高等微积数学 2

微积分教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第七章无穷级数§7.1无穷级数的概念§7.2无穷级数的基本性质教学目的要求：了解无穷级数的历史背景，掌握无穷级数的概念与基本性质。教学重点、难点：无穷级数(常数项级数、级数)的概念与性质，几个常用级数的敛散性讨论。教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书相结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）引入：(5分钟)初等数学中知道:有限个实数相加,其结果是一个实数.本章将在这个基础上继续推广,讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其有关特性.新授课内容：(80分钟)一、无穷级数的概念给定数列u1,u2,…,un,…,则式子u1+u2+…+un+… (7.1)可简记为∑n=1∞un,称为无穷级数(简称级数).其中,第n项un级数前n项的和Sn=u1+u2+…+un称为第n次部分和.部分和S1,S2,…,Sn,…构成一个数列.如果当n→∞时,部分和数列Sn的极限存在,即limn→∞Sn=S(S则称级数(7.1)收敛,极限S称作该级数的和,并记为S=∑n=1∞un=u1+u2+…+u如果Sn没有极限,则称级数(7.1)发散,发散级数没有和.当级数收敛时,其和与第n次部分和的差Rn=S-Sn=un+1+un+2+…称为级数的余项.用Sn作为S的近似值所产生的误差,就是余项的绝对值|Rn|.例无穷级数∑n=1∞aqn-1=a+aq+aq2+…+aqn-称为几何级数(或等比级数),其中a≠0,q称为级数的公比.它的通项un=aqn-1.讨论它的收敛性和发散性.解：(1)设|q|≠1,由于Sn=a+aq+aq2+…+aqn-1 =a1-如果|q|<1,则limn→∞Sn所以,当|q|<1时,几何级数收敛,其和为a1如果|q|>1,则limn→∞S所以,当|q|>1时,几何级数发散,它没有和.(2)如果q=1,则级数成为a+a+…+a+…由于Sn=na,则limn→∞Sn=∞,(3)如果q=-1,则级数成为a-a+a-a+…+a-a+…当n为偶数时,Sn=0;当n为奇数时,Sn=a.当n→∞时,Sn没有极限,所以级数发散.综合上面的讨论得到:几何级数∑n=1∞aqn-1当|q|<1时收敛,其和为a1-q;当|q|≥1例如,级数∑n=1∞(-1)n-12n-1=公比q=-12,|q|=12<1,所以它收敛,其和S=11级数∑n=1∞2n-1=1+2+4+…+2n-公比q=2,所以它发散.其他常见级数的例题讲解.二、无穷级数的基本性质基于级数与数列极限的这种关系,根据数列极限的性质推出有关级数的一些性质.性质1如果级数∑n=1∞un=u1+u2+…+un+…与级数 ∑n=1∞vn=v1+v2+…+vn+… (7都收敛,它们的和分别为S及W,则级数∑n=1∞(un±vn)=(u1±v1)+(u2±v2)+…+(un±vn)+… 也收敛,且其和为S±W.性质2如果级数∑n=1∞un=u1+u2+…+un+…收敛,且其和为S,则它的每一项都乘以一个非零常数a后,所得到的级数∑n=1∞aun=au1+au2+…+aun+… 也收敛,且其和为aS.例题讲解性质3在一个级数的前面加上(或去掉)有限项,级数的敛散性不变.性质4若一个级数收敛,则加括号后所成的级数也收敛,且与原级数有相同的和.注意：如果加括号后所成的级数发散,则原级数也必发散.因为如果原级数收敛,根据定理7.4,加括号后的级数也收敛,这与前提矛盾.发散级数加括号后有可能收敛,即加括号后级数收敛,原级数未必收敛.例如,发散级数a-a+a-a+…+(-1)n-1a+…相邻两项加括号,得(a-a)+(a-a)+…+(a-a)+…=0收敛.反过来说,收敛级数去括号后未必仍收敛.至于正项级数(即各项un≥0,见7.3节),无论加括号或去括号,都不影响它的敛散性.性质5如果级数∑n=1∞un=u1+u2+…+u收敛,则limn→∞un=例级数∑n=1∞ns=1s+2s+3s+…+ns+…由于limn→∞un=limn→∞ns=+∞(s>注意：通项趋于0的级数不一定收敛.例如,级数∑n=1∞limn→∞un=limn→∞但是,在前面例题中已经证明它是发散级数.课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：无穷级数的和，无穷级数的收敛和发散，无穷级数的基本性质，常见的无穷级数微积分教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第七章无穷级数§7.3正项级数教学目的要求：熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法，柯西根式判别法，熟记P-级数敛散性，常见级数的敛散性。教学重点、难点：正项级数的基本定理、比较判别法、比值判别法（达郎贝尔判别法）、根式判别法教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书相结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：(5分钟)新授课内容：(80分钟)一般的常数项级数,它的各项可以是正数、负数或者零.现在我们先讨论各项都是正数或零的级数,这种级数称为正项级数.一、正项级数收敛的基本定理下面讨论正项级数,其中.

