控制系统建模与仿真-基于MATLABSimulink的分析与实现（第2版）课件 第3讲 MATLAB在高等数学中的应用

1第3讲

MATLAB在高等数学中的应用

2一、傅里叶变换与反变换二、拉普拉斯变换与反变换三、Z变换与反变换四、极限、微分/积分与级数运算五、求零点与极值

六、微分方程求解七、拟合与插值运算八、Matlab常用绘图主讲内容一、傅里叶变换与反变换

1、傅里叶变换语法格式： F＝fourier(f,t,w)%求时域函数f(t)的傅里叶变换说明：返回结果F是符号变量w的函数，当参数w省略，默认返回结果为w的函数；f为t的函数，当参数t省略，默认自由变量为x。2、

傅里叶反变换语法格式：（1）f=ifourier(F)%求频域函数F的傅里叶反变换f(t)（2）f=ifourier(F,w,t)%求频域F函数指定w变量，t算子的傅里叶反变换f(t)使用傅里叶变换及反变换程序命令：>>symstw>>F=fourier(1/t,t,w)%fourier傅里叶变换

>>ft=ifourier(F,t)%·傅里叶反变换

>>f=ifourier(F)%fourier·´反变换默认x为自变量F=-pi*sign(w)*1ift=1/tf=1/x结果：例1:3、快速傅里叶变换语法格式：（1）Y=fft(X)%若X是向量，则fft(X)返回该向量的傅里叶变换，x是矩阵，则fft(X)将x的各列视为向量，并返回每列的傅里叶变换。若x是一个多维数组，则fft(X)将沿大小不等于1的第一个数组维度的值视为向量，并返回每个向量的傅里叶变换。（2）Y=fft(X,n)%n为长度若X是向量的长度小于n，则X尾部补零到长度n，否则截断X以达到长度n。若X是矩阵，则按列向量处理。若X为多维数组，则大小不等于1的第一个数组维度的处理与向量相同。（3）Y=fft(X,n,dim)%当x为矩阵时，在指定的dim维上进行傅里叶变换（dim=1按列dim=2按行）（4）Y=fft2(X)%使用快速傅里叶变换算法返回矩阵的二维傅里叶变换，这等同于计算fft(fft(X).').'，如果X是一个多维数组，fft2将采用高于2的每个维度的二维变换。输出Y的大小与X相同。（5）Y=fft2(X,m,n)%将截断X或用尾随零填充X，以便在计算变换之前形成m×n矩阵。Y是m×n矩阵。如果X是一个多维数组，fft2将根据m和n决定X的前两个维度的形状。4、快速傅里叶反变换语法格式：（1）X=ifft(Y)%使用快速傅里叶变换算法计算Y的反离散傅里叶变换。X与Y的大小相同。若Y是向量，则ifft(Y)返回该向量的反变换；若Y是矩阵，则ifft(Y)返回该矩阵每一列的反变换。若Y是多维数组，则ifft(Y)将大小不等于1的第一个维度上的值视为向量，并返回每个向量的反变换。（2）X=ifft(Y,n)%通过用尾随零填充Y以达到长度n，返回Y的n点傅里叶反变换。（3）X=ifft(Y,n,dim)%返回沿维度dim的傅里叶反变换。若Y是矩阵，则ifft(Y,n,2)返回每一行的n点反变换。（1）X=ifft2(Y)

%返回矩阵的二维离散傅里叶反变换。若Y是一个多维数组，则

ifft2

计算大于2的每个维度的二维反变换。输出

X

的大小与

Y相同。（2）X=ifft2(Y,m,n)

