ax.反之，满足这条负斜率直线时，代入相

关系数公式即得r=-1.

因此，从横坐标互异的有限组观测中选取k≥3组，所有允许子样本的最小相关系数

为-1,当且仅当原数据中至少有k个点位于同一条负斜率直线上.这里默认所选纵

坐标也不全相等，以保证相关系数有定义.本题取k=3,前三组满足条件.

进一步，若作线性变换X,=ax;+b、Y,=cy;+d,其中ac≠0,则去均值后分别乘

以a,c,所以

两个比例系数同号时相关系数不变，异号时变号；平移不影响相关系数.只有两组

观测且两坐标均不相同时，相关系数总是1或-1,因此两点样本的绝对相关系数无

法区分更复杂的趋势.

3.更高级的方法：相关系数与最小二乘残差

把去均值后的两组数据分别看作向量，则r就是这两个向量夹角的余弦.拟合直线

y=βx+γ时，先取γ=y-βx,残差平方和为

,R(β)=S

因此最小残差平方和为Rn=S„(1-r²).相关系数绝对值为一，恰好表示可以由

一条直线完全拟合；正负号再判断方向.

对本题全部四组观测，有y=-2,S=5,S=30,S=-12.因此

前三组单独计算时残差为零，全部四组计算时残差大于零.这比笼统地说负相关很

强，更准确地解释了选择观测后的变化.

4.锤子改编

锤子改编一：对观测数据(2,2),(3,-1),(4,-4),作变换X=2x+3、

Y=-4y+7.求新数据的相关系数及其所在直线方程.

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【答案】1;Y=6X-43

【锤子数学解析】原数据满足y=-3x+8,且r=-1.变换中两个比例系数2与-4

异号，故新相关系数为1.又Y=-4(-3x+8)+7=12x-25=6X-43.

本题把负相关变成正相关，关键是纵坐标的比例系数为负，而不是平移量的大小.

锤子改编二：对四组观测(2,2),(3,-1),(4,-4),(5,t),其中t∈R,使用全部四组计

算相关系数r.求r的最小值及取等条件，并求r=0时的t.

【答案】rmin=-1,当且仅当t=-7;r=0当且仅当t=3

【锤子数学解析】前三组已经唯一确定负斜率直线y=-3x+8.所以全部四组完全

负相关，当且仅当t=-7;此时r=-1,为最小值.

对任意t,S>0,S„>0,

故r=0当且仅当t=3.本题取消了任意选三组的自由，要求第四组的位置也满足

相应关系.

锤子点评：这里先检查的是能否取到r=-1,而不是马上把四种取法全部代入长公

式.请分清负斜率、完全负相关、强负相关这几个判断：斜率不是相关系数，相关

系数接近负一也不等于数据共线.下一次遇到统计量的最值，先找它的理论范围，

再检查等号条件.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)如图是函数f(x)=Acos(wx+4)(A>0,@>0,的部分图

象.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.

(1)求y=g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)≥√6+2cos2x.

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【锤子数学解析】

(1)由图象得A=2,且从最大值点到其右侧相邻零点的距离为四

分之一个周期，所I,T=π,@=2.

由最大值点,结合得

(2)原不等式等价于2(sin2x-cos2x)≥√6,

因此，对k∈Z,

所求解集为l

16.(15分)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为,短半轴长为2.

(1)求C的方程；

(2)过左焦点且斜率大于0的直线I交C于A,B两点，O为坐标原点.若△OAB的

面积为4,求I的方程.

【锤子数学解析】

(1)由b=2、及c²=a²-b²,,a²=16.

故椭圆方程为左焦点为

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(2)设1:y=k(x+2√3),其中k>0.

代入椭圆方程，得(1+4k²)x²+16√3k²x+48k²-16=0.

其判别式为64(1+k²)>0,故恒有两个交点.

设交点横坐标为x₁,x₂,!

由面积公式及

v,=k(x,+2√3),

两边均为正，平方整理，得12k²(1+k²)=(1+4k²)²,(2k²-1)²=0.