（1）设其部分和为,显然部分和数列是单调不减的(与书中关于单调不减的定义保持一致),也就是:从而只有两种变化情况:无限增大,于是不存在;存在一个正数,使得.此时,根据数列极限存在准则,存在.对于情况1)表明级数(1)发散;对于情况2)表明级数是收敛的.因此正项级数是否收敛只要判定是否存在一个正数,使得就行了.即重要定理：定理7.6：正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界.基于以上定理，可给出判定正项级数敛散性常用的比较判别法.定理7.7:如果两个正项级数∑n=1∞un=u1+u2+…+un+… (7及 ∑n=1∞vn=v1+v2+…+vn+… 满足关系式 un≤cvn(n=1,2,3,…;c是大于0的常数)那么(1)当级数(7.2)收敛时,级数(7.1)也收敛;(2)当级数(7.1)发散时,级数(7.2)也发散.注意1：根据级数的基本性质，如果级数(7.1)和(7.2)在n大于某个正整数之后满足关系式un≤cvn，定理7.7的结论仍然成立.注意2：在利用比较判别法时，关键在于寻找合适的用来比较的级数.例判断以下正项级数的敛散性.(1)

(2)解

(1)由于,而几何级数是收敛的,则有比较原则知:收敛.(2)由于,,而调和级数是发散的,则也发散.则由比较判别法知也发散.例判定级数∑n=1∞1np=1+12p的敛散性.解:当p≤1时,1np≥1n.由例1知∑n=1∞当p>1时,∑n=1∞1np +18p它的各项均不大于级数1+12p+12p的对应项,而后一级数是几何级数,公比q=12p-1<1,所以收敛上例中的级数∑n=1∞1np在应用比较判别法判定所给级数∑n=1∞un的敛散性时,常常需要将级数的通项un进行放大(或缩小),以得到适当的不等式关系.在实际使用时,比较判别法的下述极限形式更为方便.推论设∑n=1∞un与∑n=1∞vn均为正项级数,(1)若0<l<+∞,则级数∑n=1∞un与∑n=1(2)若l=0且级数vn收敛,则级数∑n=1∞u(3)若l=+∞且级数∑n=1∞vn发散,则级数∑n例判定级数的敛散性.解:由可知，，，即而收敛，于是收敛，则由推论里的(1)可知，收敛.三、比值判别法除了比较判别法，下面给出在应用上非常方便的比值判别法.定理7.8：如果正项级数∑n=1∞un=u1+u2+…+un+…(un>0,n=1,满足条件limn→∞u(1)当l<1时,级数收敛;(2)当l>1(或limn→∞un+1u(3)当l=1时,不能用此法判定级数的敛散性.例判断下列级数的敛散性.

(1)(2)

(3)解(1)由于,由比式判别法知,原级数收敛.(2)由于,故由比式判别法知:当时,收敛;当时,发散;当时,发散.(3)由于

.故原级数发散.四、根值判别法定理7.9：如果正项级数∑n=1∞un=u1+u2+…+u满足条件limn→∞nu(1)当ρ<1时,级数收敛;(2)当ρ>1(或limn→∞nun=+∞)(3)当ρ=1时,不能用此法判定级数的敛散性.定理7.9的证明与定理7.8的证明类似.这里也应强调：当ρ=1时,根值判别法失效.例如,对于级数∑n=1∞1nlimn→∞n1n=1,但级数∑n=1∞1n发散,例讨论级数的敛散性.解由于

,所以原级数是收敛的.注意：凡能由比值判别法判别敛散性的级数,它也能用根式判别法判断.因而可以说根式判别法比比值判别法更有效.事实上当时,则必有.例如,级数,由于

,而

,故由比值判别法无法判别此级数的敛散性.但是用根值判别法考察这个级数:,

且.故，因此原级数是收敛的.