%m×n

为矩阵，ifft2

将根据

m

和

n

决定

Y

的前两个维度的形状。设信号为：y=sin(2π500t)+sin(2π600t)+sin(2π520t)根据采样点1000，采样周期1/10000,采用FFT分析频谱并绘图。N=1000;%采样点数dt=1/10000;%采样周期t=0:dt:(N-1)*dt;y=sin(2*pi*500*t)+sin(2*pi*600*t)+sin(2*pi*520*t);%信号subplot(1,2,1);plot(t,y)%绘制时域信号title('时域信号')xlabel('t(秒)')ylabel('|f(t)|')PH2=(fft(y));%将时域信号fft变成频域P2=(PH2/N);%幅值修正P1=P2(1:N/2+1);%选取前半部分(fft变换后为对称的双边谱)P1(2:end-1)=2*P1(2:end-1);f=10000*(0:(N/2))/N;例2:subplot(1,2,2);plot(f,abs(P1))%绘制频域信号title('频域信号')xlabel('f(赫兹)')ylabel('|P1(f)|')结果：二、

拉普拉斯变换与反变换1、拉普拉斯变换语法语法： F=laplace(f,t,s)%求时域函数f的拉普拉斯变换F说明：拉普拉斯变换也称拉式变换，返回结果F为s的函数。当参数s省略，返回结果F默认为's'的函数；f为t的函数，当参数t省略，默认自由变量为't'。2、拉普拉斯反变换语法语法： f＝ilaplace(F,s,t) %求F的拉普拉斯反变换f说明：把‘s’转换成‘t’的函数。求f(t)=cos(at)+sin(at)的拉式变换和反变换程序命令：symsatsF1=laplace(sin(a*t)+cos(a*t),t,s)f=ilaplace(F1)fx=ilaplace(sym('1/s'))F1=a/(a^2+s^2)+s/(a^2+s^2)f=cos(a*t)+sin(a*t)fx=1结果：例3:三、Z变换与Z反变换1、Z变换Z变换是对连续f系统进行的离散数学变换，常用求线性时不变差分方程的解。语法格式：

Z=ztrans(f)%求Z变换2、Z反变换将离散z系统再变成连续系统的变换称为Z反变换语法格式： fz＝iztrans(z) %求z反变换求f(x)=xe-10x的Z变换和的饭变换程序命令：symsx,k,z;f=x*exp(-x*10);%定义表达式F=ztrans(f)%求Z变换Fz=z*(z-1)/(z^2+2*z+1);%定义Z反变换表达式F1=iztrans(Fz)F=(z*exp(10))/(z*exp(10)-1)^2F1=3*(-1)^n+2*(-1)^n*(n-1)结果：例4:四、极限、微分/积分与级数运算1、求极限函数limit用于求符号函数f的极限。系统可以根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。symsxf=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3F=limit(f)F=1/2求极限：结果：例5:diff(s,’v’,n)%函数用于对符号表达式s求微分。diff(f,v,n)%求f对变量v的n阶导数diff(f,n)%求f对默认变量的n阶导数diff(f,v)%求f对变量v的一阶导数diff(f)%求f对默认变量的一阶导数2、微分函数x=sym('x');Y=diff(sin(x^2))求导数：Y=2*cos(x^2)*x语法格式：结果：例6:int（f,v,a,b)%求f对变量v边界[a,b]定积分int（f,a,b)%求f对默认变量边界[a,b]定积分int（f)%求f对默认变量的不定积分int（f,v)%求f对变量v的不定积分 3、积分函数求积分：symsxF=int(1/(1+x^2))F=atan(x)语法格式：结果：例7:symsAttaowyf=int(A*exp(-i*w*t),t,-tao/2,tao/2);Yf=simple(yf)F=int(int('x*exp(-x*y)','x'),'y')Yf=2*A*sin(1/2*tao*w)/wF=1/y*exp(-x*y)求定积分并计算二重不定积分结果：例8:级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如：

