高等数学(下)期末考试试卷(A)

高等数学A-2试题(A)卷(闭)

学年第二学期运用班级级

学院班级学号姓名

题号—、四五六七八总分

得分

-、填空题(本题4小题，每空3分，满分12分，把正确答案填在题后的横线

上)

1、交换积分次序《必(/(x,)，)办+fdx^2f(x,y)dy=。

2、z=esinxy,则dz=o

3、设S：X?+y2+/=欠2,贝唱/A_。

S

4、设某二阶常系数齐次线性微分方程以为通解，则该二阶常系

数齐次线性微分方程为O

二、选择题(本题共3小题，每小题3分，满分9分，每小题给出四个选项,

把正确答案填在题后的括号内)

1、设常数Q0,则级数£(-甲安

n=\〃

[]

(A)肯定收敛；出)条件收敛；(C)发散；(0敛散性与女

的取值有关。

_盯_F2

2、函数〃兑)，)=卜2+产,在原点(0,0)处

0,x2+y2=0

[]

(A)连续，偏导数存在;(3)连续，但偏导数不存在;

(C)不连续，但偏导数存在；(。)不连续，偏导数也不存在。

3、设丫：/+)，2+22sR"则J0后'+)，+z2人为[]

V

(B)砒>(Q^-；(£))2成“0

33

三、计算(每小题6分，共30分)

1、设z=2/8，)+yg(x+y),其中具有二阶连续的导数，求学。

xoxdy

2、计算/=0，+/+2)，)必。，其中。是由圆/+),2=2工围成的平面区域。

3、求j(/siny-)，+外心+(e，co$y+y)dy，其中L为圆周y=72ax-x2上从点A(2a,0)

到点0(0,0)的一段弧。

4、求曲面e,-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。

5、求基级数£必”〃的收敛域与和函数。

四、解答下列各题(本题共4小题，每小题每题6分，共24分)

1、设函数z=z(x,y)由尸。+巳,)，+三)=0确定，求当。

yxox

2、求函数Z=xe2y在点p(i,0)处沿从点p(i,0)到点。(2,_|)的方向的方向导数。

3、设y=y(x)满意方程y*-3y'+2y=2ex,且其图形在点(0,1)与曲线)，=xT+1相

切，求函数)，(幻。

4、将函数/0)=国绽开成以2为周期的傅立叶级数。

五、(本题满分8分)求函数z=x2+)，2_i2x+16y在区域/+)，2<25上的最大值与

最小值。

六、(本题满分9分)已知曲线积分je+2MM)①-0*)办，与路径无关，旦

夕(0)=0o

(1)求(p(x);(2)计算e+2(p(x)\ydx-(p(x)dy的值。

七、(本题满分8分)计算/必黑：+,其中z为下半球面

Eqf+y2+Z?

=一//一/一产的下侧,。为大于零的常数。

高等数学（下）期末试卷（A）

参考答案

一、填空题:

1、"I石小)如2、es'n"cosxy(ydx+xdy);

Q4成4

3、丁4、y*-2yf-3y=0o

二、选择题：

1、B;2、C;3、B

三、计算：

1、解：

合=-f(xy)++yg\x+y)（3分）

OXXX

d2z

T-r-=+g'(x+y)+yg\x+y)。（3分）

oxoy

2、解：

依据对称性，JJ(x2+y2+2y)d<y=jj(x2+y2)d(y,（2分）

作极坐标变换仁鲁匕则-4。十—血

（2分）

44

原式=R户dr=唱cosOdO=8pCos/夕=8x/4

分）

3、解：

添加直线段4：方，则

原式=鼠I)(eTsinj-y+x)dx+(e'cosy+y)dy（4分）

=^dxdy-^'xdx=-a2-la2（2分）

°o2

4、解：

厂(x,y,z)="-z+孙一3，贝lj

:

&=y,F、、=x,Fz=e-\,〃=7}|={1,2,0},（4分）

所以所求切平面为(x-2)+2(y-l)=0,即x+2y-4=0。（1分）

所求的法线方程为£Z2=Z-1=Z-0（1

120

分）

5、解：

因为lim|也|=1,所以幕级数的收敛半径为R=l,

n-xc&

又因为当;=±1时级数发散，所以该幕级数的收敛域为（-1,1）.

（2

分）

X1dx=X

+———；-7一111。一X),(一1<X<1)o（4分）

1-x,J。\-x(D~

四、解答下列各题:

1、解:

设(p(x,y,z)=F(x+—,y+-),

OH3化=6'+6_L，（3分）

xyx

Y"；一尸乙

故生=_2=（3分）

X2F+xyF

&(Pzx2

2、解：

PQ=[i-i],\PQ\=42,（1分）

/={cosa.sina)={3,一一L)（2分）

J2V2

包=已2、—=2xe2v,（2

dx8

分）

dzdzdz.1dz1dz

=­cosa+—sina=—；=-----尸一

~dldxdyV2dx\J2dy

=^^e2v——J=2xe2v=—J=(l-2x)e2

6近V2

函数z=xe2,在点P(l,0)处沿从点P(l,0)到点Q2,-l)的方向的方向导数为

[5U(2分)

2

(1.0)

3、解：

由条件知y=y(x)满意兴0)=1,/(())=-1o(1分)

由特征方程厂*一3〃+2=0=勺=1,〃=2,

对应齐次方程的通解y=金'+C2e-o(2分)

设特解为/=Ar",代入方程，得A=-2,,则特解为y*—

x2xx

从而得通解y=Cxe+C2e-2xe,(2分)

代入初始条件得G=1C=0,

则)，(幻=(1—2幻/。(1分)

4、解：

所给函数在［-IJ上满意收敛定理条件，将其延拓成以2为周期的函数时，它

在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在内收敛于函数本身。

1

《)=2,xdx=1,

o

an=2(xcosnTDidx=-^---之——-，

o4一«­

2=()(〃=12…)。(4分)

=1+_-cos/i^x(-1<X<1)Q(2分)

五、解：

由:7t得驻点(6-8),但该驻点不在区域/+),2小内，所以最值

zy=2y+16=0

22

只能在x+y=25达到。

(3分)

-gF=x2+/-12x4-16>>+2U2+/-25)，

Fv=2x-12+2Zr=0

由｛&=2)，+16+22y=0,得(x,y)=(—3,4),(3,T),(3

X2+/-25=0

分)

代入目标函数，比较得最小值比…=75,最大值z|3小=125。(2

1(3,-4)K-3,4)

分)

六、解：

由当=孚'得f'M+2/(x)=

dyox

则/』2"%+c=Ce-2x-e\

因为八0)=0，所以C=；,

则f(x)=^(e-2x-ex).