小结：上面我们讨论了正项级数的三个判别法.比较判别法则需找一个已知收敛或发散的级数作参照,而比值判别法与根值判别法不需要其它参照级数,就其级数本身的特点进行判定,这是它的优点,缺点是当极限（或）时,判别法失效,需用其它判别法判别.总之,在具体使用这三个判别法时,可根据所给级数的特征而灵活选择判别法进行判定.

课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：正项级数敛散性判别的各种判别法，以及各种判别法的优缺点.微积分教案编号：课时安排：1学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第七章无穷级数§7.4任意项级数、绝对收敛教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：掌握莱布尼兹判别法，熟练掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛教学重点、难点：交错级数敛散性的莱布尼兹判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念、绝对收敛与条件收敛的判别。教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书相结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：(5分钟)复习正项级数的判别法，引入任意项级数，讲解与正项级数之间的关联.新授课内容：(40分钟)1．交错级数及其敛散性正负项相间的级数,称为交错级数.它可以用下面的形式给出∑n=1∞(-1)n- =u1-u2+u3-u4+…+u2k-1-u2k+… (7.7)其中un>0(n=1,2,…).关于交错级数收敛性的判定,有下面的定理:定理7.10(莱布尼茨定理)如果交错级数(7.7)满足条件(1)un≥un+1(n=1,2,…)(2)limn→∞un则级数收敛,其和S≤u1.注意：如果以Sn作为级数和S的近似值,则误差|Rn|≤un+1,因为|Rn|=un+1-un+2+…也是一个交错级数,并且满足收敛条件,所以其和小于级数的第一项,即|Rn|≤un+1.例题讲解2．任意项级数、绝对收敛和条件收敛既有正项又有负项的级数称为任意项级数，也就是除了正项级数和交错级数外的其他的级数.对于这种技术，有以下判定定理.定理7.11：如果任意项级数∑n=1∞un=u1+u2+…+u的各项绝对值组成的级数∑n=1∞|un|=|u1|+|u2|+…+|un|+… (7收敛,则原级数也收敛.由此可引出绝对收敛和条件收敛的概念.如果级数的各项的绝对值所组成的级数收敛,则称此级数绝对收敛.如果级数收敛,而由它的各项绝对值组成的级数发散,则称此级数条件收敛.例如,级数∑n=1∞(-1)n-1n收敛,而由它各项绝对值组成的级数∑n=1∞(-1)n-1n=∑n=1∞1由于任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数,因此,一切判别正项级数敛散性的判别法都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.对于任意项级数∑n=1∞un,如果∑n=1∞|un|收敛,那么∑n=1∞un绝对收敛.但当∑n=1∞|u定理7.12如果任意项级数∑n=1∞un=u1+u2+…+u满足条件limn则当l<1时级数绝对收敛,当l>1时级数发散.例判定级数∑n=1∞解:limn→∞un+1u所以,当|x|<1时,级数绝对收敛;当|x|>1时,级数发散;当x=1时,级数成为调和级数,它发散;当x=-1时,级数成为∑n=1根据莱布尼茨定理和前面所讲，此时级数条件收敛.总结：(5分钟)课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧教学总结：交错级数的莱布尼茨判别法，任意项级数的绝对收敛、条件收敛和发散.微积分教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第七章无穷级数§7.5幂级数教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：熟悉幂级数的相关概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛域的计算方法，掌握幂级数的和函数的计算方法教学重点、难点：幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域，幂级数的基本性质及其和函数的计算教学方式、手段、媒介：讲授、多媒体、板书相结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：(5分钟)新授课内容：(80分钟)1.幂级数的概念、收敛半径和收敛域形如∑n=0∞an(x-x0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x +…+an(x-x0)n+… (7.9)的级数,称为(x-x0)的幂级数,其中,a0,a1,a2,…,an,…均是常数,称为幂级数的系数.当x0=0时,级数(7.9)变为∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (7称为x的幂级数,它的每一项都是x的幂函数.将级数(7.9)中的x-x0换成x,则级数(7.9)就变为级数(7.10).因此,下面主要讨论形如(7.10)的幂级数.对于幂级数(7.10),给定x=x0时,级数成为∑n=0∞anx0n=a0+a1x0+a2x02如果∑n=0∞anx0n收敛,则称x0为级数∑n=0∞anxn的收敛点;如果∑n=0∞anx0n发散,则称x0为级数∑n提出问题：对于一个给定的幂级数,它的收敛域和发散域的结构如何呢?