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn函数symsum可以用于此类对符号函数f的求和运算。该函数的引用时，应确定级数的通项式s，变量的变化范围a和b。该函数的引用格式为：

symsum(s,a,b)4、级数(级数求和)求级数的和:键入：1/12+1/22+1/32+1/42+……symskF=symsum(1/k^2,1,Inf)%k值为1到无穷大F=pi^2/6语法格式：结果：例9:symsum(s,v,a,b)若默认变量为k，求k从a开始到b为止时s的和变量为v，求v从0开始到v-1为止s的前k项和功能同上，不过变量为v若默认变量为k，求k从0开始到k-1为止s的前k项和symsum(s)symsum(s,v)symsum(s,a,b)其中：

五、求零点与极值

1、

求零点语法格式（1）x=fzero(fun,x0)%求出离x0起始点最近的根。（2）x=fzero(fun,x0,options)%由指定的优化参数options进行最小化。（3）x=fzero(problem)%对problem指定的求根问题求解。说明：fzero函数即可以求某个初始值的根，也可求区间和函数值的根。求f(x)=x5-3x4+2x3+x+3函数的根。>>f='x^5-3*x^4+2*x^3+x+3';>>x=fzero(f,0)x=-0.7693对f(x)多项式可以使用roots命令求出相同的实数零点和复共轭零点,即：>>

p=[1-32013];x=roots(p)结果：例10:求正弦函数在3附近的零点，并求余弦函数在[12]之间的零点。fun=@sin;fun1=@cosx=fzero(fun,3)x1=fzero(fun1,[12])x=3.1416x1=1.5708x=1.8846+0.58974i1.8846-0.58974i2.4286e-16+1i2.4286e-16-1i-0.76929+0i结果：结果：例11:2、

求极值fminbnd(f,a,b)函数是对f(x)在[ab]上求得的极小值，当求-f(x)的极小值时即可得到f(x)的极大值。当不知道准确的范围时，可画出该函数的图形，先估计一下范围再使用该命令求取。语法格式：[x,min]=fminbnd(f,a,b)%x为取得极小值的点，min为极小值；f表示函数名，a，b表示取得极值范围。

求f(x)=2e-xsinx函数在[0,8]之间的极值点。symsxf='2*exp(-x)*sin(x)';[x,min1]=fminbnd(f,0,8)[x,max1]=fminbnd('-2*exp(-x)*sin(x)',0,8)x=3.9270min1=-0.0279%极小值点x=0.7854max1=-0.6448max=-max1=0.6448%极大值点结果：例12:1、线性方程组的符号解clc;clearall;A=sym('[1,1,1;3,-1,6;0,1,3]')b=sym('[1;7;4]')x=A\b六、微分方程求解x=-1/304/3结果：例13:x=1.0000-1.00005.0000求方程的解分析：因为：Ax=B，A为系数矩阵，B为右边的值，则方程的解x=A\BA=[231;423;71-1];B=[4;17;1];x=A\B结果：例14:2、符号(代数)方程求解y=solve(f,’x’)：指定自变量x的解y=solve(f)：求方程关于默认自变量的解y=solve(f1,f2,…fn)——求n个方程的解其中：f

是用字符串表示的方程，或符号表达式。符号运算能够解一般的线性方程、非线性方程及一般的代数方程、代数方程组。当方程组不存在符号解时，又无其他自由参数，则给出数值解。针对标准一元二次方程f=ax2+bx+c求解f='a*x^2+b*x+c';solve(f)%缺省变量x求解ans=-(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)-(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)语法格式：结果：例15:解方程：symsx;f=x^3-3*x+1;y=solve(f,x)或：y=solve('x^3-3*x+1','x')或：y=solve('x^3-3*x+1=0','x'y=root(z^3-3*z+1,z,1)

root(z^3-3*z+1,z,2)

root(z^3-3*z+1,z,3)结果：说明：solve在得不到解析解时，会给出数值解y=0.69829942170241042826920133106081y=solve('(x+2)^x=2')结果：例16:例17:x+y+z=1x-y+z=22x-y-z=1symsxyz;[x,y,z]=solve(x+y+z==1,x-y+z==2,2*x-y-z==1)x=2/3y=-1/2z=5/6使用符号代数求解方程组结果：例18:七、拟合与插值计算