所以代回面积等式满足条件.因此1:

17.(15分)如图，ABCD是边长为5的菱形且取四边形ABCD各边中

点E,F,G,H作第2个四边形EFGH,然后再取四边形EFGH各边中点I,J,K,L作

第3个四边形IJKL,依此方法一直继续下去.

(1)设从菱形ABCD开始的前k个四边形面积之和为S,求S₄和Sk;

(2)这个作图过程一直继续下去，所有这些四边形的面积之和将趋于一个常数T,

求满足的k的最小正整数值.

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D

【锤子数学解析】

(1)记第n个四边形的面积为an.第一个菱形的面积为

连接一个四边形的四边中点，所围中点四边形的面积为原四边形面积的一半.

例如沿一条对角线分成两个三角形，由中位线所截相似三角形的面积比为1:4,

可得四个角部小三角形总面积为原面积的一半.

因此

(2)随着k增大，2-趋于零，故T=25√3.于

等价于2⁻k<2-¹0,即k>10.因此k的最小正整数值为11.

18.(17分)如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=CD=CB=1,

∠ABC=60°.四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.

(1)求证：BC⊥平面ACFE;

(2)求二面角A-BF-C的平面角的正弦值；

(3)若点M在线段EF上运动(含端点),设平面MAB与平面MCD所成二面角

的平面角为θ,求θ余弦的取值范围.

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B

【锤子数学解析】

方法一：几何判定与法向量计算

(1)由AD=BC=1,知ABCD为等腰梯形.两腰在底边方向的投影长均为

,故

在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB·BCcos60°=3.

因此AC²+BC²=AB²,得BC⊥AC.又两平面ABCD与ACFE垂直，交线为

AC,而BC在平面ABCD内，所以BC⊥平面ACFE.

(2)以C为原点，分别以CB、CA、CF的方向为x、y、z轴的正方向建立空间

直角坐标系.于是C(0,0,0),B(1,0,0),A(0,J3,0),F(0,0,1),

以C为原点，沿CB,CA,CF建系

平面CBF的一个法向量为n₀=(0,1,0).设平面ABF的一个法向量为(x,y,z),

第19页，共30页

由(x,y,z)(1,-√3,0)=0,(x,y,z)·(0,-√3,1)=0

可取n=(√3,1,√3).两法向量夹角余弦的绝对值为

所以所求二面角的平面角正弦为

(3)设,则0≤t≤1,M=(0,√3t,1).

设平面MAB的一个法向量为(x,y,z),由与AB、AM垂直，得x-√3y=0

√3(t-1)y+z=0故可取n,=(√3,1,√3(1-t)).同理，平面MCD的法向量满足

,√3ty+z=0可取in₂=(√3,1,-√31).

令s=t(1-t),则,且n₁·n₂=4-3s>0,

因此两平面所成角的余弦为

记z=4-3s,则

在正半轴上的导函数为

.当M为EF的中点时取左端；当M=E或M=F时取右端.随

t连续变化，中间各值均能达到，因此

方法二：垂面降维与投影长度

(1)等腰梯形两腰长为1、底角为60°,故AB=1+2cos60°=2.由余弦定理，

AC²=4+1-4cos60°=3,所以BC²+AC²=AB²,即BC⊥AC.

结合平面ABCD⊥ACFE及其交线为AC,得BC⊥平面ACFE.

(2)由于矩形ACFE中AC⊥CF,又AC⊥BC,所以AC⊥平面BCF.

在直角三角形BCF中，BC=CF=1,从C向BF作垂线，垂足为T,

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则BF=√2,

由AC⊥BF、CT⊥BF,得BF⊥平面ACT,从而AT⊥BF.

因此∠ATC就是二面角A-BF-C的平面角.在直角三角形ACT中，

(3)过M作MN⊥平面ABCD,则N在线段AC上，MN=1.

设H,K分别为N到直线AB,CD的垂足；K允许落在CD的延长线上.