经过分析可得出：幂级数(7.10)在一个以原点为中心从-R到R的开区间内绝对收敛,开区间(-R,R)称为幂级数(7.10)的收敛区间,其中R=1l称为幂级数的收敛半径如果幂级数(7.10)除点x=0外,对一切x≠0都发散,则规定R=0,此时幂级数(7.10)的收敛域为点x=0.例如,级数∑n=0∞n!xn=1+1!x+2!x2+…+n!x由于limn→∞un+1un=limn→∞n!|x|所以此级数对任何x≠0都发散.如果幂级数(7.10)对任何x都收敛,则记作R=+∞,此时式(7.10)的收敛域为(-∞,+∞).例如前面已讲述的级数∑n=0∞xnn!对任何x都绝对收敛,所以此级数收敛域为当0<R<+∞时,要对点x=±R处级数的敛散情况专门讨论,以确定收敛域是开区间,还是闭区间或半开区间.求幂级数(7.10)的收敛域的步骤是:首先求出收敛半径R,如果0<R<+∞,则再判断x=±R时幂级数(7.10)的敛散性,最后写出收敛域.收敛域可能是下述区间之一:(-R,R),(-R,R],[-R,R),[-R,R]综上所述,得到求幂级数(7.10)的收敛半径的定理:定理7.11：如果幂级数∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+…+anx的系数满足条件limn则(1)当0<l<+∞时,R=1l(2)当l=0时,R=+∞;(3)当l=+∞时,R=0.例求级数∑n=1∞(-1)n-1xn-1=1-x+x2-…+(-1)n-1xn-1+…的收敛半径和收敛域.解:由limn→∞得到收敛半径R=1.当x=1时，它成为级数∑n=1∞(-1)n-1，该级数发散;当x=-1时，它成为级数∑n当|x|≥1时,级数∑n=1∞(-1)n-1xn-1当|x|<1时,级数∑n=1∞(-1)n-1xn-1所以收敛域为(-1,1).当x在收敛域(-1,1)内取定每一个值时,级数(7.12)都有一个确定的和11+x与之对应,故在区间(-1,1)内级数(7.12)的和是x的一个函数,这个函数称为级数(7.12)的和函数,记作S(x2．幂级数的性质下面给出幂级数运算的性质，可帮助计算幂级数的和函数.(1)如果幂级数f(x)=∑n=0∞anxn和g(x)=∑n=0的收敛半径分别为R1>0和R2>0,则f(x)±g(x)=∑n=0∞anxn±∑n=0∞bnxn=∑n=0∞(a其中，幂级数∑n=0∞(an±bn)xn的收敛半径R=min{R1,R(2)如果幂级数f(x)=∑n=0∞anxn的收敛半径R>0,则在收敛区间(-R,R)内,它的和函数S(x)是连续函数.如果该幂级数在x=R(或-R)处收敛，则它的和函数S(x)在x=R(3)对于幂级数f(x)=∑n=0∞anxn的收敛区间(-R,R)内的任意一点0xf(x)dx=0x∑n=0∞a =∑n=0∞ann+1xn+1即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分,并且积分后级数的收敛半径也是R.(4)对于幂级数f(x)=∑n=0∞anxn的收敛区间(-R,R)内的任一点f'(x)=∑n=0∞anxn'=∑ =∑n=1∞nanxn-1(-R<x<R)即幂级数在它的收敛区间内可以逐项微分,并且微分后级数的收敛半径也是R.如果逐项积分或逐项微分后的幂级数在x=+R或x=-R时收敛,则在x=R或x=-R处等式(7.14)和等式(7.15)仍然成立.例求幂级数∑n=1∞nxn-1的收敛域及和函数,并求级数解:由limn→∞an+1得到收敛半径R=1.当x=1时,级数成为∑n=1∞n,通项不趋于0,因此它发散;同理,当x=-1时,级数也发散,所以收敛域为(-1,设和函数为S(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1+…两边由0到x积分,得0xS(t)dt=x+x2+x3+…+xn =x(1+x+x2+…+xn+…) =x1-x=两边对x求导,即得S(x).ddx0xS(t所以S(x)=∑n=1∞nxn-取x=12,∑n=1∞n12n所以 ∑n=1∞n12n=12课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧教学总结：幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域，利用幂级数性质计算幂级数在收敛域内的和函数.微积分教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第七章无穷级数§7.6泰勒公式和泰勒级数教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：掌握泰勒中值定理的内容，熟悉什么是泰勒公式，掌握泰勒级数和麦克劳林级数的定义。教学重点、难点：泰勒中值定理，利用泰勒公式计算极限，泰勒级数和麦克劳林级数定义教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书相结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习和引入：(5分钟)前面我们讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质.但在许多应用中,我们遇到的却恰好是相反的问题:给定函数,要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”?就是说,是否能找到这样一个幂函数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定函数.如果能找到这样的幂级数,则认为,函数在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达函数.