1、拟合函数在已知离散点的数据集上，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值。命令格式：

a=polyfit(x,y,n)其中：x为源数据点对应的横坐标，可为行向量、矩阵，y为源数据点对应的纵坐标，可为行向量、矩阵，n为你要拟合的阶数，一阶直线拟合，二阶抛物线拟合，并非阶次越高越好，视情况而定。polyfit结果是从高到低次的多项式系数。若要计算在xi数据点的多项式值，调用polyval函数。x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2);z=polyval(A,x);plot(x,y,'r*',x,z,'b')结果：例19:利用Y的值进行拟合二阶曲线x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]y=[1.2,3,4,4,5,4.7,5,5.2,6,7.2]p1=polyfit(x,y,1)p3=polyfit(x,y,3)x2=1:0.1:10;y1=polyval(p1,x2)y3=polyval(p3,x2)plot(x,y,'b-*',x2,y1,'r-',x2,y3)结果：例20:利用X、Y的值分别拟合一阶和三阶曲线对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法为插值。当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。Matlab提供了一维、二维、三次样条等许多插值选择。语法格式：

yi

=

interp1(x,y,xi)

;%x,y为已知数据值，xi为插值数据点；y1=interp1(x,y,xi,'method');%x,y为已知数据值，xi为插值点，method为设定插值方法说明：method常用的设置参数有：linear，nearest，spline，分别表示线性插值、最临近插值和三次样条插值法。它们之中，linear也称为分段线性插值（默认值），spline函数插值所形成的曲线最平滑、效果最好。其中：（1）nearest(最临近插值法):该方法将内插点设置成最接近于已知数据点的值，其特点是插值速度最快，但平滑性较差。2、插值函数（2）linear(线性插值):该方法连接已有数据点作线性逼近。它是interp1函数的默认方法，其特点是需要占用更多的内存，速度比nearest方法稍慢，但是平滑性优于nearest方法。（3）spline(三次样条插值):该方法利用一系列样条函数获得内插数据点，从而确定已有数据点之间的函数。其特点是处理速度慢，但占用内存少，可以产生最光滑的插值结果；绘制（0-2π）的正弦曲线，按照线性插值、最临近插值和三次样条插值三种方法，每隔0.5进行插值，绘制插值后曲线并进行对比。例21:clcx=0:2*pi;y=sin(x);xx=0:0.5:2*pi;subplot(2,2,1);plot(x,y);title('原函数图')y1=interp1(x,y,xx,’linear’);subplot(2,2,2);plot(x,y,'o',xx,y1,'r')title('线性插值')y2=interp1(x,y,xx,'nearest');subplot(2,2,3);plot(x,y,'o',xx,y2,'r');title('最临近插值')y3=interp1(x,y,xx,'spline');subplot(2,2,4);plot(x,y,'o',xx,y3,'r')title('三次样条插值')结论：

从线性插值、最临近插值和三次样条插值三种方法看出，三次样条插值曲线效果最好。结果：Matlab提供了丰富的二维图形，

它包括线型、散点型、条形、极坐标型以及矢量图型等1）plot命令的基本格式：plot（x1,y1,option1,x2,y2,option2,…）

其中：x1,y1给出的数据分别为x,y轴坐标值，option定义了图形曲线的颜色、线型及标示符号，它由一对单引号括起来。1、Matlab的二维绘图函数八、Matlab的常用绘图y黄色、k黑色、w白色、b蓝色、g绿色、r红色、c亮青色、m锰紫色。2）字元颜色字元图线型态helpgraph2d可得到所有画二维图形的命令；选项含义选项含义选项含义‘.’画点号‘o’画圈符‘d’画菱形符‘*’画星号‘+’画十字符‘p’画五角形符‘x’画叉号‘s’画方块符‘h’画六角形符‘^’画上三角‘>’画左三角‘’