由于AB//CD,H,N,K共线，且N位于H,K之间.

两平面的交线是过M且平行于AB的直线.平面MHK垂直于该交线，

所以∠HMK是两平面夹角的一个垂面表示.底边间距离为

记HN=p,NK=q,则p,q≥0,,从而

令α=∠HMN,β=∠NMK,有tana=p,tanβ=q.

由于1-pq>0,夹角α+β为锐角，正是本题两平面所成角θ.

.利用锐角范围I

当p=q时，N到两底边距离相等，即N为AC中点、M为EF中点，取左端；

当pq=0时，M为端点，取右端.连续性保证所得为完整区间，

锤子拓展与深挖

1.命题背景：平行底边把空间动角变成定底定高模型

AB//CD使两个动平面的交线始终平行于两底边.因此每次都可以选取一个与交线

垂直的截面，把空间问题化为平面三角形MHK的顶角问题.

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真正起控制作用的只有两个量：两底边间的距离以及动点离底面的高度

h=1.底边在动垂足两侧的分段长p,q可以变化，但始终满足p+q=d,而顶角由

乘积pq控制.

原题d<2h,所以全部位置的顶角都是锐角，法向量数量积可以始终保持正号.若

高度变小，这个性质可能失效，平面夹角的余弦必须重新处理绝对值.

2.一般化结论：平行直线间距与高度的完整分类

设同一平面内两平行直线间距为d>0,点M到该平面的距离为h>0.其垂足N在

两线之间运动，并能遍历从一条线到另一条线的全部分段位置.过M分别与两线确

定两个平面，记两平面所成角为

在垂直于两平行线的截面中，令HN=p,NK=q,则p,q≥0、p+q=d.

由数量积或余弦定理，

因为,故h²-pq遍历函数在z≥0上递增，

因此可以完整确定范围.

当0<d≤2h时，分子不变号，得到

左端在处达到，右端在pq=0处达到.

代入h=1,即得原题的

.

当d>2h时，区间经过零点，所以两平面可以垂直.最小余弦为零；

最大余弦由区间两端的绝对值比较确定，得到

进一步，比较,临界值为d=2√2h.当2h<d<2√2h时，最大余弦在

端点处取得；当d>2√2h时，最大余弦反而在中点处取得；临界时两类位置均取到

最大值.

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垂直位置满足pq=h²,相应分段长为.这也说明了为什么只有

d≥2h才可能出现直角.

3.更高级的方法：法向量的格拉姆量为何恒定

对两个非零向量in,n₂,定义格拉姆量G=,²|n₂²-(n₁·n₂)².

它等于两向量张成的平行四边形面积的平方，也等于|²|n₂²sin²θ.

因此

本题法向量的前两项相同，分别为√3,1;第三项之差恒为√3.直接展开即可得到

G=(3+1)(J3(1-1)+√3t)²=12.

所以看似复杂的两个模长乘积，只是在数量积的平方上增加常数12.空间结构在代

数上表现为一个固定面积量：不必分别求两个模长的最值，只需控制数量积

4-3t(1-t).

更一般地，两个向量若具有相同的前两项a,b,第三项分别为c₁,c₂,则

G=(a²+b²)(c₁-c₂)²·当第三项之差固定时，这种恒定格拉姆量同样存在；它与

垂面中底、高固定而面积不变的观察相互对应.

4.锤子改编

锤子改编一：保持原题梯形及两个平面的垂直关系，将矩形高度改为CF=h,其中

.求二面角A-BF-C的平面角正弦，并求动点M∈EF时两平面

MAB,MCD所成角余弦的范围.

【答案】

【锤子数学解析】梯形部分不变，AC=√3、BC=1.在直角三角形BCF中，

BF=√1+h²,从C到BF的距离为.按垂面直角三角形计算，

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所求正弦为

两底边间距仍为且假设正好保证d≤2h.

代入一般结论，得

在中点、端点分别取到两界.当时，中点位置出现直角；

当h=1时，恢复原题全部结