新授课内容：(80分钟)1．泰勒公式由前面微分的应用，引出函数的近似计算，进一步分析得出能够给出函数近似和误差的泰勒公式.定理7.14(泰勒中值定理)：如果函数f(x)在含有点x0的区间(a,b)内有一阶到n+1阶的连续导数,则当x取区间(a,b)内任何值时,f(x)可以按(x-x0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f″(x0)2! +f(n)(x0)n!(x-x0)n+Rn其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1(ξ在x公式(7.18)称为函数f(x)在点x0的n阶泰勒公式,也称为f(x)在点x0附近关于(x-x0)的幂函数展开式，余项式(7.19此外，因为f(n+1)(x|R则当x→x0时，Rnf(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f″(x0)2! +f(n)(x0)n!(x-x0其中余项o((x-x0在式(7.18)中,当n=0时得到f(x)=f(x0)+f'(ξ)(x-x0)这就是拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是它的推广.特别地,当x0=0时,公式(7.18)成为f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0其中Rn(x)=f(n+1或令ξ=θx,0<θ<1,则Rn(x)=f(n+1公式(7.20)称为麦克劳林公式.例求函数fx解：由f(n)f(0)0=f(1)0=…=所以fx(7.21)类似地，我们可以得到sinx,cosx,ln(1+x),(7.22)(7.23)(7.24)(7.25)例计算极限（1）limx→0sinx-xxln解：（1）由公式(7.24)可知，当x→0时，ln(1+x)的主部是x,则xln(1+x2)由公式(7.22)可知，当x→0时，sinx-x的主部是-x33!所以(2)由公式(7.24)可知，当x→0时，ln1+x-x的主部是-x由公式(7.21)可知，当x→0时，ex-1的主部是x,则ee所以2.泰勒级数如果函数f(x)在区间(a,b)内各阶导数都存在,则对于任意的正整数n,泰勒公式(7.18)都成立.当n→∞时,如果Rn(x)→0,则得f(x)=limn→∞[f(x0)+f'(x0)(x-x +f″(x0)2!(x-x0)2+…+f由于上式右端方括号内的式子是级数∑n=0∞f(n的前n+1项组成的部分和式,所以此级数收敛,且和函数就是f(x).因此,函数f(x)可以写为f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)上式叫作函数f(x)在点x0的泰勒级数.此时，也称f(x)在点x特别地,当x0=0时,公式(7.26)成为f(x)=∑n=0∞f(n)(它称为函数f(x)的麦克劳林级数.总结：(5分钟)课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧教学总结：泰勒公式及泰勒公式的应用，常见函数的泰勒公式展开泰勒级数的定义，麦克劳林级数微积分教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第七章无穷级数§7.7某些初等函数的幂级数展开式§7.8幂级数的应用举例教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：熟记几个常用函数的幂级数；会求相关幂级数的和函数；掌握函数的幂级数展开的直接方法和间接方法，了解幂级数的简单应用-近似计算教学重点、难点：几个常用函数的麦克劳林展开式，简单幂级数的和函数，幂级数展开的间接法教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书相结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：(5分钟)新授课内容：(80分钟)由上面的讨论可知,对区间(a,b)内的一个特定值x0,一个函数f(x)是否可以展开成为一个幂级数,取决于它的各阶导数在x=x0时是否存在,以及当n→∞时,泰勒公式里的余项Rn(x)是否趋于0.下面,将一些初等函数展开为幂级数.1.直接展开法利用泰勒公式或麦克劳林公式,将函数f(x)展开为幂级数.将f(x)展开成麦克劳林幂级数的步骤如下:(1)求出f(x)在x=0的各阶导数值f(n)(0),若函数f(x)在x=0的某阶导数不存在,则f(x)不能展开为幂级数.(2)写出幂级数(7.27),并求出其收敛域.(3)考察在收敛域内余项Rn(x)的极限limn→∞f(是否为0,若为0,则幂级数(7.27)在此收敛域内等于函数f(x);若不为0,则幂级数(7.27)虽然收敛,但它的和函数也不是f(x).例将函数f(x)=ex展开成x的幂级数.解:因为f(n)(x)=ex,所以f(n)(0)=1,得∑n=0∞f其收敛域为(-∞,+∞),再由limn→∞|Rn(x)|=limn→∞eθx(n+1)!xn因e|x