‘V’画下三角‘<’画右三角‘’

t=0:0.1:2*pi;x=t.*sin(3*t);y=t.*sin(t).*sin(t);plot(x,y,'r-p');绘制x=t.sin3t,y=t.sint.sint曲线例22:结果：figure%打开图形窗口；clf%清除当前图形窗的内容；hold%保持当前图形窗的内容；holdon%再次用hold就解除保持状态。holdoffclose%关闭当前图形窗口。closeall%关闭所有图形窗口。grid

on%图形加上栅格线set%设置图形对象的特性3）图形屏幕控制命令figure(n)--创建窗口函数，n为窗口顺序号。plot(t,y1)--自动出现第一个窗口figure(2)plot(t,y2)--在第二窗口绘图figure(3)plot(t,y3)--在第三窗口绘图figure(4)plot(t,y4)--在第四窗口绘图其中：t=0:pi/100:2*pi;y1=sin(t);y2=cos(t);y3=sin(t).^2;y4=cos(t).^2;plot(t,y1)figure(2);plot(t,y2,'g-p')figure(3);plot(t,y3,'r-O')figure(4);plot(t,y4,'k-h')多窗口绘图结果：例23:2、绘制子图与图形标注与坐标subplot——子图分割命令调用格式：

subplot(m,n,p)——按从左至右，从上至下排列行列绘图序号（1）subplot(n,m,p)%将图形窗口分为n*m个子图，在第p个子图处绘制图形。 1）title图题标注。2）xlabel，ylabel，zlabel坐标轴标注。xlabel（’x轴说明’）ylabel（’y轴说明’）zlabel（’z轴说明’）3）legend图例标注。legend函数用于绘制曲线所用线型、颜色或数据点标记图例4）text，gtext文本标注。5）annotation线条、箭头和图框标注。

例如：annotation(‘arrow’,[0.1,0.45],[0.3,0.5])%箭头线（2）图形标注与坐标t=0:pi/100:2*pi;

y1=sin(t);

y2=cos(t);

y3=sin(t).^2;

y4=cos(t).^2;

subplot(2,2,1);plot(t,y1)

subplot(2,2,2);plot(t,y2,'g-p')

subplot(2,2,3);plot(t,y3,'r-O')

subplot(2,2,4);plot(t,y4,'k-h')同一窗口绘制子图例24:语法格式：scatter(x,y)在向量x和y指定的位置创建一个包含圆形的散点图。scatter(x,y,sz)sz为标量是大小相等的圆圈，若sz为(x,y)长度不同向量是大小不等的圆。（3）scatter(x,y,sz,c)c指定为颜色名称或RGB三基色。（4）scatter(,‘filled’)‘filled’为填充圆形，看与前面语法中的任何输入参数组合使用。（5）scatter(,mkr)mkr为指定标记，若‘LineWidth’,2将轮廓宽度设置为2磅。（6）scatter(ax,)ax指定的坐标区名称，可位于前面的语法中的任何输入参数组合之前。3、绘制二维散点图（气泡图）x=0:pi/10:3*piy=sin(x)+rand(1,31);scatter(x,y,55,"blue")例25:绘制0~3π的蓝色大小为60的散点图。结果：4、plot3绘制三维曲线图与plot()函数相类似，可以使用plot3()函数来绘制一条三维空间的曲线。该函数的调用格式为：plot3(x,y,z,option)其中的x,y,z以及选项与plot()函数中的x,y和选项相类似，只不过是多了一个坐标轴而已。(可以具体参考plot()函数的使用方法)如：t=0:pi/50:2*pi;x=8*cos(t);y=4*sqrt(2)*sin(t);z=-4*sqrt(2)*sin(t);plot3(x,y,z,'p');title(‘3D空间图');text(0,0,0,'origin');xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');grid;例26:使用plot3绘空间图结果：t=0:pi/100:20*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=t.*sin(t).*cos(t);plot3(x,y,z);title('Linein3-DSpace');xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');例27:使用plot3绘3-D图结果：产生x、y轴向的网格数据。在[X,Y]=meshgrid(x,y)中，向量x、y分别指定x轴向和y轴向的数据点。当x为n维向量，y为m维向量时，X、Y均为m×n的矩阵，X(i,j)和Y(i,j)共同指定了平面上的一点；[X,Y]=meshgrid(x)等效于[X,Y]=meshgrid(x,x)；[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z)可以产生三维阵列，它们指定了三维空间上的一个点。

5、meshgrid函数因此命令等效于：X=ones(size(x))*x;

Y=y'*ones(size(y))例如：meshgrid(-8:0.5:8,-10:0.5:10)

表示产生两个网格矩阵，横坐标网格矩阵起始于-8终止于8，步长为0.5；纵坐标网格矩阵起始于-10终止于10，步长为0.5。垂向坐标矩阵由所需函数确定，用mesh(z)或mesh(z,c)即可将网格绘出。x=0:0.1:2*pi;[x,y]=meshgrid(x);z=sin(y).*cos(x);plot3(x,y,z);xlabel('x-axis')ylabel('y-axis')zlabel('z-axis');title('plot3-1');grid;例28:使用meshgrid(x)网格绘图结果：t=0:.1:2*pi;x=t.^3.*sin(3*t).*exp(-t);y=t.^3.*cos(3*t).*exp(-t);z=t.^2;plot3(x,y,z);holdon;stem3(x,y,z);holdon;bar3(x,y,z);holdon;gridon;例29:绘制组合三维图结果：语法格式：（1）ribbon(x)使用X=1:size(x,1)绘制x列宽度均匀的三维条带图。条带颜色可使用colormap。

（2）ribbon(x,y)x和y是大小相同的向量或矩阵，Y是包含length(x)行的矩阵。当y为矩阵时，ribbon将y中的每列绘制为位于对应x位置的条带。（3）ribbon(x,y,width)指定条带的宽度(默认0.75)，若width=1，则各条带沿z轴向下紧密在一起，若width>1，则条带相互重叠并可能相交。（4）ribbon(ax,...)指定的坐标区名称，可位于前面的语法中的任何输入参数组合之前。6、绘制三维条带图[x,y]=meshgrid(-3:0.5:3);z=peaks(x,y);ribbon(y,z)例30:绘制组合三维t条带图结果：语法格式：（1）scatter3(x,y,z)在向量x、y和z指定的位置显示圆圈。（2）scatter3(x,y,z,sz)sz同二维散点图（3）scatter3(x,y,z,sz,c)c指定的颜色同二维一致（4）scatter3(，‘filled’)使用前面的语法中的任何输入参数组合填充这些圆。（5）scatter3(,mkr)指定标记类型，同二维一致（6）scatter3(ax,)ax指定的坐标区中7、绘制三维散点图例31:[x,y,z]=sphere(10);scatter3(x,y,z,65,"magenta")绘制指定大小和颜色的一个球形散点图。结果：mesh函数用来绘制三维网格图，而surf用来绘制三维曲面图，各线条之间的补面用颜色填充。其调用格式为：mesh（x，y，z，c）surf（x，y，z，c）x，y，z是维数同样的矩阵，x，y是网格坐标矩阵，z是网格点上的高度矩阵，c用于指定在不同高度下的颜色范围。c省略时，c=z，也即颜色的设定是正比于图形的高度的。当x，y是向量时，要求x的长度必须等于z矩阵的列，y的长度必须等于必须等于z的行，x，y向量元素的组合构成网格点的x，y坐标，z坐标则取自z矩阵，然后绘制三维曲线。8、mesh函数和surf函数来绘制三维曲面图调用格式：mesh(x,y,z,c)